1、上海乌托邦教育2014 年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共 14 题，满分 56 分）1 （4 分） （2014 上海）函数 y=12cos2（2x）的最小正周期是 _ 2 （4 分） （2014 上海）若复数 z=1+2i，其中 i 是虚数单位，则（ z+ ） = _ 3 （4 分） （2014 上海）若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 _ 4 （4 分） （2014 上海）设 f（x）= ，若 f（2）=4，则 a 的取值范围为 _ 5 （4 分） （2014 上海）若实数 x，y 满足 xy=1，则 x2+2y2 的最小值为 _
2、6 （4 分） （2014 上海）若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，则其母线与底面角的大小为 _ （结果用反三角函数值表示） 7 （4 分） （2014 上海）已知曲线 C 的极坐标方程为 （3cos 4sin）=1，则 C 与极轴的交点到极点的距离是 _ 8 （4 分） （2014 上海）设无穷等比数列a n的公比为 q，若 a1= （a 3+a4+an） ，则 q= _ 9 （4 分） （2014 上海）若 f（x）= ，则满足 f（x）0 的 x 的取值范围是 _ 10 （4 分） （2014 上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续 10 天中随机选择 3 天进行紧急疏散演练，则选择
3、的 3 天恰好为连续 3 天的概率是 _ （结果用最简分数表示） 11 （4 分） （2014 上海）已知互异的复数 a，b 满足 ab0，集合a ，b=a 2，b 2，则 a+b= _ 12 （4 分） （2014 上海）设常数 a 使方程 sinx+ cosx=a 在闭区间0，2上恰有三个解 x1，x 2，x 3，则x1+x2+x3= _ 13 （4 分） （2014 上海）某游戏的得分为 1，2，3，4，5，随机变量 表示小白玩该游戏的得分，若 E（）=4.2，则小白得 5 分的概率至少为 _ 14 （4 分） （2014 上海）已知曲线 C：x= ，直线 l：x=6，若对于点 A（m，
4、0） ，存在 C 上的点 P 和 l 上的 Q 使得 + = ，则 m 的取值范围为 _ 第 2 页 共 10 页二、选择题（共 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，选对得 5 分，否则一律得零分15 （5 分） （2014 上海）设 a，bR，则“a+b4”是“a2 且 b2”的（ ）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件 D既非充分又非必要条件16 （5 分） （2014 上海）如图，四个棱长为 1 的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，P i（i=1 ，2，8）是上底面上其余的八个点，则 （i=1 ，2，8）的不同值的个数为（ ）A1 B2 C3 D417 （5
5、分） （2014 上海）已知 P1（a 1，b 1）与 P2（a 2，b 2）是直线 y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和 y 的方程组 的解的情况是（ ）A无论 k，P 1，P 2如何，总是无解B无论 k，P 1，P 2如何，总有唯一解C存在k，P 1，P 2，使之恰有两解D存在k，P 1，P 2，使之有无穷多解18 （5 分） （2014 上海）设 f（x）= ，若 f（0）是 f（x）的最小值，则 a 的取值范围为（ ）A 1， 2B 1， 0C1，2 D0，2三、解答题（共 5 题，满分 72 分）19 （12 分） （2014 上海）底面边长为 2 的正三棱锥 PA
6、BC，其表面展开图是三角形 P1P2P3，如图，求P 1P2P3 的各边长及此三棱锥的体积 V第 3 页 共 10 页20 （14 分） （2014 上海）设常数 a0，函数 f（x）= （1）若 a=4，求函数 y=f（x）的反函数 y=f1（x） ；（2）根据 a 的不同取值，讨论函数 y=f（x）的奇偶性，并说明理由21 （14 分） （2014 上海）如图，某公司要在 A、B 两地连线上的定点 C 处建造广告牌 CD，其中 D 为顶端，AC长 35 米，CB 长 80 米，设点 A、B 在同一水平面上，从 A 和 B 看 D 的仰角分别为 和 （1）设计中 CD 是铅垂方向，若要求 2
