1、1第一章节公式1、数列极限的四则运算法则如果 那么,lim,liByAxnnBAyxnli)( BAyxyxnnnn limli)(limyxnnn .(.li.li） )0(liBnn推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况。例如，若 ， ， 有极限，则：abncnnnnn cbacbalililim)(li特别地，如果 C 是常数，那么 CACnlim.).(2、函数极限的四算运则如果 那么,)(li,)(limBxgAxfBAxgf)(lixf m)(li)(li)(li )0(li)(li)(li xgBAgf推论设 都存在， 为常数， 为正整数，则有：)(li,(li,.,m321
2、 xfffxff nknm.)(lim)(.)(li 21xx nn lixfkfnxff)(li3、无穷小量的比较： .0li,li, 且穷 小是 同 一 过 程 中 的 两 个 无设 );(,0lim)1( o记 作高 阶 的 无 穷 小是 比就 说如 果 ;),(li)2( 同 阶 的 无 穷 小是 与就 说如 果 C;,1li3 记 作是 等 价 的 无 穷 小 量与则 称如 果） 特 殊 地（ .),0,(lim)4( 阶 的 无 穷 小的是就 说如 果 kkCk.,li)5( 低 阶 的 无 穷 小 量是 比则 称如 果 ,0时较 ： 当常 用 等 级 无 穷 小 量 的 比 x2
3、.21cos,1,)1ln(,arct,tn,arcsi,sin xxexxxx enexxxx x )(lim)(lim.)1(li.ilm1000 对 数 列 有重 要 极 限第二章节公式1.导数的定义：函数 y f(x)在 x x0处的瞬时变化率是 ，我们称它为函数 y f(x)在 x x0处的导数，记作 f( x0)或 y| x x0lim x 0 f(x0 x) f(x0) x lim x 0 f x即 f( x0) .lim x 0f(x0 x) f(x0) x2导数的几何意义函数 f(x)在 x x0处的导数就是切线的斜率 k，即 k f( x0)lim x 0f(x0 x) f
4、(x0) x3导函数(导数)当 x 变化时， f( x)便是 x 的一个函数，我们称它为 f(x)的导函数(简称导数)， y f(x)的导函数有时也记作 y，即f( x) y .lim x 0f(x x) f(x) x4几种常见函数的导数(1)c0( c 为常数)，(2)( xn) nxn1 (nZ)，(3)( ax) axlna(a 0,a 1), (ex) ex(4)(lnx) ，(log ax) logae= (a 0,a 1) 1x 1x l(5)(sinx)cos x，(6)(cos x)sin x(7) , (8)2cos1)(tan2sin1)(cot(9) , (10) ri2
5、xx )1(1)(arcos2xx(11) , (12)21)(arctn21)t(rc5函数的和、差、积、商的导数(uv) u v，( uv) u v uv ，( ku) cu( k 为常数)(uv) u v uvv23(uvw) u vw uv w+ uvw微分公式：（1）为 常 数 ）cod() 为 任 意 实 数 ）（ adxxda()(21),10(ln1)(lg)3adxxa )(ln,4dx）（ dxexdcos)(si5dsin)(co6(7) , (8)xx21tan xx2i1t(9) , (10) d2)(rcsi d2)(arcos(11) , (12) xxd21)(
6、artnxx21)t(6微分的四算运则d(uv)d udv， d( uv) v du udvd(ku)k du(k 为常数)0(2洛必达法则：在一定条件下通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法。 ）或()lim)(li)(limAxgfxfxgfaaa7.导数的应用：=0 的点为函数 的驻点，求极值；)(f )(f(1) 时， ; , , ;0x0时0x)(f 为 极 大 值 点的 极 大 值 ，为则 00)(xxff(2) 时， ; , , ;)(f时 为 极 小 值 点的 极 大 值 ，为则(3) ;不 是 极 值 点 。不 是 极 值 ，么的 两 端 的 符 号 相 同 ，
7、 那在如 果 000 )( xxfx=0 的点为函数 的拐点，求凹凸区间；)(xf )(f为 凸 的 （ 下 凹 ）取 值 范 围 内 ， 曲 线的 )( xfy为 凹 的 （ 上 凹 ）取 值 范 围 内 ， 曲 线的0)(xf第三章知识点概况不定积分的定义：函数 f(x)的全体原函数称为函数 f(x)的不定积分，记作 ，并称 为积分符号，函数 为dxf)()(xf被积函数， 为被积表达式，x 为积分变量。df)(4CxFdf)()(因 此不定积分的性质： dxffff )()()()(1或 CFxd2或 dxxxff )(.)()()(.)()3( 04 kxfkx为 常 数 且基本积分公
