1、2014 年成人高考数学模拟试题 3第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 ，则 中元素的个数为（ ）1,2468,1,236,7MNMNA2 B3 C5 D72. 已知角 的终边经过点 ，则 （ ）(,)cosA B C D4553543. 不等式组 的解集为（ ）(2)0|1xA B C D|10x|1x|1x4. 已知正四面体 ABCD 中，E 是 AB 的中点，则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为（ ）A B C D163635. 函数 的反函数是（ ）3ln()1y
2、xA B 1e3(1)xyeC D3()xyRR6. 已知 为单位向量，其夹角为 ，则 （ ）ab、 06(2)abA-1 B0 C1 D27. 有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A60 种 B70 种 C75 种 D150 种 8. 设等比数列 的前 n 项和为 ，若 则 （ ）anS243,15,S6A31 B32 C63 D649. 已知椭圆 C： 的左、右焦点为 、 ，离心率为 ，过 的直线21xyab(0)1F232F交 C 于 A、B 两点，若 的周长为 ，则 C 的方程为（ ）l 1FB43A B C D2
3、3xy23xy218xy214xy10. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高位 4，底面边长为 2，则该球的表面积为（ ）A B C D8146927411. 双曲线 C： 的离心率为 2，焦点到渐近线的距离为 ，则 C 的焦距21(0,)xyab 3等于（ ）A2 B C4 D212. 奇函数 的定义域为 R，若 为偶函数，且 ，则 （ ）()fx(2)fx(1)f(8)9fA-2 B-1 C0 D1第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中 的系数为 .（用数字作答）6(2)x3x14. 函数 的最大值为 .cosiny15
4、. 设 x、y 满足约束条件 ，则 的最大值为 .0231xy4zxy16. 直线 和 是圆 的两条切线，若 与 的交点为（1,3） ，则 与 的夹角的正切值1l22xy1l21l2等于 .三、解答题 （本大题共 6 小题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 10 分）数列 满足 .na1221,2nnaa（1）设 ，证明 是等差数列；nbb（2）求 的通项公式 .n18. （本小题满分 12 分）的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 ，求 B. 13cos2s,tan3aCA19. （本小题满分 12 分）如图，三棱柱 中，点 在平面 ABC 内
5、的射影 D 在 AC 上， ，11A09B.1,2BCA（1）证明： ；B（2）设直线 与平面 的距离为 ，求二面角 的大小.11C31ABC20.（本小题满分 12 分）设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别是 0.6，0.5,0.5,0.4，各人是否使用设备相互独立，（1）求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率；（2）实验室计划购买 k 台设备供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于 k”的概率小于 0.1，求 k 的最小值.21. （本小题满分 12 分）函数 .32()(0)fxaxa（1）讨论函数 的单调性；()f（2）若函数 在区间（1，2
6、）是增函数，求 的取值范围 .x22. （本小题满分 12 分）已知抛物线 C: 的焦点为 F，直线 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，2(0)yp4且 .54QFP（1）求抛物线 C 的方程；（2）过 F 的直线 与 C 相交于 A,B 两点，若 AB 的垂直平分线 与 C 相交于 M,N 两点，且 A,M,B,Nl l四点在同一个圆上，求直线 的方程.l2014 年成人高考数学模拟试题答案 3一、选择题1.B 2.D 3.C 4.B 5.D 6.B7.C 8.C 9.A 10.A 11.C 12.D二、填空题13. -160 14. 15. 5 16. 3243三、解答题：解答
