线性代数发展史.doc

1、高等代数拓展内容之三线性代数发展史由 于 研 究 关 联 着 多 个 因 素 的 量 所 引 起 的 问 题 ， 则 需 要 考 察 多 元 函 数 。 如果 所 研 究 的 关 联 性 是 线 性 的 ， 那 么 称 这 个 问 题 为 线 性 问 题 。 历 史 上 线 性 代 数的 第 一 个 问 题 是 关 于 解 线 性 方 程 组 的 问 题 ， 而 线 性 方 程 组 理 论 的 发 展 又 促 成了 作 为 工 具 的 矩 阵 论 和 行 列 式 理 论 的 创 立 与 发 展 ， 这 些 内 容 已 成 为 我 们 线 性代 数 教 材 的 主 要 部 分 。 最 初 的 线

2、 性 方 程 组 问 题 大 都 是 来 源 于 生 活 实 践 ， 正 是实 际 问 题 刺 激 了 线 性 代 数 这 一 学 科 的 诞 生 与 发 展 。 另 外 ， 近 现 代 数 学 分 析 与几 何 学 等 数 学 分 支 的 要 求 也 促 使 了 线 性 代 数 的 进 一 步 发 展 。 行 列 式行 列 式 出 现 于 线 性 方 程 组 的 求 解 ， 它 最 早 是 一 种 速 记 的 表 达 式 ， 现 在 已经 是 数 学 中 一 种 非 常 有 用 的 工 具 。 行 列 式 是 由 莱 布 尼 茨 和 日 本 数 学 家 关 孝和 发 明 的 。 1693 年

3、 4 月 ， 莱 布 尼 茨 在 写 给 洛 比 达 的 一 封 信 中 使 用 并 给 出了 行 列 式 ， 并 给 出 方 程 组 的 系 数 行 列 式 为 零 的 条 件 。 同 时 代 的 日 本 数 学 家 关孝 和 在 其 著 作 解 伏 题 元 法 中 也 提 出 了 行 列 式 的 概 念 与 算 法 。1750 年 ， 瑞 士 数 学 家 克 莱 姆 (G.Cramer,1704-1752) 在 其 著 作 线性 代 数 分 析 导 引 中 ， 对 行 列 式 的 定 义 和 展 开 法 则 给 出 了 比 较 完 整 、 明 确 的阐 述 ， 并 给 出 了 现 在 我

4、们 所 称 的 解 线 性 方 程 组 的 克 莱 姆 法 则 。 稍 后 ， 数 学 家贝 祖 (E.Bezout,1730-1783) 将 确 定 行 列 式 每 一 项 符 号 的 方 法 进 行 了 系 统 化 ，利 用 系 数 行 列 式 概 念 指 出 了 如 何 判 断 一 个 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 解 。总 之 ， 在 很 长 一 段 时 间 内 ， 行 列 式 只 是 作 为 解 线 性 方 程 组 的 一 种 工 具 使用 ， 并 没 有 人 意 识 到 它 可 以 独 立 于 线 性 方 程 组 之 外 ， 单 独 形 成 一 门 理 论 加 以研 究

5、。在 行 列 式 的 发 展 史 上 ， 第 一 个 对 行 列 式 理 论 做 出 连 贯 的 逻 辑 的 阐 述 ， 即把 行 列 式 理 论 与 线 性 方 程 组 求 解 相 分 离 的 人 ， 是 法 国 数 学 家 范 德 蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) 。 范 德 蒙 自 幼 在 父 亲 的 知 道 下 学 习 音 乐 ， 但 对数 学 有 浓 厚 的 兴 趣 ， 后 来 终 于 成 为 法 兰 西 科 学 院 院 士 。 特 别 地 ， 他 给 出 了 用二 阶 子 式 和 它 们 的 余 子 式 来 展 开 行 列 式 的 法 则 。 就 对 行

6、列 式 本 身 这 一 点 来 说 ，他 是 这 门 理 论 的 奠 基 人 。 1772 年 ， 拉 普 拉 斯 在 一 篇 论 文 中 证 明 了 范 德 蒙提 出 的 一 些 规 则 ， 推 广 了 他 的 展 开 行 列 式 的 方 法 。继 范 德 蒙 之 后 ， 在 行 列 式 的 理 论 方 面 ， 又 一 位 做 出 突 出 贡 献 的 就 是 另 一位 法 国 大 数 学 家 柯 西 。 1815 年 ， 柯 西 在 一 篇 论 文 中 给 出 了 行 列 式 的 第 一个 系 统 的 、 几 乎 是 近 代 的 处 理 。 其 中 主 要 结 果 之 一 是 行 列 式 的