8、式：Cd0)1( )1(1)2( aCxad Cxdln3(,0ln4axax e)5( cossi6 Cxdsinco)7(tcos)8(2Cxdxctin192 Cxdxarcsin-1)0(2 Cxdxarctn1)(2换元积分（凑微分）法：1.凑微分。对不定积分 ，将被积表达式 g(x)dx 凑成dxg)( dxdxg)()(2.作变量代换。令3.用公式积分， ， duffxdux )()()()(),( 变 换 带 量凑 微 分代 入 上 式 得 ：则 并用 )(换式中的 u CFudf )()()(回 代公 式常用的凑微分公式主要有： )()(1)(1baxfadxbf）（ )()
9、(1)(2 baxdfkadxbaxf kkkk ）（23dff）（ 42ff）（)()(5xxefdef）（ )(ln1)(ln6xdfxf）（siincosin7d）（ )(cossico8xf）（)(tat1)(ta92xfxf）（ ttin)(t102dxf）（ rcsirsinrcsin12dfdf ）（ )(aro)(r1)(aro22 xfxxf）（5)(arctn)(rt1)(arctn132 xdfdxf）（ 0)(l)(4x）（分部积分法： 适用于 udvvduvudvuvxudvvd 或移 项 得积 分 得两 边 对分部积分法求不定积分的常见题型及 u 和 dv 的选取法
10、exPxeaxa),()(1设）（ axxPaxPsin),(sin)(2设）（dvudcoscos3设）（ dvud)(ll4设）（ xxx)(,arinarin)(5设）（ xPxx)(,arctarct)(6设）（ 为 任 意 选 取 ，其 中为 任 意 选 取 ，其 中）（ vbevbeax ,cs,s7上述式中的 P（x)为 x 的多项式，a,b 为常数。一些简单有理函数的积分，可以直接写成两个分式之和，或通过分子加减一项之后，很容易将其写成一个整式与一个分式之和或两个分式之和，再求出不定积分。定积分: 此 式 子 是 个 常 数）（ iniiba xfdxf )(lm)(10(1)
11、定积分的值是一个常数，它只与被积函数 f(x)及积分区间a,b有关，而与积分变量的字母无关，即应有babatfxf)()(（2）在定积分的定义中，我们假定 ab;如果 ba，我们规定： abbadxfxf)(-)(如果 a=b,则规定： 0)(adxf（3）对于定义在 上的连续奇（偶）函数 ，有,)(xf为奇函数 为偶函数0)(dxfa)(f aaddf02)()(xf定积分的性质： 为 常 数 ）（ kxdxkba1 bababa dxgxfg)()(）（的 内 外 点 ）为）（ acffxfbccba ,()()(3（ 单 调 性 ）则上 总 有） 如 果 在 区 间（ babadxxfg
12、x)()(,4 bxa15）（ )()()(,)(6 aMdfbmfmM 则 有上 的 最 大 值 和 最 小 值 ，在 区 间分 别 是和） 设（定积分的计算：)()(,7abfdxf bba 使 得 下 式 成 立 ： ，上 至 少 存 在 一 点上 连 续 ， 则 在在 闭 区 间函 数） 积 分 中 值 定 理 ： 如 果（一、变上限函数设函数 xf在区间 ba,上连续，并且设 x 为 ba,上的任一点，于是， xf在区间 ba,上的定积分为 dxfa这里 x 既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为 dtfx6如果上限 x 在区 ba,间上任意变动，则对于每
13、一个取定的 x 值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在ba,上定义了一个以 x 为自变量的函数 x，我们把 称为函数 f在区间 ba,上变上限函数记为 dtfa推理： xaxfdtf)()()( )()( xafbtxbx 定积分计算公式利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。我们知道：如果物体以速度 0tv作直线运动，那么在时间区间 ba,上所经过的路程 s 为 dtvba另一方面，如果物体经过的路程 s 是时间 t 的函数 ts，那么物体从 t=a 到 t=b 所经过的路程应该是（见图 5-11）即 asbdtvba由导数的物理意义可
14、知： tvs 即 s是 t一个原函数，因此，为了求出定积分 dtvba，应先求出被积函数tv的原函数 ts，再求 t在区间 ba,上的增量 s即可。如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分 dxfba的一般方法：设函数 xf在闭区间 ,上连续， xF是 的一个原函数，即 xfF ，则abfba这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。为了使用方便，将公式写成 )()()(xdfbba 牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。定积分的换
