1、 对数概念及其运算知识点 1 对数1.对数的定义如果 的 次幂等于 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作,0abNbaN其中 叫做对数的底数， 叫做真数。在对数函数 中， 的取值logNa balog范围是 ， 的取值范围是 ， 的取值范围是 。1,且 0R【注意】根据对数的定义可知（1）零和负数没有对数，真数为正数，即 N（2）在对数中必须强调底数 且0a12.常用对数（1）定义：以 10 为底的对数叫做常用对数， 记做 。10logNl（2）常用对数的性质10 的整数指数幂的对数就是幂的指数，即 是 整 数nl3.自然对数（1）定义：以 为底的对数叫做自然对数， 通常记为 。7182.e
2、NelogIn（2）自然对数与常用对数之间的关系：依据对数换底公式，可以得到自然对数与常用对数之间的关系： ，即 。43.0lglNeInInl30.24.指数式与对数式的互化（1）符号 既是一个数值，也是一个算式，即已知底数和在某一个指数下的幂，求alog其指数的算式。对数式 的 、 、 在指数式 中分别是底数、指数和bNal bNab幂。（2）充分利用指数式和对数式的互换，讲述四条规则：在 中，必须 ，这是由于在实数范围内，正数任何次幂都是正数，因而balog0中的 总是正数，须强调零和负数没有对数。Nb因为 ，所以 。10loga因为 所以 。,a1因为 ，所以 ，所以 。Nbbal N
3、agl0【例 1】下列说法错误的是（）(A)负数和零没有对数 （B ）任何一个指数式都可以化为对数式（C）以 10 为底的对数叫做常用对数 （D）以 为底的对数叫做自然对数e【例 2】 （1）把下列指数式写成对数式 ;73x ;64x ;162x512（2）把下列对数式写成指数式： 。;9log3 ;301.lg3log2知识点 2 对数的运算对数的运算性质如果 且 ， ， ，那么，0a10MN;logllog)1(Naa（2） ba（3） ；Rnnll（4） 。0,ogogmMmaa用语言文字叙述对数运算法则为两个正数的积的对数等于这两个对数的和；两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差；
4、一个正数的 次方的对数，等于这个正数的对数的n倍。n【例 3】下列各式与 相等的是（）cablgabAlg)(cBlgcbaClglcabDlg【例 4】计算：;01.l2 ;4lo232.5log3222log5lg5知识点 3 换底公式1.换底公式 0,1,0logl NbabNab2.换底公式的推论,l1lba 0,1ogl2bamaa,ll3mnbaam【例 5】计算：;2log18;5log4l8252logl3ogl3984; 91l5l4532 375l192【例 6】 （1）已知 用 表示 的值；,3lg,2lba45lg（2）已知 用 表示 的值。5189og8bo36反函数
5、的概念知识点 反函数1.定义对函数 ，设它的值域为 ，如果对 中任意一个值 ，在 D 中总有唯一DxfyAy确定的 值与它对应，且满足 ，这样得到的 关于 的函数叫做 的反函xfyxxf数，记作 ，习惯上，自变量常用 来表示，而函数用 表示，所以把它改写为:fx1 y.Afy12.反函数存在的条件函数 存在反函数的充要条件是函数 是定义域到值域上的一一映射所确xf xfy定的函数。注意：单调函数必有反函数。3.反函数与原函数的关系（1）反函数和原函数互为反函数：如果函数 有反函数 ，那么函数xfyxfy1的反函数是 ，则 与 互为反函数；xfyxfy1（2）反函数和原函数的定义域与值域互换函数
6、 xfy 反函数 xfy1定义域 A C值域 C A（3）互为反函数的函数的图像间的关系函数 的图像和它的反函数 的图像关于直线 对称。函数xfyxfy1xy的图像与 的图像是同一个函数图像。f14.求反函数的步骤（1）求函数 的值域（若值域显然，解题时常略去不写） 。xfy（2）反解：由 写出 关于 的关系式；y（3）改写：在 中，将 ， 互换得到 ；yfx1xxfy1（4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域。【例 1】下列函数没有反函数的是： ；;52xy 12xy ;213xy 03)(2xy（A） （B） （C） （D）【例 2】求下列函数的反函数：（1） ；)2(xy（2） ；
7、5142（3） ;xy（4） 012【例 3】求函数 的反函数.12xy对数概念及运算与反函数总结1、对数的运算法则（将高一级运算向低级运算转化）（1） （2）NMNaaalogllog NMNaaalogllog（3） （4）nn12、一个正数的对数是由首数加尾数组成的3、几个常用的对数结论01loga 1loganalogbalogmnbmnaal 1b4、换底公式： bcalglolg5、常用对数与自然对数6、对数的运算：以同底为基本要求，注意质因数分解，未知数在指数位置即为求对数7、研究反函数是否存在：从函数的单调性出发8、反函数的定义域：与原函数的值域相同，必须研究原函数值域求得9、求反函数的基本步骤，分段函数的反函数分段求得10、原函数与反函数的图像关于 对称xy11、 xf1fRf1Dx12、反函数具有保奇性，并且保持单调性不变13、函数 与 不是互为反函数关系axfyaxfy114、互为反函数的公共点不一定在 上
