1、173习题八1. 判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点集和边界：(1) (x,y)|x0;(2) (x,y)|1x 2+y24;(3) (x,y)|yx2;(4) (x,y)|(x-1)2+y21( x,y)|(x+1)2+y21.解：(1)开集、无界集，聚点集：R 2，边界：(x,y)|x =0.(2)既非开集又非闭集，有界集,聚点集：(x,y)|1x 2+y24，边界：(x,y)| x2+y2=1(x ,y)| x2+y2=4.(3)开集、区域、无界集，聚点集：(x,y)|y x 2，边界：(x,y)| y=x2.(4)闭集、有界集，聚点集即是其本身
2、，边界：(x,y)|(x-1) 2+y2=1(x,y)|(x +1)2+y2=1.2. 已知 f(x,y)=x2+y2-xytan ,试求 .(,)ft解： 2 2(,)()tan(,).xfttytfy3. 已知 ,试求,wuvfuv(,.f解：f(x +y, x-y, xy) =(x+y)xy+(xy)x+y+x-y =(x+y)xy+(xy)2x.4. 求下列各函数的定义域： 2(1)ln1);z1();zxy24(3);l)xy(4);uz(5);z 2(6)ln);1xzyy2(7)arcos.zuxy解： 1(,)|10.D174(2),)|0,.Dxyxy2223,|4,10,.
3、xy(4)| .xyzz25,|0,.Dxy2(6)|,1.xy27,| 0zxyz5. 求下列各极限： 210ln(e)im;yxy 201()lim;xy04(3)li;xy 0(4)li;1xy0sin(5)l;xy 220cos()(6)li.exyxy解：(1)原式=02l(1e)ln.(2)原式=+.(3)原式= 041lim.4()xyxy(4)原式= 0li2.1xy(5)原式= 0sinl0.xy(6)原式= 222()001()limlim.eexyxyxy6. 判断下列函数在原点 O(0，0)处是否连续：322sin(),(1)00;xyzxy17533sin(),0,(
4、2)0;xyz(3) 22,()(),0;xyxyz解：(1)由于333 322sin()sin()sin()0 ()xyxyyxyxy又 ，且 ,0lim()xy300si()illm1xuy故 .0(,xyz故函数在 O(0,0)处连续.(2) 0sinli1(0,)xuyzz故 O(0,0)是 z 的间断点.(3)若 P(x,y) 沿直线 y=x 趋于(0 ，0)点，则,200limli1xxyz若点 P(x,y) 沿直线 y=-x 趋于(0，0) 点，则 222000()lililim44xx xyz故 不存在.故函数 z 在 O(0，0)处不连续.0limxyz7. 指出下列函数在向
5、外间断：(1) f(x,y)= ; (2) f(x,y)= ;23 2(3) f(x,y)=ln(1x 2y 2); (4)f(x,y)=2e,0,.xy解：(1)因为当 y=-x 时，函数无定义，所以函数在直线 y=-x 上的所有点处间断，而在其余点处均连续.(2)因为当 y2=2x 时，函数无定义，所以函数在抛物线 y2=2x 上的所有点处间断.而在其余各点处均连续.(3)因为当 x2+y2=1 时，函数无定义，所以函数在圆周 x2+y2=1 上所有点处间断.而在其余各176点处均连续.(4)因为点 P(x,y)沿直线 y=x 趋于 O(0,0)时.1200lim(,)liexxyf故(0
6、，0)是函数的间断点，而在其余各点处均连续.8. 求下列函数的偏导数：(1)z=x2y+ ; (2)s= ;2uv(3)z=xln ; (4)z=lntan ;2 xy(5)z=(1+xy)y; (6)u=zxy;(7)u=arctan(x-y)z; (8) .yx解：(1) 2231,.zxy (2) uvs221,.svsuuv(3)22 2221ln ln(),z xxyxyxyy2221.yxy(4) 2seccs,tanzxyy2221sec()cs.tazxxyyy(5)两边取对数得 lnl(1)zx故 21(1)().lny yyx xx 177ln(1)(1)()ln(1)l.
