1、第3讲 函数的表示方法,江苏省通州高级中学,主要内容,一、聚焦重点,二、廓清疑点,函数定义域的确定. 求作函数的图象.,三、破解难点,利用函数解析式解决实际问题.,函数解析式的求法.,基础知识,函数的三种表示方法:,(1)解析法用等式来表示两个变量之间的 函数关系.,(2)列表法用列表来表示两个变量之间的 函数关系.,(3)图象法用图象来表示两个变量之间的 函数关系.,基础知识,函数的三种表示方法的优点:,聚焦重点：函数解析式的求法,问题研究,求函数解析式通常有哪些方法？,典型例题1,例1 分别根据下列条件，求函数f(x)的解析式：,思路分析,思路2 通过整体换元来处理.,思路1 设法将等式右
2、边配凑为关于 的形式.,求解过程,回顾反思,（1）基本策略：配凑、换元.,（2）数学思想：整体代换.,（3）思维误区：忽视函数的定义域.,例1 f(x)是一次函数，且ff(x)9x8，求f(x).,思路分析,分析 设出一次函数f(x)的一般形式，代入已知等式，再根据多项式恒等的条件确定有关系数.,求解过程,解 设f(x)axb(a0)，则,f(x)3x2，或f(x)3x4.,例1 f(x)是一次函数，且ff(x)9x8，求f(x).,回顾反思,（1）基本策略：待定系数法.（2）适用题型：已知函数类型，确定函数解析式.（3）解题关键：根据多项式恒等条件，建立系数 满足的等量关系，联立求解.,思路
3、分析,分析 已知等式中既含有f(x) 又含有f(x), 能否设法将f(x)消去？,以x代x！,能否由已知等式得到关于f(x)和f(x) 的又一个关系？,例1 已知 3f(x)2 f(x)2x5，求 f(x).,求解过程,解 由已知 3f(x)2 f(x)2x5 以x代x，得 3f(x) 2 f(x)2x 5 3 2，解得 f(x)2x1.,例1 已知 3f(x)2 f(x)2x5，求 f(x).,回顾反思,（1）基本策略：解方程组，实施消元.（2）数学思想：函数与方程思想.（3）思维障碍：无法找到另一个方程，思维受阻.,例1 已知f(0) 1，且对任意x，yR，有 f(xy)f(x)y(2xy
4、1)，求f(x).,思路分析,思路1 令y=0，得到f(x)f(x).,此路不通！,思路2 令x=0，得到f(y)f(0)y(y1) y2y1，则f(y)y2y1，即 f(x)x2x1.,方法可行！,思路3 令y=x，得到f(0)f(x)x(2xx1) 则f(x)x2x1.,更加简洁！,赋值法！,回顾反思,基本方法：配凑法，换元法，方程法，赋值法， 待定系数法.,数学思想：整体换元思想，函数与方程思想.,思维盲点：忽视由中间变量的取值范围确定函 数的定义域.,思维策略：根据问题特点，灵活选择方法.,求函数解析式方法小结：,廓清疑点：函数定义域的确定,典型例题2,思路分析,方法可行，运算繁琐！,
5、思路2 等式右边配方，实施整体代换.,整体处理，更加快速！,求解过程,思考1 解题是否就此结束？,定义域！,思考2 函数定义域是xRx0，对吗？,错！,求解过程,回顾反思,2. 在本例中，求函数的定义域，实质就是确定中 间变量的值域，“判别式法”是求函数值域的重 要方法之一.,3. 要准确理解不同表达式中同一字母的不同含 义，防止应理解错误而误求定义域.,定义域和对应法则是函数的两个本质要素，对 应法则相同而定义域不同，函数关系也不同， 因此，求函数的解析式，必须确定其定义域.,廓清疑点：求作函数的图象,基础知识,1. 函数图象是函数关系的直观表示. 函数y=f(x) 图象就是点集(x，y)
6、y=f(x) ，xA所 对应的几何图形.,2. 作函数图象通常有以下两种方法: 描点法：列表描点连线. 变换法：利用已知函数（如：一次函数、二 次函数、反比例函数等）的图象，通过平移、 对称、伸缩等变换手段，得到所作函数的图象.,基础知识,3. 有些函数，在定义域的不同部分上，有着不同的解析表达式. 有些函数，虽在定义域上具有统一的解析表达式，但函数关系隐晦，为便于理解，常通过分类讨论转化为几个不同的部分来表示. 象这样的函数通常叫做分段函数. 需要注意的是，分段函数是一个函数，而不是几个函数.,问题研究,如何求作函数的图象？又应注意哪些问题呢？,典型例题3,例3 作出下列函数的图象：,思路分
