1、第五篇 数 列 A第 1 讲 数列的概念与简单表示法最新考纲1了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)2了解数列是自变量为正整数的一类函数.知 识 梳 理1数列的概念(1)数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列数列中的每一个数叫做这个数列的项排在第一位的数称为这个数列的第 1 项，通常也叫做首项(2)数列的通项公式如果数列 an的第 n 项与 序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式(3)数列的前 n 项和在数列 an中， Sna 1a 2a n叫做数列的前 n 项和2数列的表示方法(1)表示方法列表法 列表格表达 n 与 f(n)的对
2、应关系图象法 把点( n，f(n)画在平面直角坐标系中通项公式 把数列的通项使用通项公式表达的方法公式法递推公式使用初始值 a1 和 an1 f(a n)或 a1，a 2 和 an1 f( an，a n1 )等表达数列的方法(2)数列的函数特征：上面数列的三种表示方法也是函数的表示方法，数列可以看作是定义域为正整数集(或它的有限子集1,2， ，n 的函数 anf(n)当自变量由小到大依次取值时所对应的一列函数值*3数列的分类分类原则 类型 满足条件有穷数列 项数有限按项数分类无穷数列 项数无限递增数列 an1 a n递减数列 an1 a n单调性 常数列 an1 a n其中nN *摆动数列从第
3、二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列周期性 nN *，存在正整数常数 k，a nk a n4.an与 Sn的关系若数列 an的前 n 项和为 Sn，则 anError!辨 析 感 悟1对数列概念的认识(1)数列 1,2,3,4,5,6 与数列 6,5,4,3,2,1 表示同一数列()(2)1,1,1,1， 不能构成一个数列()2对数列的性质及表示法的理解(3)(教材练习改编)数列 1,0,1,0,1,0，的通项公式，只能是an .()1 1n 12(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列()(5)(2013开封模拟改编)已知 Sn3 n1，则 an23 n1 .()感悟
4、提升1一个区别 “数列”与“数集”数列与数集都是具有某种属性的数的全体，数列中的数是有序的，而数集中的元素是无序的，同一个数在数列中可以重复出现，而数集中的元素是互异的，如 (1)、(2)2三个防范 一是注意数列不仅有递增、 递减数列，还有常数列、摆动数列，如(4)二是数列的通项公式不唯一，如(3)中还可以表示为 anError!三是已知 Sn求 an时，一定要验证 n1 的特殊情形，如(5).学生用书第 79 页考点一 由数列的前几项求数列的通项【例 1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)1,7， 13,19，；(2) ， ， ， ， ，；23 415 635 863
5、1099(3) ，2，8 ， ，；12 92 252(4)5,55,555,5 555，.解 (1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(1) n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大 6，故数列的一个通项公式为 an(1) n(6n5)(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为13,35,57,79,911，每一项都是两个相邻奇数的乘积知所求数列的一个通项公式为 an .2n2n 12n 1(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察即 ， ， ，从而可得数列的一个通项公式为 an .124292162 252 n22(
6、4)将原数列改写为 9， 99， 999，易知数列 9,99,999，的通项为59 59 5910n1，故所求的数列的一个通项公式为 an (10n1)59规律方法 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的变化特征；拆项后的各部分特征；符号特征应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想【训练 1】 根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1) ， ， ， ， ，；1214 581316 29326164(2) ，1， ， ，.32 710 917解 (1)各项的分母分别为 21,22,23,24，易看出第
7、2,3,4 项的分子分别比分母少 3.因此把第 1 项变为 ，原数列可化为2 32 ， ， ， ，因此可得数列的一个通项公式为21 321 22 322 23 323 24 324an( 1)n .2n 32n(2)将数列统一为 ， ， ，对于分子 3,5,7,9，是序号的 2 倍加 1，可32557，10 917得分子的通项公式为 bn2n1，对于分母 2,5,10,17，联想到数列1,4,9,16，即数列n 2，可得分母的通项公式为 cnn 21，因此可得数列的一个通项公式为 an .2n 1n2 1考点二 由 an与 Sn的关系求通项 an【例 2】 (2013广东卷节选)设数列a n的
8、前 n 项和为 Sn.已知a11， a n1 n2n ，nN *.2Snn 13 23(1)求 a2 的值；(2)求数列a n的通项公式解 (1)依题意， 2S1a 2 1 ，13 23又 S1a 11，所以 a24；(2)由题意 2Snna n1 n3n 2 n，13 23所以当 n2 时，2Sn1 (n1)a n (n1) 3(n1) 2 (n1)13 23两式相减得 2anna n1 (n1)a n (3n23n1)(2n1) ，13 23整理得(n1)a nna n1 n(n1) ，即 1，又 1，an 1n 1 ann a22 a11故数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，an
9、n a11所以 1(n1) 1n，所以 ann 2.ann规律方法 给出 Sn与 an的递推关系，求 an，常用思路是：一是利用SnS n1 a n(n2) 转化为 an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 Sn的递推关系，先求出 Sn与 n 之间的关系，再求 an.【训练 2】 设数列a n的前 n 项和为 Sn，数列 Sn的前 n 项和为 Tn，满足Tn2S nn 2， nN *.(1)求 a1 的值；(2)求数列a n的通项公式解 (1)令 n 1 时，T 12S 11，T 1S 1a 1，a 12a 11，a 11.(2)n2 时， Tn1 2S n1 (n1) 2，则 SnT nT
