1、2011 年全国 1 卷数学理试题和答案 第 1 页 共 10 页 2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第 I 卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)复数 的共轭复数是（ ）21i（A） （B） （C ） （D ）35i35iii（2）下列函数中，既是偶函数又在 单调递增的函数是（ +（ 0， ）（A） (B) （C） (D) 3yx1yx21yx2xy（3）执行右面的程序框图，如果输入的 N 是 6，那么输出的 p 是（ ） （A）120 （B） 720 （C） 1440 （D）5040（4）有 3 个兴趣小
2、组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）（A） （B） （C） （D ）1122334（5）已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的正半轴重合，终边在直线 上，则 =（ ）x2yxcos2（A） （B） （C） （D ）43555（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如左图所示，则相应的侧视图可以为（ ）2011 年全国 1 卷数学理试题和答案 第 2 页 共 10 页 （7）设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，L 与 C 交于 A ,B 两点， 为 C的实轴长的 2 倍，则 C 的
3、离心率为（ ）（A） （B） （C）2 （D ）33（8） 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为（ ）512axx（A）-40 （B）-20 （C）20 （D ）40（9）由曲线 ，直线 及 轴所围成的图形的面积为 （ ）y2yxy（A） （B）4 （C） （D ）6103 163（10）已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为 ，有下列四个命题 （ ）12:0,3P22:1,3Pab3:,ab4:,其中的真命题是 （ ）（A） （B） （C） （D ）14,P13,P23,P24,P（11）设函数 的最小正周期为 ，且 ，则 ()sin)cos()0)fxx()fxf（ ）（A
4、） 在 单调递减 （B） 在 单调递减()fx0,2 ()fx3,4（C ） 在 单调递增 （D） 在 单调递增()f, ()f,(12)函数 的图像与函数 的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）1-yx2sin(4yx（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22题第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。2011 年全国 1 卷数学理试题和答案 第 3 页 共 10 页 （13）若变量 满足约束条件 则 的最小值为 。,xy329,6xy2zxy（14
5、）在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为原点，焦点 在 轴上，离心率为 。过 的xOyC12,Fx21F直线 L 交 C 于 两点，且 的周长为 16，那么 的方程为 。,AB2AFV（15）已知矩形 的顶点都在半径为 4 的球 的球面上，且 ,则棱锥 的DO6,23ABCOABCD体积为 。（16）在 中， ，则 的最大值为 。ABCV60,3AC 2BC三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17） （本小题满分 12 分）等比数列 的各项均为正数，且na21362,9.aa（)求数列 的通项公式；n（）设 求数列 的前 n 项和.31323logl.log,n nbaa1nb
6、(18)(本小题满分 12 分)如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，DAB=60,AB=2AD,PD底面 ABCD.()证明：PABD；()若 PD=AD，求二面角 A-PB-C 的余弦值。（19） （本小题满分 12 分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为 A 配方和 B 配方）做试验，各生产了 100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（）分别估计用 A 配方， B 配方生产的产品的优质品率；2011 年全国 1 卷数学理试题和答案 第 4
7、 页 共 10 页 （）已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位：元)与其质量指标值 t 的关系式为从用 B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为 X（单位：元） ，求 X 的分布列及数学期望.（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）（20） （本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1)，B 点在直线 y = -3 上，M 点满足 ， /BOAur，M 点的轨迹为曲线 C。ABurru（）求 C 的方程；（）P 为 C 上的动点，l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。（21） （本小题满分
8、12 分）已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 。ln()1axbf()yfx1,()f 230xy（）求 、 的值；（）如果当 ，且 时， ，求 的取值范围。0xln()kfx请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。（22） （本小题满分 10 分）选修 4 - 1：几何证明选讲如图， ， 分别为 的边 ， 上的点，且不与DEABCA ABC的顶点重合。已知 的长为 m、 AC 的长为 ， ， 的长是关于nDB x的方程 的两个根。2140xn（）证明： ， ， ， 四点共圆；（）若 ，且 ，求 ， ， ， 所在圆的半径。9A4,6
9、CBE(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为（ 为参数）2cosinxyM 是 C1 上的动点， P 点满足 ,P 点的轨迹为曲线 C22OMuv()求 C2 的方程2011 年全国 1 卷数学理试题和答案 第 5 页 共 10 页 ()在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与 C1 的异于极点的交点为 A，与 C2 的异于3极点的交点为 B，求 .A(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲设函数 ,其中 。(3fxax0（）当 时，求不等式 的解集；1()2f（）若不等式 的解集为
