1、11、已知 式中 =100HZ,以采样频率 =400Hz对 进行采样，得0()2cos()axtft0f sf()axt到采样信号 和时域离散信号 ，试完成下面各题：(xn（1）写出 的傅里叶变换表示式 ；t )aXj（2）写出 和 的表达式；()an（3）分别求出 的傅里叶变换和 的傅里叶变换。xt(解：（1） 00 0()2cos)(jt jtaajtjtjtXedede上式中指数函数和傅里叶变换不存在，引入奇异函数 函数，它的傅里叶变换可以表示成： 00()2)()aj（2） 0(2cos()()cos),annxttTTtn2、用微处理器对实数序列作谱分析，要求谱分辨率 ，信号最高频率
2、1KHz,是确50FHz定以下各参数：（1）最小记录时间 minpT（2）最大取样时间 ax（3）最少采样点数 inN（4）在频带宽度不变的情况下将频率分辨率提高一倍的N值。解：（1）已知 50FHzmin1.2pTs（2） ax 3inmax10.5s sff（3） mi0.45psNT（4）频带宽度不变就意味着采样间隔 不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实频率T分辩率提高1倍（ 变成原来的 ）F12min3.800ps3、在时域对一有限长的模拟信号以4KHZ采样，然后对采到的N 个抽样做N点DFT，所得离散谱线的间距相当于模拟频率100HZ。某人想使频率能被看得清楚些，每 50HZ能
3、有一根谱线，于是他用8KHZ采样，对采到的2N 个样点做2N点DFT。问：他的目的能达到吗？答：不能，因为他忽略了数字频率和模拟频率的区别。提高采样频率 ， 固然大了，数字频率（单位圆）上的样点数确实增加了，但sfN从模拟频率谱看，样点一点也没有变得密集，这是因为数字频率 总是对应模拟频率 2sf。采样频率由 到2 增加一倍， 也增加一倍，但模拟频率的采样间隔sf N一点也没有变。所以，增大采样频率，只能提高数字频率的分辨率HzNfs102，不能提高模拟频率的分辨率。)(24、在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，他们分别起什么作用？解：在 变换之前让信号通过一个低通滤
4、波器，是为了限制信号的最高频率，使其满DA/足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称为“抗折叠”滤波器。在 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把/抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称为“平滑”滤波器。5、已知 ，分析其因果性和稳定性。10,)1()(2azazH解： 的极点为 ，,（1） 收敛域 ，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此1是不稳定系统。单位脉冲响应 ，这是一个因果序列，但不收敛。()(nhau（2）收敛域 ，对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应az0，这是一个非因果且不收敛的序列。()(1n
5、hu（3）收敛域 ，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应 ，这是一个收敛的双边序列。()nha9：若序列 是因果序列，其傅里叶变换的实部为 ，求序列的() ()1cos()jRHe及其傅里叶变换 。()hn(jHe解： 11cos)()()2j jj jnR eeneeFTh ,2()01,enh1,0()(),02,ennhother/2()()cosj jnjjnHh10、什么是宽平稳随机过程？什么是严平稳随机过程？它们之间有什么联系？答：若一个随机过程的数学期望与时间无关，而其相关函数仅与 有关，则称这个随机过程是宽平稳的或广义平稳的。所谓严
