1、1福建省 2019 届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列七立体几何（福建省高三毕业班复习教学指导组 郑新发执笔整理）立体几何作为支撑高中数学知识体系的重要知识模块之一，高中数学教材安排了两部分内容 ：数学必修 2、选修 21包括“ 空间几何体” 、 “点、直线 、平面之间的位 置关系” 、和“空间向量与立体几何” 。高考立体几何试题具有较强的综合性与交汇性是每年髙考的必考内容，考试突出综合性，重视基础知识、基本技能和综合应用和创新意识的考查，突出四基、四能和学科核心素养的考查，突出空间想象、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等都进行考查高考对立体几何的考查难度、题量都相对稳定，题目
2、难度属于中档，也是同学们应尽力得满份的题目，其题型、难度与分值比例均长期保持相对稳定。一般理数占 22 分、文数占 2227 分，其题型与题量一般是 1 个解答题，理数 2 个小题，文数 2 3 个小题选择题一道位于 5-8 是中等难度的题目，别一道是 11-12 题或填空的最后一题的位置，属于较难的题目，解答题稳定在第 18 题的位置（除 14 年） 立体几何高考的选择或填空题有三个常考热点：一是空间几何体的三视图；二是空间几何体的表面积、体积；三是空间中点、直线、平面之间的位置关系的判定考点一般围绕：空间中点、直线、平面的位置关系的判定和性质；距离和角的计算；三视图；表面积和体积；立体几何
3、与其他问题的综合考查。能力范畴有：能根据条件画出正确的图形；能根据图形想象出直观形象；能正确地分析图形中的基本元素和相互关系；能对图形进行分解组合和变形；会选择适当的方法对图形的性质进行研究。立体几何高考的解答题常以棱柱或棱锥为载体，解答题一般采用分步设问的方式，常见的两个考查热点：一是定性分析，二是定量计算 其中定性分析，不论文科还是理科主要是以平行、垂直的证明为主；而定量分析，文科试题主要考查表面积、体积的计算；理科试题主要考查线面角、二面角的计算意在考查学生直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.下面主要以全国高考数学卷与各省市质检卷为例，对学生解答立体几何试题存在的问题进行剖析，并提出
4、相应的教学对策，供高三复习参考.近五年立体几何部分考查情况表：表一：全国卷（理科）立体几何考查情况年份 题序 考查内容12 三视图（求最长的棱长）201419 （1）证明线段相等；（2）求二面角的余弦值（以三棱柱为背景）6 米堆（圆锥的四分之一）的体积（数学文化）11 三视图（简单组合体，求球的半径）201518 （1）证明面面垂直；（2）求异面直线所成角的余弦值6 三视图（求八分之七的球的表面积）11 以正方体为背景求异面直线所成角的正弦值201618 (1）证明面面垂直；（2）求二面角的余弦值（以五面体为背景）7 三视图（简单组合体）16 三棱锥的体积的最大值（平面图形翻折问题）20171
5、8 （1）证明面面垂直；（2）求二面角的余弦值（以四棱锥为背景）27 三视图（圆柱、最短路径长度）12 线面所成角,平面截正方体所得的截面面积的最大值201818 (1）证明面面垂直；（2）求线面角的正弦值（平面翻折问题）表二：全国卷（文科）立体几何考查情况年份 题序 考查内容8 三视图（判断几何体）201419 （1）证明两异面直线垂直；（2）求三棱柱的高6 米堆（圆锥的四分之一）的体积（数学文化）11 三视图（简单组合体，求球的半径）201518 (1)证明面面垂直；（2）求三棱锥的侧面积7 三视图（求八分之七的球的表面积）11 以正方体为背景求异面直线所成角的正弦值201618 （1）证
6、明中点问题；（2）作图并求四面体的体积6 以正方体为背景判断线面不平行16 球的表面积（球内接三棱锥）201718 （1）证明面面垂直；（2）求四棱锥的侧面积5 圆柱的表面积9 三视图（圆柱、最短路径长度）10 以长方体为背景的线面所成角，长方体的体积201818 （1）证明面面垂直；（2）求三棱锥的体积（平面翻折问题）一、存在的问题及原因分析：问题一：识图、作图、用图能力弱作图、识图、用图能力是考生学好立体几何所应具备的重要能力之一，学生的识图、作图、用图能力弱主要集中在“三视图的识别、还原” ， “球问题的直观呈现和转化” ， “作图问题” ， “展折问题的图形分析”等【例题 1】 （20
