1、2013 届江西省吉安县二中五月第二次周考理科数学试卷所 第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小 题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知 ，若复数 为纯虚数，则 （ ）Raiaz12|3|ai（A） （B） （C） （D ）330102已知 ， ，则 （ ）,02)cos(tan（A） （B） 或 （C） （D）33333下列函数中在区间 上为增函数，且其图像为轴对称图形的是（ ）),1(（A） （B） （C） （D ）2xyxycos|1|lgxy xxy3234已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）（A） （B）
2、160 （C） （D）31602364285计划在 个不同的体育馆举办排球、篮球、足球 3 个项目的比赛，4每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过 2 个的安排方案共有（ ）（A）60 种 （B）42 种 （C）36 种 （D）24 种6已知圆 C 过点 ，且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 被该圆所截得的弦长为(1,0) :1lyx，则圆 C 的标准方程为（ ）2（A） （B） 2(3)4xy2(1)4y（C） （D） 13x7已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）（A） （B） （C ）2 （D）128已知函数 ，则（ 2cosinsi1c
3、o2)( xxxf）（A） 在 时取得最小值 ，其图像关于点 对称)(xf832)0,83(（B） 在 时取得最小值 ，其图像关于点 对称0,5（C） 在 单调递减，其图像关于直线 对称)(xf)87,3 8x（D） 在 单调递增，其图像关于直线 对称,9已知向量 ， ， ，且 ，则 取得最小值时，)1,4(xa)5,(xyb),0(,ybaxy=（ ）y（A） （B） （C ） （D） 322510已知球 的直径 ， 是球 球面上的三点， 是正三角形，且O4PQA,OABC，则三棱锥 的体积为（ ）30PABP（A） （B） （C） （D）344932342711过双曲线 的左焦点 作圆 的
4、切线，切点为 ，0,12bayx 0,cF2ayxE延长 交抛物线 于点 ， 为原点，若 ，则双曲线的离心率为FEcPOOPE21（ ）（A） （B） （C） （D）251231747412已知 是函数 的零点， ，则0x ),0(lnsi)( xxf 21x ； ； ；),1(e,e)(21ff 0)(ff其中正确的命题是（ ）（A） （B） （C） （D）第卷（非选择题 共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答，第 22 题24 题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13已知 ，若 的展开式中各
5、项系数的和为 1458，则该展开式中 项的0a26(1)xa 2x系数为_14已知不等式 的解集为 ，不等式 的解集为 ，若 是 的xp2(1)0xaqp充分不必要条件，则实数 的取值范围是_a15设函数 ， 是由 轴和曲线 及该曲线在点 处的切ln,0()21xfDx()yfx1,0线所围成的封闭区域，则 在 上的最大值为_zy16 的内角 的对边长分别为 ，若 ，且ABC, cba,bc2，则 _sinco2sinb三、解答题：本大题共 70 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤（17） （本小题满分 12 分）已知等比数列 是递增数列， ，数列 满足 ，且na,325a124
6、anb1（ ）nb21N（1）证明：数列 是等差数列；na（2）若对任意 ，不等式 总成立，求实数 的最大值nb1)2( （18） （本小题满分 12 分）某射击比赛规则如下，开始时在距目标 100 米处射击，如果命中记 3 分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在 150 米处，这时命中记 2 分，且停止射击；若第二次仍未命中还可以进行第三次射击，但此时目标已在 200 米处，若第三次命中则记 1 分，并停止射击；若三次都未命中，则记 0 分，已知某射手在 100 米处击中目标的概率为 ，他的命中率与目标距离的平方成反比，且各次射击都是相互独立的2（1）求这名射手在
7、射击比赛中命中目标的概率；（2）若这名射手在射击比赛中得分记为 ，求 的分布列与数学期望（19） （本小题满分 12 分）如图，三棱柱 中， ， ， ， 是以1CBA221BC21ABC为底边的等腰三角形，平面 平面 ， 分别为棱 、 的中点BCFE, 1（1）求证： 平面 ；/EF1（2）若 为整数，且 与平面 所成的角的余弦值为 ，求二面角A1AC32的余弦值BC1（20） （本小题满分 12 分）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，上顶点为 ，过点 与21(0)xyab21,FA垂直的直线交 轴负半轴于点 ，且 ，过 三点的圆的半径为2AFQ0221F2,Q2，过定点 的直线 与椭圆 交于 两
8、点（ 在 之间）),0(MlCHG,M,（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线 的斜率 ，在 轴上是否存在点 ，使得以 为邻边的平行四lkx)0,(mPPHG,边形为菱形？如果存在，求出 的取值范围？如果不存在，请说明m理由FEDCBA（21） （本小题满分 12 分）已知函数 21()ln(2),fxaxaR（1）当 时，讨论函数 的单调性；0a)f（2）是否存在实数 ，对任意的 ，且 ，有 恒成立，12,(0,)x12x21()ffxa若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由a请考生在题（22） （23） （24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分做题时用 2B 铅笔在答题