7、析,例3 作出下列函数的图象：,思路1 通过取一些特殊点，采用描点法.,关注定义域！,思路2 化为熟悉的函数，再作出图象.,化简函数式！,求解过程,例3 画出下列函数的图象：,回顾反思,（1）求解步骤： 确定函数的定义域； 化简函数的解析式； 作出函数的图象.,（2）思维误区： 不会化简，无从下手； 范围有误，图象失真； 忽视细节，作图粗糙.,思路分析,例3 画出下列函数的图象：,分析 求定义域：,去绝对值号！,化简函数式：,R.,分为以下三种情况进行讨论：x2；2x1；x1.,求解过程,例3 画出下列函数的图象：,回顾反思,（2）思想方法：分类讨论思想.,（1）解决策略：通过讨论，化为分段函
8、数.,（3）思维瑕点：在段与段的“接头”处处理粗 糙，该连不连，当断不断. 不善于抓住一些特征点，未 能使所作图象精细化.,思路分析,例3 画出下列函数的图象：,思路1 通过分类讨论，化为分段函数.,思路2 探究函数y=f(x)的图象与函数 y= f(x) 的图象关系，利用图象变换法完成作图.,结论 函数y=f(x)在x轴上方的图象不变，并将 其在 x 轴下方的图象向上翻折，即得所 作函数y= f(x)的图象.,解 作函数y=x22x3=(x1)24的图象. 将函数y=(x1)24在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，即得到函数 的图象.,解题过程,例3 画出下列函数的图象：,回顾反思,友情提醒：1
9、. 要熟练掌握一些常见函数的图象，如一次函 数、反比例函数、二次函数等2. 作图前，应首先确定函数的定义域，以保证 图象准确定位在对函数式进行变形过程中, 要时刻关注定义域的变化，分清实线与虚线, 空心点和实心点,回顾反思,友情提醒3. 画图时要尽可能地作出能反映函数性质的一 些特征点和特征线，如图象与坐标轴的交点, 双曲线的渐近线，抛物线的顶点、对称轴等, 以确保所作图象尽可能地准确4. 分段函数的图象，各部分有些 “相连”，有些 “断裂”，判断方法是：计算分界点处对应函 数值是否相等，相等则“连”，不等则“断”,变式探究,思路1 化为分段函数，分别求出各分段区间上 函数的取值范围，再求并集
10、.,思路自然，普遍适用,思路2 作出图象，观察结果.,借助图象，一目了然,变式探究,思路1 分别各种情况逐一讨论.,思路2 作出图象，观察结果.,纷繁复杂，过程冗长,数形结合，一看到底,回顾反思,方法归纳： 图象法是研究函数性质的重要手段，如求函 数值域等. 随着学习的深入，函数图象的作 用将更加凸显.2. 方程f(x)=a的解的个数，等价于直线y=a与函 数 f(x) 图象的交点个数，充分体现了数形结 合的数学思想,破解难点：利用函数解析式解决实际问题,例4 某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，此商品的销售价 x (元) 与日销售量 y (件) 之间有如下关系：根据表中信
11、息，确定y与x的一个函数关系式；设经营此商品的日销售利润为 P 元，问：当销 售单价为多少元时，可获得最大日销售利润？,典型例题4,例4根据表中信息，确定y与x的一个函数关系式；,思路分析,步骤2 猜想y关于x是一次函数模型.,步骤3 检验猜想.,思路分析,解 设yaxb，将(30,60)，(50,0)代入，得 30ab60, a3, 50ab0 . b150 . y 3x150(30 x50).,例4根据表中信息，确定y与x的一个函数关系式；,经检验，其他三点的坐标也满足上述关系.,例4 设经营此商品的日销售利润为 P 元，问:当销售单价为多少元时，可获最大日销售利润？,典型例题4,日销售量
12、每件商品的利润,解 P(3x150)(x 30) (x 40)2 300(30 x50)，,当x40时，Pmax300.,答：当销售单价为40元时，可获最大日销售利润.,解决实际问题的一般流程：,回顾反思,建模过程：函数三种表示法的转化,总结提炼,知 识：,函数的表示法：列表法，图象法，解析法.,1. 确定函数解析式的方法：配凑法、换元法、方程法、赋值法、待定系数法.2. 求作函数图象的方法：求定义域、化简函数式、作出图象.,方 法：,总结提炼,1. 函数方程思想：如构造方程组求解析式， 利用函数图象研究方程解的个数.2. 整体换元思想：如换元法求函数解析式. 3. 分类讨论思想：如去绝对值号化简函数解 析式，含参数方程解的个数的讨论.4. 数形结合思想：如由图象拟合函数，将方 程解的问题转化为函数图象的交点问题.,数学思想：,再 见,同步练习,同步练习,3. 某工厂产品的次品率p与日产量x（件）的关 系如下表所示(xN，1x98)： 试写出次品率p关于日产量x的函数关系； 若每生产一件正品盈利300元，每生产一 件次品损失100元，将该厂日盈利额M （百元）表示成日产量x的函数,参考答案,