7、19 届广东茂名高三第一次联考 ）如图 1 是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图为正方形，俯视图是腰长为 的等腰直角三角形，则该几2何体的体积是( )A B C D 432834【解析】由三视图可知，该几何体为如图 2 所示的四棱锥 ABCDE，底面BCDE 为矩形， 取 DE 的中点为 ，连接 ，则 就是四棱锥 ABCDE 的高，FF， ，高为 ，所以四棱锥 ABCDE 的体积为BE2Dsin1h，故选 B112333V【评析】本题易错点是忽视三视图中的实线与虚线的区别，导致所判断的空间几何图图3体出错，从而所求的几何体的体积不正确破解此类题的关键：一是会还原，首先看俯视图，俯视图的长是几
8、何体的长，宽是几何体的宽，根据俯视图画出几何体地面的直观图；再观察正视图和侧视图，正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽，找到几何体前、后、左、右的高度，要特别注意视图中的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见的轮廓线在三视图中为虚线二是用公式，即利用锥体的体积公式，求出空间几何体的体积【例题 2】 （2012 年课标全国卷理 11）已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，-SABCO是边长为 1 的正三角形， 为球 的直径，且 ，则此棱锥的体积为( )ABCSCO=2A B C D 63632【解析】由球的定义可知，球心 为 的中点如图 3，设 的中心SA
9、BC为 ，则有 平面 ，且 ，所以三棱锥的高MOAC261OM，所以此棱锥的体积为 263h 326【评析】本题往往会因为对直径认识不足（球心 为 的中点） ，纠结如何OSC做图（球内接三棱锥 ） ，而不懂对问题进行转化（ ） ，只有正确理解才能把问题-SABC-2ABOABCV转化为三棱锥 （如图 5） ，再结合球的定义，即可解决O【例题 3】 （2016 全国卷理 11）平面 过正方体 的顶点 ， 平面 ，1-D/1CBD平面 ， 平面 ，则 所成角的正弦值为（ ）ABCDm1ABnm，A B C D 32233【解析】方法一、因为 平面 ，且平面 过顶点 ，/1A故问题相当于把平面 “外
10、移” 如图 4，在正方体1D的左侧补上一个全等的正方体，则平面 “外移”1-ABC 1CBD到平面 （即平面 ） ，则 平面 ， 平面22A，又 为等边三角形，则 所成角为 ，其正弦值为 122ABDmn， 6032方法二、如图 5,设平面 1C平面 B= ,平面 1CD平面 1AB= n,因为 /平面 1CBD,所以/,/mn,则 所成的角等于 ,所成的角. 延长 ,过 作 /E,连接 ,则 E为图 3图 44m,同理 1BF为 n,而 1/,/DCEBFA,则 mn所成的角即为 1,ABD所成的角,即为 60,故 所成角的正弦值为 32,选 A. 【评析】本题往往会因作图不过关而对过顶点
11、作平面 束手无策，只有正确理解才能通过“补上一个全等的正方体”快速实现把平面 “外移” 1CB（此时 ） 可见，观察和做出平行线是本题作图的关键当然，如何212121/,/,/DBCABCD作平行线，这是作图的基本功，教师要讲明原理（常利用中位线或平行四边形的性质作平行线） ，同时，要引导学生观察几何体（尤其是长方体中的一些常见的平行关系（如本题）的和垂直关系） ，这样，212121/,/,/学生的作图就会更有方向感！【例题 4】如图 6，四边形 中，ABCD， ， 将四边形1ABDC2沿对角线 折成四面体 (如图 7)，使平面，则下列结论正确的是( )平 面A B 90ACC 与平面 所成的