6、平稳随机过程是指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。严平稳的随机过程一定是宽平稳的，反之则不然。15、如图所示：1/N观测数据x(n)FFT 取模的平方()jxPe3（1）在描述随机信号的频率特性时为什么不用信号的傅里叶变换而改用功率谱估计？（2）观察上述框图，说出这是哪一种经典功率谱估计的方法，并写出描述估计关系式。（3）根据维纳-辛钦定理及相关估计方法写出另一种经典功率谱估计描述估计关系式，结合框图或关系式说明上述框图所示方法的优点。（4）两种经典功率谱估计都有一个致命的缺点，请简要说明并写出常用的改进方法的名称。解：1.对于随机信号，其傅里叶变换并不存在，因此转向研究其功率
7、谱。2.图中所示的是周期图法 210()()Nj jnxnPexe3. 1*0()()mxnr()()j jnBTxmPere周期图法简单，不用估计自相关函数，且可以用FFT进行计算。4.经典谱估计得致命缺点是频率分辨率低，其原因是傅里叶变换域是无限大，而用作估计的观察数据只有有限个，认为剩余的数据为0，造成系统偏差。改进的方法有：1.平均周期法2.窗函数法3.修正的周期图求平均法。16、如图所示的RC电路，若输入电压的功率谱密度为X（ ） ，求输出电压的功率谱密度Y（ ） 。RC Y( )X( )解：RC电路系统的频率响应函数为H（ ） = = CjR11jH（ ） = 2)(2由线性系统的
8、输出谱密度与输入谱密度之间的关系可得：Y（ ） = H（ ） * X（ ）= 21)(2RC17、已知LTI 系统的传输函数为h（t） ，输入是实平稳随机过程X（t） ，输出是Y （t） ，求三者间的关系？)()(RYX和、 解：平稳随机过程经过LTI系统输出还是平稳随机过程，所以4)()( )()() ()hRduvvuhtXtEdvtduhttYRXY其中 是卷积运算。18、常用的自适应滤波理论与算法有哪些？从理论上讲，自适应滤波问题没有惟一的解。为了得到自适应滤波器及其应用系统，可以采用各种不同的递推算法，这些自适应算法都有各自的特点，适用于不同场合。常用的自适应滤波理论与算法有：（1）
9、 、基于维纳滤波理论的方法。（2） 、基于卡尔曼滤波理论的方法。（3） 、基于最小均方误差准则的方法。（4） 、基于最小二乘准则的方法。22、从最速下降法出发：1jjjW其中， 是第j+1 个抽样时刻的滤波器权矢量， 控制收敛稳定性和速率， 是1j 误差-性能曲面的真实梯度，推导自适应噪声消除的 Widrow-Hopf 的LMS算法。解答：梯度矢量，初级输入与刺激输入的互相关P以及初级输入的自相关R之间的关系为：=2+在LMS算法中，使用 的瞬时估计，则有=-2 +2 =-2 +2 (1)jjjWjXyjTj=- jj()2jXye其中 Te用（1）式替换最速下降法的梯度，我们得到基本的Wid
10、row-Hopf 的LMS算法：1jjj其中 =jyT23、自适应滤波器的特点及应用范围答案：由于滤波器的参数可以按照某种准则自动地调整到满足最佳滤波的要求；实现时不需要任何关于信号和噪声的自相关特性，尤其当输入统计特性变化时，自适应滤波器都能调整自身的参数来满足最佳滤波的需要，即具有学习和跟踪的性能。当符合下面几个情况时都可以应用自适应滤波(1)需要滤波器特性变化以自适应改变的情况时（ 2）当信号和噪声存在频谱重叠时（3）噪声占据的频谱是时变或未知。例如电话回声对消，雷达信号处理，导航系统，通信信道均衡和生物医学信号增强。25、怎样判断随机过程 是宽平稳随机过程？并证明随机过程),(TtX是
11、宽平稳过程，其中，Y , Z是相互独立的随机变量，且0sin)co()( ZtYtX。2,0DE答：（1）如果 满足，如下条件：（a） 是二阶矩过程；),(Tt5（b）对任意 ， 常数；Tt)(tEXtm（c）对任意 ， 。则判定 是宽平s, )()(, tsRtssRX),(TtX稳随机过程。（2）证明： )sin(co2()(sin)(cos ico2 i)i22 tYZEtZEtYEtYttttX 因为Y,Z是相互独立的随机过程，且 ，所以2,0DZ=t=常数0)si()s()si()()( ttttX，)(cos inin )sin(coico,2 2t ttYZYE tYXR 只与时
