1、函数的单调性一、教学目标1. 知识与技能目标：使学生从数与形两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法。2. 过程与方法目标：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力。3. 情感态度价值观：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。二、教学重点：函数单调性的概念、判断及证明。教学难点：归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性。三、教学方法：教师引
2、导、学生自主探索、讲练结合、运用多媒体教学四、教学过程1. 创设情境，提出问题日常生活中，我们有过这样的体验：从阶梯教室前向后走，逐步上升，从从阶梯教室后向前走，逐步下降。通过观察镇江市日平均出生人数统计表和春兰股份线性图，引导学生体会图形上升或下降的变化在实际生活中的作用。如图为镇江市某天 24 小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：引导学生观察图象，提出问题：问题 1 怎样描述气温随时间增大的变化情况？问题 2 怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？问题 3 在区间4，16上，气温是否随时间增大而增大？通过连续提出三个相关联的问题，使学生在解决问题的过程中
3、，形成对函数单调性的认识。设计意图从学生熟悉的生活情境引入，让学生对函数单调性产生感性认识，为引出单调性的定义打好基础，有利于定义的自然生成，也揭示了单调性最本质的东西。2. 探索发现，建构概念（1）复习图象，直观感知问题：分别作出函数 的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？函数 在整个定义域内 y 随 x 的增大而增大；函数 在整个定义域内 y 随 x 的增大而减小；函数 在 上 y 随 x 的增大而增大，在 上 y 随 x 的增大而减小；函数 在(0,+ )上 y 随 x 的增大而减小，在 上 y 随 x 的增大而减小。xy1设计意图从图象的角度直观感知函数的单调性，通过描述
4、性的语言完成对函数单调性的第一次认识。（2）探究规律，理性认识观察引入：演示函数 y=x2随自变量 x 变化的情况步步深化，设置启发式问题：在 y 轴的右侧部分图象具有什么特点？指出在 y 轴的右侧部分自变量与函数值的变化规律？如果在 y 轴右侧部分取两个点（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ，当 x1 ,那么就21,x12x)(1xf2f说 在区间 I 上是单调减函数，I 称为 的单调减区间 )(xfy )(fy单调性、单调区间若函数 y = f(x)在区间 I 上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 在)(xfy区间 I 上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间在单调区
5、间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的概念的理解，教师强调以下三点：单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)函数在定义域内的两个区间 A,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?设计意图 让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，完成对概念的第三次认识。数学概念的形成来自解决实际问题和数学自身发展的需要但概念的高度抽象，造成了难懂、难教和难学，这就需要让
6、学生置身于符合自身实际的学习活动中去，从自己的经验和已有的知识基础出发，经历“数学化” 、 “再创造”的活动过程。刚升入高一的学生已经具备了一定的几何形象思维能力，但抽象思维能力不强。从日常的描述性语言概念升华到用数学符号语言精确刻画概念是本节课的难点。3. 讨论研究，运用概念（1）回到问题情境，提出问题：你能找出气温图中的单调区间吗？（2）讲解例题例 1 ：如图 6 是定义在闭区间-5，5上的函数 y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数 y=f(x)是增函数还是减函数. 解：函数 y=f(x)的单调区间有-5，-2，-2，1，1，3，3，5，其中
7、y=f(x)在区间-5，-2，1，3上是减函数，在区间-2， 1，3， 5上是增函数。(通过讲解例 1，让学生学会通过观察图象写出函数的单调区间)（3）回顾初中学过的函数，说出所列举具体函数的单调区间，并判断函数在各区间上的单调性。 ；2xy；3xy1鼓励学生积极讨论，画出函数的草图，根据函数的图象说出函数的单调区间教师利用实物投影仪，投影出学生画出的草图和标出的单调区间，并指出学生回答问题时可能出现的错误。设计意图在学生已有认知结构的基础上提出新问题，使学生明白，过去所研究的函数的相关特征，就是现在所学的函数的单调性，从而加深对函数单调性概念的理解4. 及时训练，深化概念练习：如图，已知函数
8、 y=f(x)，y=g(x)的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数。（请两个学生上黑板板演，教师讲评并纠正错误）要了解函数在某一区间是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明。5. 掌握证明，延伸拓展例 2、判断函数 f(x)=-2x+2 在 R 上是减函数.证明：设 是 R 上的任意两个实数，且 0 （判断符号）121212即 f( )f( ). f(x)=3x+2 在 R 上是减函数. （下结论）x例 3、证明函数 在 上是增函数证明：任取 , （取值）（作差） （变形） ,（判断符号）
9、即函数 在 上是增函数 （下结论）通过归纳，与学生一起总结出证明函数单调性的解题步骤：（1） 取值（2） 作差变形（3） 定号（4） 判断6. 思考总结，提高认识学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结。通过本节学习，要求大家：理解函数单调性的定义，掌握判断和证明函数单调性的方法。具体如下：(1) 概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性。(2) 证明方法和步骤：取值、作差变形、定号、判断。(3) 数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等。7. 布置作业，温故知新（1）复习本节课所学内容（2）书面作业：课本 P36 练习 3 1，3
10、；课本 P40 A 组 第 6 题（3）预习函数的奇偶性五、教学反思函数的单调性是函数的一个重要性质，刻画了两变量之间的相互依存的变化关系，是研究函数时非常重要的一个性质，在与其他知识的综合应用上都有着广泛的应用。对学生来说，函数的单调性早以有所知，然而没有严格的定义，只是从直观上接触过这一性质。学生对此有一定的感性认识，为学习新知识做好了准备。首先通过实际问题让学生感受研究单调性的必要性，体会数学的实用价值；然后在已有知识基础之上，引导学生观察函数图象的变化，先用自然的语言表述图象的“上升”和“下降” ，再逐步上升到形式化的概念，并能用符号语言表述。在课堂上突出对概念的分析，不仅是为了理解函数单调性的意义，而且让学生学会如何分析、弄懂一个概念，体验直观的感受上升到理性认识的过程。高一学生正处于以感性思维为主的年龄阶段，思维逐步地从感性思维过渡到理性思维，并由此向逻辑思维发展，但学生思维不成熟、不严密，因此整个教学环节设法创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，培养他们的逻辑思维能力。从学生的认知结构来看，他们只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用函数图象的直观性，发挥多媒体教学的优势。此外，学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性，在教学中注意加强。