12、角为 D 四面体 的体积为D3ABC13【解析】 ， ， 12又面 面 ，且 ，面 面 ，BD 面 ， 面 ，ACBA，即 90【评析】本题往往会因对折叠问题前后的“变量与不变量”分析不够，而忽视重要的垂直关系“ ， ”， 只有正确理解才能顺利由平面 得出D ABCD平 面面 ，再结合 ，得到 面 ，从而解决问题CDABABACD无论是图形的翻折或是展开，都是平面图形与空间图形的相互转化，从抽象到直观，直观到抽象的过程，其中翻折 平面图形立体化，展开 立体图形平面化解决这类问题关键在于要分清展折前后的“变量与不变量” ，建议在展折前的图形中进行标注重要的点（尤其前后坐标的不同） ，或是重要的量
13、（如垂直关系，如图 8） ，这样比较不会遗忘或忽略问题二： 推理的逻辑欠清晰以全国卷理数为例，其解答题一般稳定居于解答题的第二或第三的位置，常设置两问，一问主要涉及定性证明（如垂直关系、平行关系） ，二问立足定量求解在定性分析时由于定理条件掌握不全，推理的逻辑欠清晰，常造成“会而不全” ，导致失分，图 5图 6 图 7图 85如学生们在使用直线与平面平行的判定定理时，常常遗忘“已知直线一定要在该平面外”这个关键的条件；在使用直线与平面垂直的判定定理时，常常遗忘“线不在多，重在相交”这个关键的条件符号书写也不规范，如直线与平面是包含与不包含的关系，却常误写成是属于与不属于的关系等.【例题 5】
14、在如图 9 所示的多面体 中，四边形 是正方形，ABCDEFABCD平面 ， ， ， 是 的中点EDABC/EDF21M（）求证： 平面 ；M（）求证：平面 平面 【解析】 （）如图 10，连接 ， ，则 为 的中点，连接 则,ACBDOBOM，又 ，且 ，1/,2OFC且 /EFFC21所以 ，ED且所以 是平行四边形，所以M/,M又 平面 , 平面 ，所以 平面 ABOABD/EABD（）因为 ， 底面 ，/FCC所以 底面 ， 平面 ,所以 ，FO由（）知 所以 ， /,ED因为 ，且 所以 ，A/,MAEM又 ，所以 平面 CFC又 平面 ，所以平面 平面 F【评析】 （）要证线面平行
15、，一般可考虑线线平行或面面平行，本题可优先考虑线线平行本题虽思路较为直接，但常常会“想当然” ，如易借助几何直观可知 忽视“ 是平行四边形”/,EDOEM的证明过程；此外更常忽略条件“ 平面 , 平面 ”的完整表达而造成不必要的EMABCABC失分！（）要证面面垂直，关键在于找出一组“线面垂直” ，如图 11，能较为直观看到“ 平面”就是目标证明过程中常因几何直观强，忽视平行关系与垂直关系之间的转化，直接“想当然”FAC“易得 ， ”造成失分，同时条件“ 平面 ”也是学生证明面面垂直最EACEMAF容易失分的地方问题三：概念意识不强数学概念不仅仅是明晰研究对象，也是数学思考问题、解决问题的出发
16、点.考生由于概念意识不强，文字语言与图形语言无法转换，即看到概念的文本描述，头脑中无法形成与之相应的空间几何体易把“异面直线所成的角”与“向量的夹角”混淆，易图 9图 9图 106把“线面所成的角”等同“直线与平面法向量的夹角” ，易分辨不清“二面角的平面角”与“两个法向量的夹角”之间差异，同时对“线面所成的角”或“二面角的平面角”易忽视其定义的本质（即“找、证、算” ） ，而陷入盲目的计算，使得问题复杂化【例题 6】如图 11，在以 为顶点的五面体中，面 为正方形， ，,ABCDEFABEF2AFD，且二面角 与二面角 都是 90AFD-60（I）证明：平面 平面 ；EF（II）求二面角 的
17、余弦值-BA【解析】 （I）由已知可得 ， ，DAFEFD所以 平面 ，又 平面 ，故平面 平AEFCBF面 （II）过 作 ，垂足为 ，由（I ）知 平面 GDGABE以 为坐标原点， 的方向为 x轴正方向， 为单位长度，建立如图 12 所示的空间直角坐标系由（I ）知 为二面角 的平面角，xyzDFE-AF故 ，则 ，可得 1,40，=60FE2,33,4， 3,， 0由已知， /A，所以 /平面 FC又平面 CD平面 ，故 /， /F由 /A，可得 平面 FDC，所以 为二面角 的平面角， 60从而可得 2,03所以 1,03， 0,4， 3,4， 4A设 是平面 C的法向量，则 ，即