7、，问 CD 的长至多为多少（结果精确到 0.01 米）？（2）施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得 =38.12，=18.45，求 CD 的长（结果精确到 0.01 米） 22 （16 分） （2014 上海）在平面直角坐标系 xOy 中，对于直线 l：ax+by+c=0 和点 P1（x 1，y 1） ，P 2（x 2，y 2） ，记 =（ax 1+by1+c） （ax 2+by2+c） ，若 0，则称点 P1，P 2 被直线 l 分隔，若曲线 C 与直线 l 没有公共点，且曲线C 上存在点 P1、P 2 被直线 l 分隔，则称直线 l 为曲线 C 的一条分隔线（1）求证：点 A（1
8、，2） ，B（1，0）被直线 x+y1=0 分隔；（2）若直线 y=kx 是曲线 x24y2=1 的分隔线，求实数 k 的取值范围；（3）动点 M 到点 Q（0，2）的距离与到 y 轴的距离之积为 1，设点 M 的轨迹为曲线 E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是 E 的分隔线23 （16 分） （2014 上海）已知数列a n满足 anan+13an，nN *，a 1=1（1）若 a2=2，a 3=x，a 4=9，求 x 的取值范围；（2）设a n是公比为 q 的等比数列， Sn=a1+a2+an，若 SnSn+13Sn，nN *，求 q 的取值范围（3）若 a1，a 2，a k 成
9、等差数列，且 a1+a2+ak=1000，求正整数 k 的最大值，以及 k 取最大值时相应数列a1，a 2，a k 的公差第 4 页 共 10 页2014 年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共 14 题，满分 56 分）1 （4 分） （2014 上海）函数 y=12cos2（2x）的最小正周期是 2 （4 分） （2014 上海）若复数 z=1+2i，其中 i 是虚数单位，则（ z+ ） = 6 3 （4 分） （2014 上海）若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 x=2 4 （4 分） （2014 上海）设 f（x）
10、= ，若 f（2）=4，则 a 的取值范围为 （ ，2 5 （4 分） （2014 上海）若实数 x，y 满足 xy=1，则 x2+2y2 的最小值为 2 6 （4 分） （2014 上海）若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，则其母线与底面角的大小为 arccos （结果用反三角函数值表示） 7 （4 分） （2014 上海）已知曲线 C 的极坐标方程为 （3cos 4sin）=1，则 C 与极轴的交点到极点的距离是 8 （4 分） （2014 上海）设无穷等比数列a n的公比为 q，若 a1= （a 3+a4+an） ，则 q= 9 （4 分） （2014 上海）若 f（x）= ，则满足 f（
11、x）0 的 x 的取值范围是 （0，1） 10 （4 分） （2014 上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续 10 天中随机选择 3 天进行紧急疏散演练，则选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率是 （结果用最简分数表示） 11 （4 分） （2014 上海）已知互异的复数 a，b 满足 ab0，集合a ，b=a 2，b 2，则 a+b= 1 12 （4 分） （2014 上海）设常数 a 使方程 sinx+ cosx=a 在闭区间0，2上恰有三个解 x1，x 2，x 3，则x1+x2+x3= 13 （4 分） （2014 上海）某游戏的得分为 1，2，3，4，5，随机变量 表示小白玩该游
12、戏的得分，若 E（）=4.2，则小白得 5 分的概率至少为 0.2 14 （4 分） （2014 上海）已知曲线 C：x= ，直线 l：x=6，若对于点 A（m，0） ，存在 C 上的点 P 和 l 上的 Q 使得 + = ，则 m 的取值范围为 2 ，3 二、选择题（共 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，选对得 5 分，否则一律得零分15 （5 分） （2014 上海）设 a，bR，则“a+b4”是“a2 且 b2”的（ ）A充分非必要条件B必要非充分条件第 5 页 共 10 页C充要条件 D既非充分又非必要条件解答： 解：当 a=5，b=0 时，满足 a+b4，但 a2 且