12、间间隔有关，与时间起点无关。),tX所以， 是宽平稳随机过程。,T26、若 为均方连续的实平稳随机过程，则其自相关函数 具有那些常用( )(XR性质？ 在计算其功率谱 时有什么作用？)XR)(XS答：（1） 具有如下常用性质：（a） ;0(（b） = ， 是实偶函数；)X)(XR（c）| | ；(（d）若 是周期为T的周期函数，即 = ，则 ；t )(t)TX)()TRX（e）若 是不含周期分量的非周期过程，当 时， 与 相互独立)( |tt，则 。_|limX（2）若 ，根据辛钦维纳定理dRX|)(|= deSjX)( )(XRdeSjX)(21自相关函数 和功率谱 是一对傅里叶变换对。)(
13、XS27、从随机过程的平稳性上考虑，卡尔曼滤波的适用范围？答案：卡尔曼滤波不仅适用于平稳随机过程，同样也适用于非平稳随机过程。29、设有两个线性时不变系统如图所示，它们的频率响应函数分别为 和 。1()H2()若两个系统输入同一个均值为零的平稳过程 ，它们的输出分别为 、 。问()XtY如何设计 和 才能使 、 互不相关。1()H2()1()Y21()H1()Yt6解答： 1211-2-1()()(0,;()()YEYthtuEXtdvtR其中 ，上式表明 与 的互相关函数只是时间函数 的函数。由2t2t 1211()iYY XsedHs 故当设计两个系统的频率响应函数的振幅频率特性没有重叠时
14、，则 =0，从而有12()Ys=0= ，即 与 互不相关。12()YR12()YB1()t2Yt30、什么叫白噪声?答: 白 噪 声 是 指 功 率 谱 密 度 在 整 个 频 域 内 均 匀 分 布 的 噪 声 。 所 有 频 率 具 有 相 同 能 量的 随 机 噪 声 称 为 白 噪 声 。 理 想 的 白 噪 声 具 有 无 限 带 宽 ， 因 而 其 能 量 是 无 限 大33、简述经典功率谱估计与现代功率谱估计的差别。信号的频谱分析是研究信号特性的重要手段之一，通常是求其功率谱来进行频谱分析。功率谱反映了随机信号各频率成份功率能量的分布情况，可以揭示信号中隐含的周期性及靠得很近的谱
15、峰等有用信息，在许多领域都发挥了重要作用。然而，实际应用中的平稳随机信号通常是有限长的，只能根据有限长信号估计原信号的真实功率谱，这就是功率谱估计。 功率谱估计分为经典谱估计和现代谱估计。经典谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零，相当于数据加窗，主要方法有相关法和周期图法；现代谱估计是通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱，主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出的。34、两个联合平稳信号 和 的互相关函数为：()XtY20()cosXYRewi其中 为单位阶跃函数。求互功率谱密度 和 。i ()XYS()YX解：直接查傅氏变换表，得 2020(
16、)cs()XY jSFei利用互谱密度的性质有= =()XY()XY20)j35、观测信号为 ,其中有信号是 为恒量平稳序列，其统计特征已求yksek()sk得为2()H2()Yt722)(0sksE噪声 是零均值白噪声，且与有用信号不相关，即e0)()2ksjijie求维纳滤波器？解：观测 的自相关函数为()y2()()()()()yssRmEemEskeskmekske观测有 与有用信号之间的互相关函数为：2()()()ys sesskeks则维纳-霍甫方程式为： 2222sessse 22222sssses0 (1 h 由此得维纳滤波器为： s2e(0)1.(1)hhN故滤波输出为： 1
17、 1 1s 220 0 0ee s()() ()()NNNmmmskykykyk 38、设观测量 由有用信号 和与 不相关的零均值白噪声 相加而()()()s()e成，即 ()yksek且已估计出它们的相关函数分别为（ ，-1，0，1）0.8,()0.45()mseRm求非因果维纳滤波器的频率特性。解： 0101()().().45.0.88.36,(.1/0.8)1.eemmmsSzZzzzz z又有 ()()()()()()ys sREksEskvsEskmR故有810.36()()18)()ysysSzZRmz最后可得，非因果维纳滤波器的频率特性为 1 1.0 0.36().360.36
