1、现代控制理论 - - 现代控制理论试卷作业一图为 R-L-C 电路，设 为控制量，电感 上的支路电流uL和电容 C 上的电压 为状态变1 112 22 200YxURR2x量，电容 C 上的电压 为输出量，试求：网络的状态方程和输出方2x程（注意指明参考方向） 。解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。以电感 上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令： ，L 12,Lcixu由基尔霍夫电压定律可得电压方程为：2210RCx1()Lxu从上述两式可解出 ， ，即可得到状态空间表达式如下：1221122()RxLC1212121 2()()RxRLuC= +21
2、y21210RxuR210二、考虑下列系统：现代控制理论 - - （a）给出这个系统状态变量的实现；（b）可以选出参数 （或 ）的某个值，使得这个实现或者丧失能Ka控性，或者丧失能观性，或者同时消失。解：（a）模拟结构图如下： 13123123xukxayx则可得系统的状态空间表达式：123x031230xkua2y1123x现代控制理论 - - （b） 因为 302A1ka10b3bk3120A1ka0192kaMb20b30k31k所以：当 时，该系统不能控；当 时，该系统能控。1a1a又因为： 23CA10321ka20k2Ck3k63kak2NA6k10226ka01ak（ ）所以：当
3、 或 时，该系统不能观；当 且 时，该系统能观。0ka综上可知：当 时或 且 时，该系统既不能控也不能观。11三、已知系统 的状态转移矩阵为：.Ax tttAt eee22)1(04)(0（1）试确定矩阵 ，并验证 确为上式。AAt（2）已知 求 ，以下采用三种方法计算 ，并对计算结果进行te Ate讨论。现代控制理论 - - 解：（1）利用书上 P53 状态转移矩阵的性质四：对于状态转移矩阵，有即Att)()( AeedtttA当 t=0 时 I0I01 0144)12()8(0)( 020 tt ttt eeA验证 ：（利用 P59 的公式（ 2-24）来验证）te2)(11040AI解得
4、： ， ，有一对复根，重根部分按公式（2-24）处理，213非重根部分的 仍按公式（2-23）计算。ia tttttt eeea 2211231210 143403且 210AaIeAt 所以： t)( tttttt tttttt eeee eeee 222 22 )1(04)(04016)( 1)3(0)43(四、有两个能控能观的单输入单输出系统： 1S1143uxx 112xy： 22U 2x（1）按图把 、 串联，针对 推导状态方程。1S1现代控制理论 - - （2）判断以上系统的能控性和能观性。（3）把串联系统的连接顺序颠倒过来，再推算系统的状态方程及能控、能观性。（4）求 、 及串联
5、系统的传递函数矩阵，并对（2）和（3）讨论。1S解：（1）11uBxA 1xCy12222 BAYx所以 1Cx2y因而 uBxABx 012121得状态方程: 0121430（2） A= b=201401430Ab 419210432bA所以 MAb2 049所以该系统不能控。3)(rank现代控制理论 - - 10C2121043A42C所以 41202AN所以 该系统是能观的。3)(rank（3）uBxA22 2xCy2111 x1所以 uxuBxACx 0043022210431b462A所以 2102bAM所以此时该系统能控。3)(rank012C现代控制理论 - - 1230143
6、12CA4622 而 071416302CAN所以此时该系统不能观。)(rank（4） 14312)(111 sdBsIUYsw=0342ss 0322s42s21)(2sUYw当 、 按照（2）的连接方式串联时，1S 341)()(221ssws当 、 按照（2）的连接方式串联时，由上边的传递函数结果可知，当子系统串联时，颠倒其先后次序，虽然传递函数相同，但系统的能控性、能观性则不一定相同。五、试求下列系统的能控性分解及能观性分解：10x42buAxx103yc解：（a）能控性分解：，12043A01b现代控制理论 - - 3014102Ab842所以 3102bAM，故该系统不能控。2)(
7、rank构造非奇异矩阵，所以013CR0131CRbuAx11ux 1030134102ux002xxy 131（b）能观性分解： C234102A4782 C现代控制理论 - - 所以 472312ACN所以该系统不能观。3)(rank构造非奇异矩阵：，所以10471CR10347CRbuAxC1ux 10471034710247ux23xxy 01031471六、试用李雅普诺夫第二法，判断下列系统的稳定性。（1） xx10（2）系统结构图如下，对结果进行讨论，采取什么措施可使系统稳定？解： 21x原点 =0 是系统的唯一平衡状态。选取标准二次型函数为李雅普诺夫函ex现代控制理论 - - 数
8、，即 0)(21xv 221221 )(2)( xxxv 当 ， 时， ；当 ， 时， ，因此01x0)(v00)(v为负半定。根据判断，可知该系统在李雅普诺夫意义下是稳定的。)(v另选一个李雅普诺夫函数，例如： 2121)()xxxv= 1223为正定，而 )()()( 21212121 xxxxv 为负定的，且当 ，有 。即该系统在原点处是大范围渐进稳定。V（2） 闭（3） 环系统的状态方程为uxx10.其齐次方程为 2.1.x显然，原点为系统的唯一的平衡状态，选李雅普夫函数0)(21v0)(212. xxx可见， 在任意 的值均保持为 0，而 保持为常数.)(xv0vcxv21)(这表示系统运动的相轨迹是一系列以原点为圆心， 为半径的圆。这时系统为c李雅普诺夫的稳定，但在经典控制理论中，这种情况属于不稳定，这的自由解是一个等幅的正弦振荡，要想使这个系统不稳定，必须改变系统的结构。七、图示的控制系统，试设计状态反馈矩阵，使闭环系统输出超调