18、30xzy，所以可取 (,)xyzn 0ECBn(3,0)n设 是平面 DA的法向量，则 ，同理可取 (,)m,Am(,4)m则 ，故二面角 C的余弦值为 219219cos,|n【评析】本题（II）的解决关键在于理清二面角 与二面角 的平面角（此时只有-DFE-CBF图 11图 127理清哪个角是平面角，才能寻求坐标之间的关系） ，考生往往会会“想当然” “直观”认为 为二面DFE角 的平面角， CF为二面角 F的平面角，而忽视对平面角定义的阐述！事实上，-DAFE在平面角的定义中，必需紧扣“相交棱” “两垂直于棱的相交直线” ，这往往需要“找、证” “ 相交棱垂直平面” 问题四：建系的合理
19、性欠思考理数立体几何解答题的二问常立足定量求解（如三种角度的度量，线面角与二面角是高频考点，异面直线所成角偶尔会涉及到） ，往往可考虑几何法和向量法进行求解，但利用向量法进行求解的更易入手，相应的考生比例也更大利用向量法解决离不开建一个合适的坐标系！考生常因不懂建系或建系不合理导致求解困难，也常出现“没有证明三线两两垂直”就“想当然”建系等错误【例题 7】 （2015 年新课标 卷理 18）如图 13，四边形 ABCD 为菱形，ABC=120，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE平面 ABCD，DF平面 ABCD， BE=2DF，AEEC. （）证明：平面 AEC平面 AFC.（）求直
20、线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值 .3【解析】 （）连结 在菱形 中，, ,BDACGEF设 ， 连 接 ABCD不妨设 ,由 ，可得 ，可得 .=1GBo20ACo=1203又因为 在E平 面 ， 可 知 ， ， ,=,EG所 以 ，.RtEF中 ， 可 得 ， 故 6Rt .2中 ， 可 得在直角梯形 中，由 BDF 3=2.BEDF， ， ， 可 得，EGFG ，ACFG=G，EG平面 AFC，EG 面 AEC，平面 AFC平面 AEC. AC （）如图 14，以 G 为坐标原点，分别以 的方向为 轴，y 轴正方向， 为单位长度，建立,GCx|GB空间直角坐标系 G-xyz，由（
21、）可得 A（0， ，0） ， E(1,0, )，32F（1,0 ， ） ，C（0， ，0） ，23. 2(1,3),(1,)AEF故 .3cos,|AEC所以直线 AE 与 CF 所成的角的余弦值为 . 【评析】本题主要考查立体几何的线面、面面位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力. 本题的学生的主要失误点：一是没有建好坐标系，被“图”迷惑了双眼，一下子盯住点B、D ，把点 B 或点 D 视为空间直角坐标系的原点导致整题失分二是因贪快，导致图形中的坐标系漏画，图 143图 1338例如：如图建立空间直角坐标系，但图中是空的三是空间直角坐标系建成左手系，而不是建成右手系事实上，建
22、立合理的坐标系是代数法解立体几题的关键. 建立坐标系就是构造（寻找）三线两两垂直，可分步处理，先找两线垂直或先找平面的垂线（在垂面上找，即通过线面、面面垂直寻找，即本题中的平面 EFDB 和垂线 EB、DF ） ，再移动位置定出原点的位置，这是基本功，一定要通过合理地训练，让学生过关. 当然，建系时证明三线两两垂直是不可缺少的.问题五：运算求解出现低级错误学生在解决立体几何中涉及到求几何体的体积、表面积或求角与距离等问题时，运算性的出错也很常见，主要表现在：错用几何体的体积、表面积公式；错选向量或向量公式求解相关问题；运算过程粗心出错等. 由于运算求解能力弱是目前学生学习数学时存在的典型性问题
23、，在这里就不在举例分析.二、解决问题的思考与对策：1关注识图、作图、用图能力的培养识图、作图、用图能力的培养非一朝一夕就可实现！教师要“舍得”花较多的时间“手把手”教学生“怎么画” ；要“讲明作图的原理”避免学生虽“看得懂”教师的“画” ，但“书到用时方觉少，事非经过不知难！” ；要“善于借助模型和道具”引导学生观察；要“培养模型意识、动手能力”引导学生巧借“教室”或“道具比划”简化、解决问题【例题 8】 （2016 年全国卷 理 12）如图 15，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）A B C6 D46242【解析】如图 1