7、应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（本小题满分 10 分）解：（1）由 得 ，即 ，又212nnaa12nna12nb.21b所以 是首项为 1，公差为 2 的等差数列；n（2）由（1）得 ，即 ，于是()nb1na11()(2)nnkka于是 ，即 ，21na211n又 ，所以 的通项公式为n2na18.（本小题满分 10 分）解：由题设和正弦定理得， 3sicosincoACA所以 3tanco2nA因为 ，所以 .1ita2C所以 nta180()BAC= tant1AC=-1,即 35B19.（本小题满分 12 分）解法一：（1）因为 平面 ， 平面 ，故平面 平面 ，1ADB
8、C1AD1C1ACB又 ，所以 平面 ，B连结 ，因为侧面 是棱形，所以 ，111由三垂线定理的 .ACB（2） 平面 ， 平面 ，故平面 平面 ，BC1ABC1B1AC1B作 ， 为垂足，则 平面 ，1EAE又直线 平面 ，/1因而 为直线 与平面 间的距离， ，1A1BC13AE因为 为 的平分线，故 ，C1D作 ， 为垂足，连结 ,由三垂线定理得 ，DF1F1FB故 为二面角 的平面角，1A1ABC由 ,得 为 的中点，21ADDAC， ，5CBF11tan5F所以二面角 的大小为 .1rct解法二：以 为坐标原点，射线 为 轴的正半轴，以 的长为单位长，建立如图所示的空间AxCB直角坐
9、标系 ，由题设知 与 轴平行， 轴在平面 内. Cxyz1Dzz1AC（1）设 ，由题设有 ， ，则 (-2，1，0)，1(,0)Aac2a(,0)(,1)ABAF， ，12,(,Cc (4,0)(,)CacBac由 得 ，即 ，12)224c于是 AB40ac所以 .1C（2）设平面 的法向量 ，(,)mxyz则 ， ,即 ，mB1,B10,CmB因为 ，1(0,)(2)CAac故 ，且 ，y20axcz令 ，则 ， ，点 到平面 的距离为xc2za(,02)mcaA1BC，22os, ()CACAc又依题设，点 到平面 的距离为 ，1B3所以 .3c代入得 （舍去）或 .aa于是 ，1(,
10、0)A设平面 的法向量 ，B(,)npqr则 ,即 . 且 ，1,n10AB30pr20pq令 ，则 ， ， ，3p2qr(,21)又 为平面 的法向量，(0,)C故 ，1cos,4np所以二面角 的大小为1AB1arcos420.（本小题满分 12 分）设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别是 0.6，0.5,0.5,0.4，各人是否使用设备相互独立，（1）求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率；(2)实验室计划购买 k 台设备供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于 k”的概率小于 0.1，求 k 的最小值.解：记 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有
11、 i 人需使用设备，i=0,1,2.iAB 表示事件：甲需使用设备.C 表示事件：丁需使用设备.D 表示事件：同一工作日至少 3 人需使用设备.E 表示事件：同一工作日 4 人需使用设备.F 表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于 k.（1） 12DABCABC.2()0.6,().4,()0.5,1,iiPPi所以 12)2()(ABCABC1 2)()()PPP 0.3（2）由（1）知，若 ，则k()0.31F又 ，2EBCA 2()()(.6PPBCA若 ，则 .4k(0.61F所以 的最小值为 3.21. （本小题满分 12 分）解：（） ， 的判别式=36（1-a）.2()36fx
12、ax2()360fax（）若 a1，则 ，且 当且仅当 ，故此时 在 R 上0 1,ax()fx是增函数.（）由于 ，故当 时， 有两个根：a1()0fx，12,axx若 ，则当 或 时， ，故 在0a2(,)1(,)x()0fx()fx上是增函数；21(,)(,x当 时， ，故 在 上是减函数；()0fx()fx21,)（）当 时, ，所以当 时， 在区间（1，2）是增函数.0axa(f若 时， 在区间（1,2）是增函数，当且仅当 且 ，解得0a()fx (1)0f(2)f.54综上， 的取值范围是 .5,0)(,)422. （本小题满分 12 分）解：（）设 ，代入由 中得 ，0(,)Qx
13、2()ypx08xp所以 ，由题设得 ，解得 （舍去）08,PFp5824p2或 2所以 的方程为 .C24yx（）依题意知直线 与坐标轴不垂直，故可设直线 的方程为 ，l l1,(0)xmy代入 中得 ，2yx20ym设 ，则 ，12(,)(,)AB12124,y故 的中点为 ， ，,)D2124(1)ABym有直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，lml 3x将上式代入 中，并整理得 .24yx224()0y设 ，则 .3(,)(,)MN3434,m故 的中点为 ，E2,)m23421(1y由于 垂直平分 ，故 A,M,B,N 四点在同一个圆上等价于 ,从MNAB 12AEBMN而 ,221144DE