9、卡上把所选题目对应的题号涂黑（22）（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图，A，B ，C，D 四点在同一圆上， 与 的延长线交于点 ，点 在 的延BCAEFB长线上（1）若 ，求 的值；2,31EA（2）若 ，证明： F2 D/（23） （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系 有相同的长度单位，以原点 为极点，以 正半轴为极轴，xOyOx已知曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程是 （ 为参数，1Ccos42Csincotymxt，射线 与曲线 交于极点 外的三点)0,1OCBA,（1）求证： ；|2|OAB（2）当 时， 两点在曲线 上，求
10、与 的值2C,2m（24） （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知 均为正数cba,（1）证明： ，并确定 如何取值时等号成立；36)1(222 cbacba,（2）若 ，求 的最大值1cba 13理科数学参考答案一、选择题：1-12 BCCCA ABDDB AA二、填空题：（13）61 （14） （15）2 （16）31,17 解（1）因为 ， ，且 是递增数列，所以 ，32452a4ana8,43a所以 ，所以 .3,1aq1n分因为 ，所以 ，所以数列 是等差数列 .6nnb211nabnab分（2）由（1） ，1nn所以 最小值总成立， .9)32(2)()2(11 nbn
11、n分因为 ，所以 或 2 时 最小值为 12，所以 最大值为 12 .12N)( 分18 解：记“第一、二、三次射击命中目标”分别为事件 A， B， C， ，210)(kP50k则 ， .3 分921)(BP8105)(2CP（1） “该射手射中目标”为事件 D， .5 分1495872)(（2）射手得分为 ，则 . 6 分3,1， ，149)0(P 147892)(P， .10 分2 30 1 2 3P497. 12 分85)(E19 解（1） ， 是以 为斜2,1BCCB1C边的等腰直角三角形, 取 的中点 ，连接 ,设OA1，则bOA11,O面 面 ，且面 面 ，BC1ABCBC1面 ，
12、 面1以 为坐标原点，以 、 、 为 轴建立空间直角坐标系OO1zyx,)0(),(),0(),(),01(1 BbAC设平面 的一个法向量22FbE )2,1(,11 bEFbC1BCA为 ),(n02bEn， 又 面 面 . 4 分1BA/F1BA（2）设平面 的一个法向量为 又1C),(11zyxn ),01(),(1bAC则 ， ，令 ，则 01nA01bzxy1z),(1bx yzO又 = . 6)2,1(bEFEFn11,cos 324512b分解得 或 ， 为整数 . 8,1b20ACb分所以 同理可求得平面 的一个法向量),(1nB1 )1,(2n= .11|,cos2121n
13、3分又二面角 为锐二面角，故余弦值为 .12BAC1 31分20 解（1） ， 是 的中点， ， ，0221QF1F2)0,(cQ2AF过 三点的圆的圆心为 ，半径为 ， ，,4,32cab,A,1 1c.414yx分（2）设直线 的方程为l )0(2kxy 3416,210416)43(134)0( 222 kxkyxk.6 分，)4(,2(211xkmxPHG )(,(),( 121212xkxyxGH由于菱形对角线垂直，则 ，0P04)1mk解得 ， .9342km分即 ， ， .11k4063,21m分当且仅当 时，等号成立 k43.12 分21 解：（1） xaxaaxf )(2)2
14、()2()( )0(x当 时， ，由 得 ， 得a2)(xf 0)(xf20)(xf2x当 时，由 得 或 ，由 得 ；2faa当 时， 恒成立；0)(x当 时，由 得 或 ，由 得 ；.5af2x0)(xfx2分综上，当 时， 在 单调递减；在 上单调递增；0)(xf,0),(当 时， 在 和 上单调递增；在 上单调递减；2a)(a2)2,(a当 时， 在 上单调递增；)(xf,当 时， 在 和 上单调递增；在 上单调递减 .60),(),(分（2） ， ，12x)()(1212xaxff 12)(axfaxf令 afgln)(.8 分 xaxax 21)(22)( 要使 ，只要 在 上为增
15、函数，即 在 上恒成立，)(12g)(),00)(xg),(因此 ，即0a2故存在实数 ，对任意的 ，且 ，有 恒,(12,(0,)x12x21()ffxa成立 .12 分22 证明：（I） 四点共圆， ，DCBA,EBFDC又 ， ，EAFEDCBA， ，ABDCE21,3EAD .5 分6（II） ，F2， 又 ，EBABEA ， ，F又 四点共圆， ， DC,DC， . .10F/分23 解（1）设点 的极坐标分别为BA, )4,(),(),321 点 在曲线 上，C,1 cos(,cos4,cs1 则 = |O 2)()o(432 , 所以 .5cs|21A |OACB分（2 ）由曲线 的参数方程知曲线 为倾斜角为 且过定点 的直线，2C2)0,(m当 时，B，C 点的极坐标分别为1 )6,3(),化为直角坐标为 ， ，)3,(,(直线斜率为 ， ， 1tan032直线 BC 的普通方程为 ，)(mxy过点 ， ，解得 )3,1(B )1(m2.10 分24（1）证明： 36)(9)(3)1(22222 abccbacba取等条件 .543分（2） =18)13()()13)(1()13( 2222 cbacba所以 的最大值为 ，取等条件 3 .10 分