13、 b2 不成立，即充分性不成立，若 a2 且 b2，则必有 a+b4，即必要性成立，故“a+b 4”是“a 2 且 b2”的必要不充分条件，故选：B16 （5 分） （2014 上海）如图，四个棱长为 1 的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，P i（i=1 ，2，8）是上底面上其余的八个点，则 （i=1 ，2，8）的不同值的个数为（ ）解答： 解：如图建立空间直角坐标系，则 A（2，0，0） ，B（2，0，1） ，P 1（1，0，1） ，P 2（0，0，1） ，P 3（2，1，1） ，P 4（1，1，1） ，P5（0，1，1） ，P 6（2，2，1） ，P 7（1，2，1） ，P8（0
14、，2，1） ， =（1，0，1） ， =（2，0，1） ， =（0，1，1） ，=（ 1，1，1） ， =（2，1，1） ， =（0，2，1） ，=（ 1，2，1） ， =（2，2，1） ，易得 =1（i=1，2， ，8） ， （i=1，2，8）的不同值的个数为 1，故选 A17 （5 分） （2014 上海）已知 P1（a 1，b 1）与 P2（a 2，b 2）是直线 y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和 y 的方程组 的解的情况是（ ）解答： 解：P 1（a 1，b 1）与 P2（a 2，b 2）是直线 y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，直线 y=kx+1 的斜率
15、存在，k= ，即 a1a2，并且 b1=ka1+1，b 2=ka2+1，a 2b1a1b2=ka1a2ka1a2+a2a1=a2a1，b2b1 得：（ a2b1a1b2）x=b 2b1，即（a 2a1）x=b 2b1方程组有唯一解故选：B18 （5 分） （2014 上海）设 f（x）= ，若 f（0）是 f（x）的最小值，则 a 的取值范围为（ ）解答： 解；当 a0 时，显然 f（0）不是 f（x）的最小值，当 a0 时，f（0）=a 2，第 6 页 共 10 页由题意得：a 2x+ +a2+a，解不等式：a 2a20，得 1a2，0a2，故选：D点评： 本题考察了分段函数的问题，基本不等
16、式的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题三、解答题（共 5 题，满分 72 分）19 （12 分） （2014 上海）底面边长为 2 的正三棱锥 PABC，其表面展开图是三角形 P1P2P3，如图，求P 1P2P3 的各边长及此三棱锥的体积 V解答： 解：根据题意可得：P 1，B ，P 2 共线，ABP 1=BAP1=CBP2，ABC=60，ABP1=BAP1=CBP2=60，P1=60，同理P 2=P3=60，P1P2P3 是等边三角形，P ABC 是正四面体，P1P2P3 的边长为 4，VPABC= =20 （14 分） （2014 上海）设常数 a0，函数 f（x）= （1）若 a=4
17、，求函数 y=f（x）的反函数 y=f1（x） ；（2）根据 a 的不同取值，讨论函数 y=f（x）的奇偶性，并说明理由解答： 解：（1）a=4， ， ，调换 x，y 的位置可得 ，x（，1）（1，+） （2）若 f（x）为偶函数，则 f（x）=f（x）对任意 x 均成立， = ，整理可得 a（2 x2x）=0 第 7 页 共 10 页2x2x 不恒为 0，a=0，此时 f（x）=1，xR ，满足条件；若 f（x）为奇函数，则 f（x）=f（x）对任意 x 均成立， = ，整理可得 a21=0，a=1，a0，a=1，此时 f（x）= ，满足条件；综上所述，a=0 时，f（x）是偶函数， a=1
18、 时，f （x）是奇函数点评： 本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题21 （14 分） （2014 上海）如图，某公司要在 A、B 两地连线上的定点 C 处建造广告牌 CD，其中 D 为顶端，AC长 35 米，CB 长 80 米，设点 A、B 在同一水平面上，从 A 和 B 看 D 的仰角分别为 和 （1）设计中 CD 是铅垂方向，若要求 2，问 CD 的长至多为多少（结果精确到 0.01 米）？（2）施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得 =38.12，=18.45，求 CD 的长（结果精确到 0.01 米） 解答： 解：（1）设 CD 的长为