24、6 所示，原几何体为三棱锥 ，AB其中 ， ，,25CD26故最长棱的长度为 ，选 C6A【例题 9】 （2018 年全国卷 理 7 文 9）某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图 17圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A. B. C. D. 217532【解析】：由三视图可知，该几何体为如图 18 所示的圆柱，该圆柱的高为 2，底面周长为 16，则 画出该圆柱的侧面展开图，如图 19 所示，则从 到 的路径,4MSN MN中，最短路径的长度为 故选 B224
25、5MSN图 153图 163图 1739NMMSN2理清判定定理和性质定理的条件与结论，关注证明的严密性线与线、线与面、面与面之间的关系错综复杂，平行关系、垂直关系或平行关系与垂直关系之间都可进行转化，其证明也是考试的高频点证明时，不仅要思考它们之间的转化，而且要理清判定定理和性质定理的条件与结论（特别是一些较常遗漏疏忽的条件，如判定 时易忽视 ；判定“线面垂/aa直”易忽视“两相交直线” ；判定“面面平行” ，易直接“线线平行” ） ，避免“会而不全”导致失分【例题 9】如图 20，已知 所在的平面， 分别为 的中点矩 形PABCDNM、 PCAB、（）求证： ；/平 面MN（）若 ，求证：
26、 045PD平 面 平 面MP【解析】：（）证明:方法一：如图 21，取 的中点 ,连接E,AEN 为 中点, 为 的中位线,PCENPDC 1/2又 , 为中点 ,DABM ,四边形 为平行四边形 , /ENNE ,又 平面 , 平面 , 平面 PAPAD/MNPAD方法二：如图 22，取 的中点 ,连接 ,CF 为 中点, 为 的中位线, ,NN/又 平面 , 平面 , 平面 FD同理可证 平面 , , 平面 ，/MPANF所以平面 平面 , 平面 , 平面 MF/PAD（）证明: 平面 ， 平面 ， 平面BCDBCABCD图 18 图 193图 203图 21 图 223图 23310
27、， ， ， ， 平面PACDACDPADCPAD如图 21， 平面 ， ， 为 中点，EPE45E ，又 平面 平面 ,又 平面 ，/MNACMNPC平面 平面 PCD【例题 10】 （2017 年新课标卷理 19）如图 23，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD， E 是 PD 的中点o1,90,2BBA证明：直线 平面 PAB；E【解析】证法 一（作相交截面） 如图 24，过 沿 作截面，交平面 于 ，证 .CPBFC证法 二（作平行截面）如图 25，过 作平行于平面 的截面EA， 交 于 ，证 ， .EFADF AC证法 三（空间向量）由 1()2D
28、BDP.11()22BPP知直线 平面 PAB. CE3总结位置关系的主要证明方法与适用范围培养学生模型化的意识是总结位置关系的一个行之有效的方法其中正方体或长方体就是一个很好的载体（教室是一个非常有用的长方体模型） ，关键在于引导学生“观察、思考” 【例题 11】 （2016 年全国卷理 14） 是两个平面， 是两条直线，有下列四个命题：， mn，如果 mn，m，n，那么 如果 m，n，那么 mn如果 ，m ，那么 m 如果 mn，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等其中正确的命题有 (填写所有正确命题的编号）【解析】对于，如图 26，可知可能出现 ，故错误，不难验证都正确/4关注多面体、旋转体的结构与性质复习时，不仅要关注常见多面体（特别是三棱锥、四棱锥、三棱柱） 、旋转体的结构与性质及其体积、表面积公式 ，同时要关注其不同位置形式的解读（如横放的三棱柱） 球在全国卷也是屡见不鲜，其中球的定义、截面圆性质、球与其他几何体的接切应 重点关注图 243图 253图 263