10、 n1 2S nn 22 Sn1 (n1) 22(S n Sn1 )2n12a n2n1.因为当 n1 时，a 1S 11 也满足上式，所以 Sn2a n2n1(n1)，当 n2 时，S n1 2a n1 2(n1)1，两式相减得 an2a n2a n1 2，所以 an2a n1 2(n2) ，所以 an22(a n1 2)，因为 a1230，所以数列 an 2是以 3 为首项，公比为 2 的等比数列所以 an232 n1 ，a n32 n1 2，当 n1 时也成立，所以 an32 n1 2.学生用书第 80 页考点三 由递推公式求数列的通项公式【例 3】 在数列a n中，(1)若 a12，
11、an1 a nn1，则通项 an_；(2)若 a11， an1 3a n2，则通项 an_.审题路线 (1)变形为 an1 a nn1用累加法，即 ana 1(a 2a 1)(a 3a 2)(a na n1 )得出 an.(2)变形为 an 113(a n1) 再变形为 用累乘法或迭代法可求an 1 1an 1 13an.解析 (1)由题 意得，当 n2 时，a na 1(a 2a 1)(a 3a 2)(a na n1 )2(2 3n) 2 1.n 12 n2 nn 12又 a12 1，符合上式，11 12因此 an 1.nn 12(2)an1 3a n 2，即 an1 13(a n1)，即
12、3，an 1 1an 1法一 3， 3， 3， 3.将这些等式两边分别相a2 1a1 1 a3 1a2 1 a4 1a3 1 an 1 1an 1乘得 3 n.an 1 1a1 1因为 a11，所以 3 n，即 an1 23 n1(n1)，所以an 1 11 1an23 n1 1(n2) ，又 a11 也满足上式，故 an23 n1 1.法二 由 3，即 an1 13(a n1)，an 1 1an 1当 n2 时，a n13( an1 1)，an1 3(a n1 1)3 2(an2 1)3 3(an3 1) 3 n1 (a11) 23 n1 ，an2 3n1 1；当 n1 时，a 1123 1
13、1 1 也满足an2 3n1 1.答案 (1) 1 (2)23 n1 1nn 12规律方法 数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形， 变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项【训练 3】 设 an是首项为 1 的正项数列，且( n1)a na a n1 an0(n1,2,3，)，则它的通项公式 an_.2n 1 2n解析 (n1)a a n1 anna 0，2n 1 2n(an1 a n)(n1)a n1 nan0
14、，又 an1 a n0，(n1) an1 na n0，即 ， ，an .an 1an nn 1 a2a1a3a2a4a3a5a4 anan 1 12 23 34 45 n 1n 1n答案 1n1求数列通项或指定项，通常用观察法(对于交错数列一般用(1) n或(1) n1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法2由 Sn求 an时，a nError!注意验证 a1 是否包含在后面 an的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含 an与 Sn的关系的数列题均可考虑上述公式3已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把
15、握一般有三种常见思路：(1)算出前几项 ，再归纳、猜想；(2)“an1 pa nq”这种形式通常转化为 an1 p(a n)，由待定系数法求出 ，再化为等比数列；(3)利用累加、累乘法或迭代法可求数列的通项公式 思想方法 4用函数的思想解决数列问题【典例】 (2013新课标全国卷)等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知S100，S 1525，则 nSn的最小值为_解析 由题意及等差数列的性质，知 a1a 100，a 1a 15 .103两式相减，得 a15a 10 5d，所以 d ，a1 3.103 23所以 nSnnna 1 d .nn 12 n3 10n23令 f(x) ，x0，x3
16、10x23则 f( x) x(3x20) ，由函数的单调性，可知函数 f(x)在 x 时取得最小值，检13 203验 n6 时，6S 648，而 n7 时，7S 749，故 nSn的最小值为49.答案 49反思感悟 (1)本题求出的 nSn的表达式可以看做是一个定义在正整数集 N*上的三次函数，因此可以采用导数法求解(2)易错分析：由于 n 为正整数，因而不能将 代入求最值，这是考生容易忽略而203产生错误的地方【自主体验】1设 an3n 215n18，则数列a n中的最大项的值是( )A. B. 163 133C4 D 0解析 a n3 2 ，由二次函数性质，得当 n2 或 3 时， an最
17、大，最大(n 52) 34为 0.答案 D2已知 an是递增数列，且对于任意的 nN *，a nn 2n 恒成立，则实数 的取值范围是_解析 设 f(n)a nn 2n，其 图象的对称轴为直线 n ，要使数列a n为递2增数列，只需使定义在正整数上的函数 f(n)为增函数，故只需满足 ，即2 323.答案 (3，)对应学生用书 P285基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1(2014深圳中学模拟 )数列 0，的一个通项公式为( )234567Aa n (nN *) Ba n (nN *) Ca n (nN *) n 1n 1 n 12n 1 2n 12n 1Da n (nN *)2n
18、2n 1解析 将 0 写成 ，观察数列中每一项的分子、分母可知，分子 为偶数列，可表示01为 2(n 1)，nN*；分母为奇数列，可表示为 2n1，n N*，故选 C.答案 C2若 Sn为数列a n的前 n 项和，且 Sn ，则 ( )nn 1 1a5A. B. C. D3056 65 130解析 当 n2 时，a nS nS n1 ， 5(51)30.nn 1 n 1n 1nn 1 1a5答案 D3(2014贵阳模拟 )已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Sn2n 21，则 a3( )A10 B6 C10 D14解析 a 3S 3S 223 21(22 21)10.答案 C4已知 a11，a nn(a n1 a n)(nN *)，则数列a n的通项公式是( )A2n1 B. n1(n 1n )Cn 2 Dn解析 法一 (构造法) 由已知整理得(n1) anna n1 ， ，数列 是常数列an 1n 1 ann ann