18、4518.4518 jwTjwTjwT zzeHe zz 43、卡尔曼滤波的特点卡尔曼滤波具有以下的特点：答：(1) 算法是递推的状态空间法采用在时域内设计滤波器的方法，因而适用于多维随机过程的估计；离散型卡尔曼算法适用于计算机处理。(2) 用递推法计算，不需要知道全部过去的值，用状态方程描述状态变量的动态变化规律，因此信号可以是平稳的，也可以是非平稳的， 即卡尔曼滤波适用于非平稳过程。(3) 卡尔曼滤波采取的误差准则仍为估计误差的均方值最小。47、关于维纳滤波器的两个主要结论：维纳滤波器最优抽头权向量的计算需要已经以下统计量：（1）输入向量 的自相关()un矩阵 ；（2）输入向量 与期望响应
19、 的互相关向量 。R()un()dn维纳滤波器实际上是无约束优化最优滤波问题的解。48、已经信号的四个观察数据为 分别用自相关0,12,(3),642xx法和协方差法估计 AR（1）模型参数。解：自相关法：4201()ne1()()enxan440011111()()03(662nnaaa协方差法： 1322113111()(),()()0506Nnpneexnaaa49、假定 是一个满足差分方程式()xn9的 AR（ ）过程，且该过程21()()(,)(0,)p NxnaaxnenW p是在一与 独立的加性观测白噪声 中观测的，即 ，其中v()ynxv的方差为 ，求 的功率谱。()v2v()
20、y解：由已知差分方程式可得 的谱密度xn2221() ()jxj jpzeAaeae当 与 互相独立时，()nv()yxvR故 的功率谱y()yxv所以22()()jy vzeA50、分别解释“滤波”和“预测” 。解：用当前的和过去的观测值来估计当前的信号y(n)= （ n）称为滤波；用过去的观测值s来估计当前的或将来的信号 ,N0,称为预测。()ynsN51、介绍维纳滤波和卡尔曼滤波解决问题的方法。解：维纳滤波是根据全部过去观测值和当前观测值来估计信号的当前值，因此它的解形式是系统的传递函数H(Z)或单位脉冲响应h(n)；卡尔曼滤波是用当前一个估计值和最近一个观测值来估计信号的当前值，它的解
21、形式是状态变量值。 维纳滤波只适用于平稳随机过程，卡尔曼滤波就没有这个限制。设计维纳滤波器要求已知信号与噪声的相关函数，设计卡尔曼滤波要求已知状态方程和量测方程。1. 某独立观测序列 12,Nx 其均值为 m，方差为 2。现有两种估计算法：算法 A：均值估计为11nm，算法 B：均值估计为21Nnx请对这两种估计算法的无偏性和有效性进行讨论。 （12 分）答：算法 A：均值估计为11Nnx，则11()NnEm，2121()()nDmX， 均值估计 1m是无偏估计22212)(EXn6、BT 谱估计的理论根据是什么？请写出此方法的具体步骤。10答：（1）相关图法又称 BT 法，BT 谱估计的理论
22、根据是：通过改善对相关函数的估计方法，来对周期图进行平滑处理以改善周期图谱估计的方差性能。（2）此方法的具体步骤是：给出观察序列 )1(),.0(Nxx，估计出自相关函数： mNn m，R10)(对自相关函数在（-M，M）内作 Fourier 变换，得到功率谱：mjmeS)()(式中，一般取 1N， )(为一个窗函数，通常可取矩形窗。可见，该窗函数的选择会影响到谱估计的分辨率。7、对于连续时间信号和离散时间信号，试写出相应的维纳辛欣定理的主要内容。答：(1)连续时间信号相应的维纳辛欣定理主要内容：连续时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系： )()()( xjxx RFdeRSdeSj
23、xx)(21)(2)离散时间信号相应的维纳辛欣定理主要内容：离散时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系： mjmxjxeeS)()(deSmjxx)(21)(12、AR 谱估计的基本原理是什么？与经典谱估计方法相比，其有什么特点？答：（1）AR 谱估计的基本原理是： 阶的 AR 模型表示为：ppi nuixnx1)()(其自相关函数满足以下 YW 方程：取 ，可得到如下矩阵方程：pm,.210在实际计算中，已知长度为 N 的序列 ，可以估计其自相关函数 ，再利用以上)(nx)(mRx矩阵方程，直接求出参数 及 ， 于 是 可 求 出 的功率谱的估计值。p,.212)(n01)(1)0()()(2 pxx xxxR