15、元公式：计算要领是：ba dttfdxf)()()( ,)(,t txbax 有 连 续 导 数 上在且变 到严 格 单 调 地 从时 ，变 到从， 要 求 当作 代 换 定积分的分部积分法：babaxvuuv5.4.2 定积分求平面图形的面积1.直角坐标系下面积的计算(1)由曲线 和直线 所)(xfy0,ybxa 围成曲边梯形的面积的求法前面已经介绍，此处不再叙述.(2)求由两条曲线 ，)(,gy 及直线)(xgf图 5-11 )(fy)(xgyya o b xd图 5.87所围成平面的面积 （如图 5.8 所示）.bxa, A下面用微元法求面积 .取 为积分变量， .,bax在区间 上任取
16、一小区间 ，该区间上小曲边梯形的面积 可以用高 ，底边为 的小矩,badxdA)(xgfdx形的面积近似代替，从而得面积元素.gfA)(写出积分表达式，即.badxf求由两条曲线 ， 及直线 所围成平)(),(yx)(ydyc,面图形（如图 5.9）的面积.这里取 为积分变量， ，y,dc用类似 (2)的方法可以推出：.dcyA)(第四章知识点多元函数微分学4.1 偏导数与全微分一. 主要内容：1. 多元函数的概念1. 二元函数的定义： Dyxyxfz ),(),( )(fD定 义 域 ：2. 二元函数的几何意义：二元函数是一个空间曲面。 （而一元函数是平面上的曲线）Z=ax+by+c 表示一
17、个平面；表示球心在原点、半径为 R 的上半个球面；22yxRz ，表示开口向上的圆锥面；2yxz，表示开口向上的旋转剖物面。22yxz2.二元函数的极限和连续：1. 极限定义：设 z=f(x,y)满足条件：的 某 个 领 域 内 有 定 义 。在 点 )0,(.1yx 可 除 外 ）（ 点 )0,(yxo x)(yx)(yyd y+dyyc8Ayxfyx),(0lim2、 。极 限 存 在 ， 且 等 于在则 称 Ayxyxfz )0,(),(2. 连续定义：设 z=f(x,y)满足条件：的 某 个 领 域 内 有 定 义 。在 点 )0,(1yx )0,(),(0lim2 yxfyxfyx
18、处 连 续 。在则 称 )0,(),( yxyxfz.偏导数： 改 变 量 。保 持 不 变 时 ， 得 到 一 个而（ 在 处 取 得 改 变 量 当 自 变 量的 某 个 邻 域 内 有 定 义 ，在 点设 函 数定 义 0),0 0)0,(),(: yyxx xyxyxfz xyxfyxxfxyxfx )0,()0,0(0lim)0,(的 偏 导 数 ：对yyxfyyxfyyxyfy )0,()0,(0lim)0,(的 偏 导 数 ：对 的 偏 导 数 。处 对在分 别 为 函 数 yxyxyxfyxyfyxf ,)0,(),()0,(),0,( 处 的 偏 导 数 记 为 ：内 任 意
19、 点在 ),(),( yxDyxfz xzxzxyxfyxf ),(),(yzyzyyxfyxyf ),(),(.全微分：1.定义：z=f(x,y) ),(),( yxfyxfz 若 )(oyBxA9则称,2)(2)( yxoyxBA 较 高 阶 的 无 穷 小 量 （） 是 比（无 关 ，、与、其 中 ， 处 的 全 微 分是 函 数 ),(yxfzyBxA在点(x,y)处的全微分。yBxAyxdfz ),(:则 ),(yxfz是3. 全微分与偏导数的关系 .),(),(),( Dyxyxyfxf 连 续 ，定 理 ： 若 处 可 微 且在 点则 ： ),(),( yxyxfz dyxyfd
20、xyxfdz ),(),( .复全函数的偏导数：1. ),(),(),( yxvyxuvufz 设 ：),(),(yxvyxufzxvvzxuuzxz 则 ： yvvzyuuzyz 2. )(),(),( xvxuvufy 设)(),(xvxfy.隐含数的偏导数：1. 0),(,0),( zFyxfzzyxF 且设 zFyyzzFxxz ,则dxdvvydxduuydxdy 102. 0),(,0),( yFxfyyxF 且设 yFxdxdy则.二阶偏导数： )(22“),( xzxzxzyxf )(22“),( yzyzyzyxyf )(2“),( xzyyxzxyzyxyf )(2“),( yzxxyzyxzyxyf 的 连 续 函 数 时 ，为和结 论 ： 当 yxyxyfyxyf ,),(),( ),(),( yxyfyxyf 则 ：（八）隐函数的导数和偏导数的 导 数对， 可 以 求 出所 确 定 的）对 于 方 程 xyxfyyxFyxFyy )(0,(),( ),( ),(),(.),(),( zyxzFzyxyzzyxFzyxxz (九).二元函数的无条件极值1. 二元函数极值定义：某 一 个 邻 域 内 有 定 义 ，在设 )0,(),( yxyxz
