高等代数北大版第7章习题参考答案.doc

1、第七章 线性变换1 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间 V 中，A ,其中 V 是一固定的向量；2） 在线性空间 V 中，A 其中 V 是一固定的向量；3） 在 P 3中， A ),(),(2321321xx；4） 在 P 中， A 1；5） 在 P x中，A f ；6） 在 P 中，A ),(0x其中 0P 是一固定的数；7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A 。8） 在 P n中，A X=BXC 其中 B,C P n是两个固定的矩阵.解 1)当 时,是;当 时,不是。02)当 时,是;当 时,不是。3)不是.例如当 , 时, A , A ,)1(2k)02(

2、)04(kA A( 。)(k4)是.因取 ,有,(, 3132yxA = A)(21y= ), 132yx= (, 2132= A + A ，A A)(k),(1kx),2132= A ，)(故 A 是 P 3上的线性变换。5) 是.因任取 ,并令)(,xPgxf则)()(xuA = A = = =A + A ，gfu1)1()(xgf (f)(xg再令 则 A A A ，kfv)(f kv)f故 A 为 上的线性变换。P6)是.因任取 则.,)(xPgxA = A A ，(gxf0f0()(f)(xgA A 。()k)f7)不是，例如取 a=1,k=I，则 A(ka)=-i , k(Aa)=

3、i, A(ka) kA(a)。8)是，因任取二矩阵 ，则 A( A +AYX,nPBYCXYBX，YA(k )= A ， 故 A 是 上的线性变换。XkBXCk)() nP2.在几何空间中,取直角坐标系 oxy,以 A 表示将空间绕 ox 轴由 oy 向 oz 方向旋转 90 度的变换,以 B 表示绕 oy 轴向 ox 方向旋转 90 度的变换,以 C 表示绕 oz 轴由 ox 向 oy 方向旋转 90度的变换，证明：A =B =C =E,AB BA,A B =B A ， 并检验(AB) =A B 是否成立。44222解 任取一向量 a=(x,y,z)，则有1) 因为Aa=(x,-z,y),

4、A a=(x,-y,-z)，A a=(x,z,-y), A a=(x,y,z)，234Ba=(z,y,-x), B a=(-x,y,-z)，B a=(-z,y,x), B a=(x,y,z)，Ca=(-y,x,z), C a=(-x,-y,z)，C a=(y,-x,z), C a=(x,y,z)，所以 A =B =C =E。442) 因为 AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y)，BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x)，所以 AB BA。3)因为 A B (a)=A (-x,y,-z)=(-x,-y,z)，B A (a)=B (x,-y,-z)=(-x,-y,z)，2222所

5、以 A B =B A 。4)因为(AB) (a)=(AB)(AB(a)_=AB(z,x,y)=(y,z,x)，A B (a)=(-x,-y,z)，所以(AB ) A B 。223.在 Px 中，A B ， 证明: AB-BA=E。)(fxf,)(xff证 任取 Px，则有f(AB-BA) =AB -BA =A( -B( = - =(x)(f)xf)ff)x;(xff)(fx)(f所以 AB-BA=E。4.设 A,B 是线性变换，如果 AB-BA=E， 证明：A B-BA = A (k1)。k1k证 采用数学归纳法。当 k=2 时A B-BA =(A B-ABA)+(ABA-BA )=A(AB-

6、BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2， 结论成立。222归纳假设 时结论成立，即 A B-BA = A 。 则当 时，有mkm1m1kA B-BA =(A B-A BA)+(A BA-BA )=A (AB-BA)+(A B-BA )A=A E+ A1m1mmA= A 。)(m即 时结论成立.故对一切 结论成立。k1k5.证明：可逆变换是双射。证 设 A 是可逆变换，它的逆变换为 A 。若 a b ，则必有 Aa Ab，不然设 Aa=Ab，两边左乘 A ，有 a=b，这与条件矛盾。1其次，对任一向量 b，必有 a 使 Aa=b，事实上,令 A b=a 即可。因此,A 是一个双射。6.设 ,

7、, , 是线性空间 V 的一组基，A 是 V 上的线性变换。证明： A 是可逆变换当12 n且仅当 A ,A , ,A 线性无关。 证 因 A( , , , )=(A ,A , ,A )=( , , , )A，12 n12 n12 n故 A 可逆的充要条件是矩阵 A 可逆，而矩阵 A 可逆的充要条件是 A ,A , ,A 线性12 n无关，故 A 可逆的充要条件是 A ,A , ,A 线性无关.。12 n7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:1) 第 1 题 4)中变换 A 在基 =(1,0,0), =(0,1,0), =(0,0,1)下的矩阵；1232) o; , 是平面上一直角坐标系,A

8、是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂2直投影,B 是平面上的向量对 的垂直投影，求 A,B,AB 在基 , 下的矩阵；2123) 在空间 Px 中，设变换 A 为 ，n )(1()xffxf试求 A 在基 = (I=1,2, ,n-1)下的矩阵 A；i!1()ix 4) 六个函数 =e cos , =e sin ， = e cos , = e sin ，1ab2axb3xab4xab= e cos , = e sin ，的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性12xa空间，求微分变换 D 在基 (i=1,2, ,6)下的矩阵；i5) 已知 P 中线性变换 A 在基 =(-1,1,1)

9、, =(1,0,-1), =(0,1,1)下的矩阵是 ，3123120求 A 在基 =(1,0,0), =(0,1,0), =(0,0,1)下的矩阵；1236) 在 P 中，A 定义如下：3，)9,15(603,321其中，)0,13(,21求在基 =(1,0,0), =(0,1,0), =(0,0,1)下的矩阵；1237) 同上，求 A 在 , , 下的矩阵。1解 1) A =(2,0,1)=2 + ，A =(-1,1,0)=- + ，A =(0,1,0)= ，1321232故在基 , ， 下的矩阵为 。1230122）取 =（1，0） ， =（0，1） ，则 A = + ， A = + ，