7、 乘 法 定 理 。 另外 ， 他 第 一 个 把 行 列 式 的 元 素 排 成 方 阵 ， 采 用 双 足 标 记 法 ； 引 进 了 行 列 式 特征 方 程 的 术 语 ； 给 出 了 相 似 行 列 式 概 念 ； 改 进 了 拉 普 拉 斯 的 行 列 式 展 开 定 理并 给 出 了 一 个 证 明 等 。19 世 纪 的 半 个 多 世 纪 中 ， 对 行 列 式 理 论 研 究 始 终 不 渝 的 作 者 之 一 是 詹姆 士 西 尔 维 斯 特 (J.Sylvester,1814-1894) 。 他 是 一 个 活 泼 、 敏 感 、 兴 奋 、热 情 ， 甚 至 容 易

8、激 动 的 人 ， 然 而 由 于 是 犹 太 人 的 缘 故 ， 他 受 到 剑 桥 大 学 的 不平 等 对 待 。 西 尔 维 斯 特 用 火 一 般 的 热 情 介 绍 他 的 学 术 思 想 ， 他 的 重 要 成 就 之一 是 改 进 了 从 一 个 次 和 一 个 次 的 多 项 式 中 消 去 x 的 方 法 ， 他 称 之 为 配 析法 ， 并 给 出 形 成 的 行 列 式 为 零 时 这 两 个 多 项 式 方 程 有 公 共 根 充 分 必 要 条 件 这一 结 果 ， 但 没 有 给 出 证 明 。继 柯 西 之 后 ， 在 行 列 式 理 论 方 面 最 多 产 的

9、 人 就 是 德 国 数 学 家 雅 可 比 (J.Jacobi,1804-1851) ， 他 引 进 了 函 数 行 列 式 ， 即 “雅 可 比 行 列 式 ”， 指 出函 数 行 列 式 在 多 重 积 分 的 变 量 替 换 中 的 作 用 ， 给 出 了 函 数 行 列 式 的 导 数 公 式 。雅 可 比 的 著 名 论 文 论 行 列 式 的 形 成 和 性 质 标 志 着 行 列 式 系 统 理 论 的 建成 。 由 于 行 列 式 在 数 学 分 析 、 几 何 学 、 线 性 方 程 组 理 论 、 二 次 型 理 论 等 多 方面 的 应 用 ， 促 使 行 列 式 理

10、论 自 身 在 19世 纪 也 得 到 了 很 大 发 展 。 整 个 19 世纪 都 有 行 列 式 的 新 结 果 。 除 了 一 般 行 列 式 的 大 量 定 理 之 外 ， 还 有 许 多 有 关 特殊 行 列 式 的 其 他 定 理 都 相 继 得 到 。 矩 阵矩 阵 是 数 学 中 的 一 个 重 要 的 基 本 概 念 ， 是 代 数 学 的 一 个 主 要 研 究 对 象 ，也 是 数 学 研 究 和 应 用 的 一 个 重 要 工 具 。 “矩 阵 ”这 个 词 是 由 西 尔 维 斯 特 首 先 使用 的 ， 他 是 为 了 将 数 字 的 矩 形 阵 列 区 别 于

11、行 列 式 而 发 明 了 这 个 述 语 。 而 实 际上 ， 矩 阵 这 个 课 题 在 诞 生 之 前 就 已 经 发 展 的 很 好 了 。 从 行 列 式 的 大 量 工 作 中明 显 的 表 现 出 来 ， 为 了 很 多 目 的 ， 不 管 行 列 式 的 值 是 否 与 问 题 有 关 ， 方 阵 本身 都 可 以 研 究 和 使 用 ， 矩 阵 的 许 多 基 本 性 质 也 是 在 行 列 式 的 发 展 中 建 立 起 来的 。 在 逻 辑 上 ， 矩 阵 的 概 念 应 先 于 行 列 式 的 概 念 ， 然 而 在 历 史 上 次 序 正 好 相反 。英 国 数 学

12、家 凯 莱 (A.Cayley,1821-1895) 一 般 被 公 认 为 是 矩 阵 论 的 创 立者 ， 因 为 他 首 先 把 矩 阵 作 为 一 个 独 立 的 数 学 概 念 提 出 来 ， 并 首 先 发 表 了 关 于这 个 题 目 的 一 系 列 文 章 。 凯 莱 同 研 究 线 性 变 换 下 的 不 变 量 相 结 合 ， 首 先 引 进矩 阵 以 简 化 记 号 。 1858 年 ， 他 发 表 了 关 于 这 一 课 题 的 第 一 篇 论 文 矩 阵论 的 研 究 报 告 ， 系 统 地 阐 述 了 关 于 矩 阵 的 理 论 。 文 中 他 定 义 了 矩 阵