10、 ，求 a 的值。()fx|1x2011 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷参考答案一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）（1）C （2）B （3）B （4）A （5）B （6）D （7）B （8）D （9）C （10）A （11）A （12）D二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）（13）-6 （14） （15） （16）2168xy8327三、解答题（17）解：（本小题满分 12 分）（）设数列a n的公比为 q，由 得 所以 。2369a234a219q由条件可知 a0,故 。3 分1由 得 ，所以 。1231213故数列a n的
11、通项式为 an= 。5 分3（） 3123nlogl.logba8 分(2.)n故 112()()nbn11 分12 12.()().()31n nn2011 年全国 1 卷数学理试题和答案 第 6 页 共 10 页 所以数列 的前 n 项和为 12 分1b21(18)解：（本小题满分 12 分）（）因为 , 由余弦定理得 60,2DABAD 3BAD从而 BD2+AD2= AB2，故 BD AD3 分又 PD 底面 ABCD，可得 BD PD所以 BD 平面 PAD. 故 PA BD5 分解法二：取 AB 中点为 E，连接 DE, 因为 ，故 AD=AE， 是等腰三角形，60,2DABADA
12、DEAE=EB=DE, ,即 ,故 BD AD2ADBE09又 PD 底面 ABCD，可得 BD PD所以 BD 平面 PAD. 故 PA BD5 分（）如图，以 D 为坐标原点， AD 的长为单位长，射线 DA 为 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D- ，则xxyz, , , 。10A30B， 130C,1P7 分(,),(,),(,0)Buvuvuv设平面 PAB 的法向量为 n=（ x,y,z） ，则 ,nAPr即 30xyz因此可取 n= 9 分(,1)设平面 PBC 的法向量为 m，则 0,PBCur可取 m=（0，-1， ） 11 分3427cos,n故二面角 A-PB-C 的余弦值
13、为 12 分27（19）解（本小题满分 12 分）（）由试验结果知，用 A 配方生产的产品中优质的平率为 ，所以用 A 配方生产的产品的优质品率28=0.31的估计值为 0.3。3 分由试验结果知，用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 ，所以用 B 配方生产的产品的优质品率的.42011 年全国 1 卷数学理试题和答案 第 7 页 共 10 页 估计值为 0.42 6 分（）用 B 配方生产的 100 件产品中，其质量指标值落入区间 的频率分别为90,4,120,0.04，,054, 0.42，因此P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42, 8 分即 X
14、的分布列为X 的数学期望值 EX=-20.04+20.54+40.42=2.6812 分(20）解：（本小题满分 12 分）()设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1).所以 =（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2). 3 分MAurBurAur再由题意可知（ + ） =0, 即（-x,-4-2y ）(x,-2)=0.所以曲线 C 的方程式为 y= x -2. 6 分142()设 P(x ,y )为曲线 C：y= x -2 上一点，因为 y = x,所以 的斜率为 x0 12l120因此直线 的方程为 ，即 。9 分l00()2y200x则 O 点到 的距
15、离 .又 ，所以l0|4xd21y22020 014(),xx当 =0 时取等号，所以 O 点到 距离的最小值为 2. 12 分20xl（21）解：(本小题满分 12 分 )（） 3 分221(ln)xbf x由于直线 的斜率为 ，且过点 ，故 即30xy1(,)(1),2f2011 年全国 1 卷数学理试题和答案 第 8 页 共 10 页 解得 ， 。6 分1,2ba1ab（）由（）知 ，所以lnf()x。22l1(1)lnkkxf x考虑函数 ，则()2lnhx(0)。8 分21)(kx( I )设 ，由 知，当 时， 。而 ，故0k22)()hx1x()0hx(1)h当 时， ，可得 ；
16、,1xx21()0h当 x （1，+ ）时，h（x）02从而当 x0,且 x 1 时，f（x）-（ + ）0，即 f（ x） + .9 分1lnxk1lnxk（ ii ）设 00, 故 (x）0, 而hh（1）=0，故当 x （1， ）时，h（x）0，可得 h（x）0,而 h（1）=0，故当 x （1，+ ）时，h（x）0，可得 h（x）0,与题设矛 21盾。 11 分综合得，k 的取值范围为（- ，0 12 分（22） （本小题满分 10 分）解：（I）连接 DE，根据题意在ADE 和ACB 中， ADAB=mn=AEAC, 2 分即 .又DAE=CAB,从而ADEACB ABECD因此AD
17、E=ACB 所以 C,B,D,E 四点共圆。 5 分（）m=4, n=6 时，方程 x2-14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12.故 AD=2，AB=12. 8 分2011 年全国 1 卷数学理试题和答案 第 9 页 共 10 页 取 CE 的中点 G,DB 的中点 F，分别过 G，F 作 AC，AB 的垂线，两垂线相交于 H 点，连接 DH，因为C，B ，D，E 四点共圆，所以 C，B，D ，E 四点所在圆的圆心为 H，半径为 DH.由于A=90 0，故 GHAB, HFAC. 从而 HF=AG=5，DF= (12-2)=5.21故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为 5 10 分
18、2（23） （本小题满分 10 分）解：（I）设 P(x,y),则由条件知 M( ).由于 M 点在 C1 上，所以,xy即 3 分2cos,inay4cosinxay从而 的参数方程为2C（ 为参数） 5 分4cosinxy（）曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 。14si2C8sin射线 与 的交点 的极径为 ，7 分3CA1n3射线 与 的交点 的极径为 。9 分2B28si所以 . 10 分1|3AB（24） （本小题满分 10 分）解：（）当 时， 可化为 。a()2fx|1|2x由此可得 或 。31故不等式 的解集为 或 。5 分()f|3() 由 得0x3a此不等式化为不等式组或0x30xa即 或4ax2ax2011 年全国 1 卷数学理试题和答案 第 10 页 共 10 页 因为 ，所以不等式组的解集为0a|2ax由题设可得 = ，故 10 分212a