7、y yyy xz yxxx(6) 1lnlnxyxyxyuuuzzz (7)112 21()().()zzzxyxy122.()()lnln.zzzz zuzyxyxyz(8) 1.yzux22lnln.ll.yyzzy yz zxuxx9.已知 ，求证： .2y3uy证明： .2223()()xxyxy由对称性知 .23()uyx于是 .2()xyuy10.设 ，求证： .1exyz22zxz证明： ,1 12eexy xy 由 z 关于 x,y 的对称性得17812exyzy故 11122222e.xxyxyzxy z11.设 f(x,y)=x+(y-1)arcsin ，求 fx(x,1)
8、 .解： 211,)1()xf yy则 .(,)0xf12.求曲线 在点（2，4，5）处的切线与正向 x 轴所成的倾角.yz解： (2,45)1,1zzx 设切线与正向 x 轴的倾角为 ,则 tan=1. 故 = .13.求下列函数的二阶偏导数：(1)z=x4+ y4-4x2y2; (2)z=arctan ;yx(3)z=yx; (4)z= .2ey解：(1) 322481816zxyxyx ， ，由 x,y 的对称性知 222.zzyxxy(2) ，221zyxx17922222222222()0,()1,(),().()zxyxyyxzyyxxxzyy(3)2ln,ln,xxzy 21 2
9、2111,(),lnln),l(l.x xxxxxxzyyyzy(4) 2 2e,e,xyxyz 2222 2 2(1),e,e,e.xyxyxyxyzzz 14.设 f(x,y,z)=xy2+yz2+zx2,求 (0,1)(,0)(,1).xyzzxfff解： ,)xz22(,(,),),0,1,(,),(,).xyz yzzxzxfffxffyf 18015.设 z=xln(xy)，求 及 .32zxy32解： ln()1l(),x2322,0,11,.zyzxyx 16.求下列函数的全微分：(1) ; (2) ;2exyz 2yzx(3) ; (4) .zyuyzu解：(1) 2 2e,
10、exyxyz 222dd(d)xyxyxyz(2) 2 23/221()2223/()yxxz xy y 23/2d(d).()zyx(3) 11,lnzzyyzux2lnlyzxz 211ddlnld.zz zzyzuxyx(4)yzx1lnyzu181lnyzux 1 21dldlnd.yyyzzzxz17. 求下列函数在给定点和自变量增量的条件下的全增量和全微分：(1) 22,0.,.1;zxyxyy(2) e,1.15解：(1) 2 2()()()9.681.zxxyyzd4.6y(2) () 0.265ee(1).3exxz025yyyx18.利用全微分代替全增量，近似计算：(1)
11、(1.02)3(0.97)2; (2) ;22(4.)(.93)(3)(1.97)1.05.解：(1)设 f(x,y)=x3y2，则 23(,)3,(,)2,xyfyfxy 故 df(x,y)=3x2y2dx+2x3ydy=xy(3xydx+2x2dy)取 x=1,y=1,dx=0.02,dy=-0.03，则(1.02)3(0.97)2=f(1.02,0.97)f(1,1)+df(1,1) 0.2d3xy=1312+113110.02+212(-0.03)=1.(2)设 f(x,y)= ,则222)(,xy xyyf故 21d(,)(d)fxxy取 ,则4,30.5,.07y18222 d0.
12、5722(4.05)(.93)(4.05,93)(4,)(,3)1.)(.)54.98xyfff(3)设 f(x,y)=xy,则 df(x,y)=yxy-1dx+xylnxdy，取 x=2,y=1,dx=-0.03,dy=0.05,则1.05 d0.3597).,05)(2,1)(,)239.xyfff19.矩型一边长 a=10cm，另一边长 b=24cm,当 a 边增加 4mm，而 b 边缩小 1mm 时，求对角线长的变化.解：设矩形对角线长为 l，则 221,d(d).xylxy当 x=10,y=24,dx=0.4,dy=-0.1 时，(cm)21d(0.4.1)062l故矩形的对角线长约
13、增加 0.062cm.20. 1mol 理想气体在温度 0和 1 个大气压的标准状态下，体积是 22.4L，从这标准状态下将温度升高 3，压强升高 0.015 个大气压，问体积大约改变多少？解：由 PV=RT 得 V= ，且在标准状态下， R=8.2056810-2,RTPVdv=- =2dpdT2.48.0561130.9故体积改变量大约为 0.09.21. 测得一物体的体积 V=4.45cm3,其绝对误差限是 0.01cm3，质量 m=30.80g，其绝对误差限是 0.01g，求由公式 算出密度 的绝对误差与相对误差.mv解：当 V=4.45，m=30.80,dv =0.01,dm=0.01 时,22130.81dd0.4545.0.3当 v=4.45, m=30.80 时 0.86.921345