10、212212故 A 在基 ， 下的矩阵为 A= 。12又因为 B =0，B = ，所以 B 在基 ， 下的矩阵为 B= ，另外， （AB ）121210=A（ B ）=A = + ，22212所以 AB 在基 ， 下的矩阵为 AB= 。12 2103）因为 ，)!1(2,!)(, 1210 nxxn 所以 A ，0A ，01)(x A )!1(2)!1(31 nxnn = )!(x )(x= ，2n所以 A 在基 , , , 下的矩阵为 A= 。01 1n 0104）因为 D =a -b ,12D =b -a , ，26D = +a -b ,3134D = +b +a ,42D = +a -b

11、 ,5356D = +b +a ，64所以 D 在给定基下的矩阵为 D= 。00101abab5）因为( , , )=( , ， ) ，所以1231231( , ， )=( , , ) =( , , )X，1231230123故 A 在基 , ， 下的矩阵为123B=X AX= = 。1012012036）因为( , , )=( , ， ) ，1231230所以 A( , , )=A( , ， ) ,1231231但已知 A( , , )=( , ， ) ，1231239605故 A( , ， )=( , ， )123123961050213=( , ， )12396105712=( , ，

12、) 。1237241857）因为( , ， )=( , , ) ，123123011所以 A( , , )=( , , )123123196315=( , , ) 。1230158在 P 中定义线性变换 A (X)= X, A (X)=X , A (X)= X21dcba2dcba2dcba, 求 A , A , A 在基 E , E , E , E 下的矩阵。dcba1231212解 因 A E =a E +cE , A E =a E +c E ,112112A E =bE +dE , A E = bE +d E ,2故 A 在基 E , E , E , E 下的矩阵为 A = 。11212

13、1dcba0又因 A E =a E +b E , A E = cE +dE ,211212A E = aE +bE , A E = cE +d E ,212221故 A 在基 E , E , E , E 下的矩阵为 A = 。212122dbca0又因 A E = a E +abE +acE +bcE ，3121212A E = acE +adE +c E +cdE ，2A E = abE +b E +adE +bdE ，312122A E = bcE +bdE +cdE +d E ，2故 A 在基 E , E , E , E 下的矩阵为 。31212 223dbcaA9.设三维线性空间 V

14、上的线性变换 A 在基 下的矩阵为321,A= ，32311a1) 求 A 在基 下的矩阵；1,2) 求 A 在基 下的矩阵，其中且；32k3) 求 A 在基 下的矩阵。1,解 1)因 A = +a ，3a2313aA = ，2A = ，13211故 A 在基 下的矩阵为 。123, 12133aB2)因 A = + ，1a)(21k31aA(k )= + + ，2k1a)(2k3aA = + ( )+ ，31233故 A 在 下的矩阵为 。321,k 323113212akB3)因 A( )=( )( )+( ) +( ) ，2112a12321aA = ( )+( ) + ，2a23A =

15、 ( )+( ) + ，31213故 A 基 下的矩阵为 。321, 332321 11123 aaB10. 设 A 是线性空间 V 上的线性变换，如果 A 0,但 A =0，求证：kk,A , A ( 0)线性无关。 1k证 设有线性关系 ，0121 kll用 A 作用于上式,得1kA =0(因 A 对一切 n 均成立) ，l0n又因为 A 0,所以 ,于是有1k1l，232kl再用 A 作用之,得 A =0.再由,可得 =0.同理,继续作用下去,便可得k2l12l,021kl即证 ,A , A ( 0)线性无关。 111.在 n 维线性空间中，设有线性变换 A 与向量 使得 A ，求证 A

16、 在某组下的矩阵1n0是 。010证 由上题知, ,A ,A , A 线性无关，故 ,A ,A , A 为线性空间2 n2 1nV 的一组基。又因为 A A + A ，20 1nA(A )= + A + A + A ，0120 1nA（ A ） = + A + A + A ，1n2 1n故 A 在这组基下的矩阵为。01012 设 V 是数域 P 上 的维线性空间，证明：与 V 的全体线性变换可以交换的线性变换是数乘变换。证 因为在某组确定的基下，线性变换与 n 级方阵的对应是双射，而与一切 n 级方阵可交换的方阵必为数量矩阵 kE，从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换 K。13. A

17、 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一个线性变换，证明：如果 A 在任意一组基下的矩阵都相同，那么是数乘变换。证 设 A 在基 下的矩阵为 A=( )，只要证明 A 为数量矩阵即可。设 X 为任n,21 ija一非退化方阵，且( )=( )X，n,21n,21则 也是 V 的一组基，且 A 在这组基下的矩阵是 ，从而有 AX=XA，这12,n AX1说明 A 与一切非退化矩阵可交换。若取，nX21则由 A = A 知 =0(i j)，即得1ijaA= ，naa21再取=2X0011010 由 A = A，可得2。naa1故 A 为数量矩阵，从而 A 为数乘变换。14.设 , 是四维线性空间 V 的一组基，已知线性变换 A 在这组基下的矩阵为3214，212501) 求 A 在基 , 下 的矩阵；4 443432 2,2) 求 A 的核与值域；3) 在 A 的核中选一组基,把它扩充为 V 的一组基,并求 A 在这组基下的矩阵；4) 在 A 的值域中选一组基, 把它扩充为 V 的一组基, 并求 A 在这组基下的矩阵。解 1)由题设,知( )=( , ) ，4321,3214210故 A 在基 下的矩阵为4321,B= =X1120 253210