19、x 米，则 tan= ，tan = ，0 ，tantan2，tan ，即 = ，解得 0 28.28，即 CD 的长至多为 28.28 米（2）设 DB=a，DA=b，CD=m，则ADB=180 =123.43，由正弦定理得 ，即 a= ，m= 26.93，第 8 页 共 10 页答：CD 的长为 26.93 米22 （16 分） （2014 上海）在平面直角坐标系 xOy 中，对于直线 l：ax+by+c=0 和点 P1（x 1，y 1） ，P 2（x 2，y 2） ，记 =（ax 1+by1+c） （ax 2+by2+c） ，若 0，则称点 P1，P 2 被直线 l 分隔，若曲线 C 与直
20、线 l 没有公共点，且曲线C 上存在点 P1、P 2 被直线 l 分隔，则称直线 l 为曲线 C 的一条分隔线（1）求证：点 A（1，2） ，B（1，0）被直线 x+y1=0 分隔；（2）若直线 y=kx 是曲线 x24y2=1 的分隔线，求实数 k 的取值范围；（3）动点 M 到点 Q（0，2）的距离与到 y 轴的距离之积为 1，设点 M 的轨迹为曲线 E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是 E 的分隔线分析： （1）把 A、B 两点的坐标代入 =（ax 1+by1+c） （ax 2+by2+c） ，再根据 0，得出结论（2）联立直线 y=kx 与曲线 x24y2=1 可得 （14k
21、 2）x 2=1，根据此方程无解，可得 14k20，从而求得k 的范围（3）设点 M（x，y） ，与条件求得曲线 E 的方程为x 2+（y2） 2x2=1 由于 y 轴为 x=0，显然与方程联立无解把 P1、P 2 的坐标代入 x=0，由 =1（1）=10，可得 x=0 是一条分隔线解答： （1）证明：把点（1，2） 、 （1，0）分别代入 x+y1 可得（1+21） （ 11）=40，点（ 1，2） 、 （ 1，0）被直线 x+y1=0 分隔（2）解：联立直线 y=kx 与曲线 x24y2=1 可得 （14k 2）x 2=1，根据题意，此方程无解，故有 14k20，k ，或 k （3）证明：
22、设点 M（x，y） ，则 |x|=1，故曲线 E 的方程为x 2+（y 2） 2x2=1 y 轴为 x=0，显然与方程联立无解又 P1（1，2） 、P 2（1，2）为 E 上的两个点，且代入 x=0，有 =1（1）= 10，故 x=0 是一条分隔线若过原点的直线不是 y 轴，设为 y=kx，代入x 2+（y 2） 2x2=1，可得x 2+（kx 2） 2x2=1，令 f（x）=x 2+（kx 2） 2x21，f（ 0）f（2）0，f（ x）=0 有实数解，即 y=kx 与 E 有公共点，y=kx 不是 E 的分隔线通过原点的直线中，有且仅有一条直线是 E 的分隔线23 （16 分） （2014
23、 上海）已知数列a n满足 anan+13an，nN *，a 1=1（1）若 a2=2，a 3=x，a 4=9，求 x 的取值范围；（2）设a n是公比为 q 的等比数列， Sn=a1+a2+an，若 SnSn+13Sn，nN *，求 q 的取值范围第 9 页 共 10 页（3）若 a1，a 2，a k 成等差数列，且 a1+a2+ak=1000，求正整数 k 的最大值，以及 k 取最大值时相应数列a1，a 2，a k 的公差分析： （1）依题意： ，又 将已知代入求出 x 的范围；（2）先求出通项： ，由 求出 ，对 q 分类讨论求出 Sn分别代入不等式 SnSn+13Sn，得到关于 q 的
24、不等式组，解不等式组求出 q 的范围（3）依题意得到关于 k 的不等式，得出 k 的最大值，并得出 k 取最大值时 a1，a 2，a k 的公差解答： 解：（1）依题意： ， ；又3x27，综上可得：3x 6（2）由已知得， ， ， ，当 q=1 时，S n=n， SnSn+13Sn，即 ，成立当 1q3 时， ， SnSn+13Sn，即 ，不等式q 1，故 3qn+1qn2=qn（3q1） 22q n20 对于不等式 qn+13qn+20，令 n=1，得 q23q+20，解得 1q2，又当 1q2，q30，qn+13qn+2=qn（q 3）+2 q（q 3）+2=（q1） （q2） 0 成立，1 q2，当 时， SnSn+13Sn，即 ，此不等式即 ，第 10 页 共 10 页3q10 ，q 3 0，3qn+1qn2=qn（3q1） 22q n20，qn+13qn+2=qn（q3）+2 q（q 3）+2=（q1） （q 2）0 时，不等式恒成立，上，q 的取值范围为： （3）设 a1，a 2，a k 的公差为 d由 ，且 a1=1，得即当 n=1 时， d2；当 n=2，3，k 1 时，由 ，得 d ，所以 d ，所以 1000=k ，即 k22000k+10000，得 k1999所以 k 的最大值为 1999，k=1999 时，a 1，a 2，a k 的公差为