13、的 相 等 、矩 阵 的 运 算 法 则 、 矩 阵 的 转 置 以 及 矩 阵 的 逆 等 一 系 列 基 本 概 念 ， 指 出 了 矩 阵加 法 的 可 交 换 性 与 可 结 合 性 。 另 外 ， 凯 莱 还 给 出 了 方 阵 的 特 征 方 程 和 特 征 根（ 特 征 值 ） 以 及 有 关 矩 阵 的 一 些 基 本 结 果 。 凯 莱 出 生 于 一 个 古 老 而 有 才 能 的英 国 家 庭 ， 剑 桥 大 学 三 一 学 院 大 学 毕 业 后 留 校 讲 授 数 学 ， 三 年 后 他 转 从 律 师职 业 ， 工 作 卓 有 成 效 ， 并 利 用 业 余 时 间

14、 研 究 数 学 ， 发 表 了 大 量 的 数 学 论 文 。1855 年 ， 埃 米 特 (C.Hermite,1822-1901) 证 明 了 别 的 数 学 家 发 现 的一 些 矩 阵 类 的 特 征 根 的 特 殊 性 质 ， 如 现 在 称 为 埃 米 特 矩 阵 的 特 征 根 性 质 等 。后 来 ， 克 莱 伯 施 (A.Clebsch,1831-1872) 、 布 克 海 姆 (A.Buchheim) 等证 明 了 对 称 矩 阵 的 特 征 根 性 质 。 泰 伯 (H.Taber) 引 入 矩 阵 的 迹 的 概 念 并 给出 了 一 些 有 关 的 结 论 。在 矩

15、 阵 论 的 发 展 史 上 ， 弗 罗 伯 纽 斯 (G.Frobenius,1849-1917) 的 贡 献是 不 可 磨 灭 的 。 他 讨 论 了 最 小 多 项 式 问 题 ， 引 进 了 矩 阵 的 秩 、 不 变 因 子 和 初等 因 子 、 正 交 矩 阵 、 矩 阵 的 相 似 变 换 、 合 同 矩 阵 等 概 念 ， 以 合 乎 逻 辑 的 形 式整 理 了 不 变 因 子 和 初 等 因 子 的 理 论 ， 并 讨 论 了 正 交 矩 阵 与 合 同 矩 阵 的 一 些 重要 性 质 。 1854 年 ， 约 当 研 究 了 矩 阵 化 为 标 准 型 的 问 题 。

16、1892 年 ， 梅茨 勒 (H.Metzler) 引 进 了 矩 阵 的 超 越 函 数 概 念 并 将 其 写 成 矩 阵 的 幂 级 数 的 形式 。 傅 立 叶 、 西 尔 和 庞 加 莱 的 著 作 中 还 讨 论 了 无 限 阶 矩 阵 问 题 ， 这 主 要 是 适用 方 程 发 展 的 需 要 而 开 始 的 。矩 阵 本 身 所 具 有 的 性 质 依 赖 于 元 素 的 性 质 ， 矩 阵 由 最 初 作 为 一 种 工 具 经过 两 个 多 世 纪 的 发 展 ， 现 在 已 成 为 独 立 的 一 门 数 学 分 支 矩 阵 论 。 而 矩阵 论 又 可 分 为 矩 阵

17、 方 程 论 、 矩 阵 分 解 论 和 广 义 逆 矩 阵 论 等 矩 阵 的 现 代 理 论 。矩 阵 及 其 理 论 现 已 广 泛 地 应 用 于 现 代 科 技 的 各 个 领 域 。 线 性 方 程 组线 性 方 程 组 的 解 法 ， 早 在 中 国 古 代 的 数 学 著 作 九 章 算 术 方 程 章 中已 作 了 比 较 完 整 的 论 述 。 其 中 所 述 方 法 实 质 上 相 当 于 现 代 的 对 方 程 组 的 增 广矩 阵 施 行 初 等 行 变 换 从 而 消 去 未 知 量 的 方 法 ， 即 高 斯 消 元 法 。 在 西 方 ， 线 性方 程 组 的

18、研 究 是 在 17 世 纪 后 期 由 莱 布 尼 茨 开 创 的 。 他 曾 研 究 含 两 个 未 知量 的 三 个 线 性 方 程 组 组 成 的 方 程 组 。 麦 克 劳 林 在 18 世 纪 上 半 叶 研 究 了 具有 二 、 三 、 四 个 未 知 量 的 线 性 方 程 组 ， 得 到 了 现 在 称 为 克 莱 姆 法 则 的 结 果 。克 莱 姆 不 久 也 发 表 了 这 个 法 则 。 18世 纪 下 半 叶 ， 法 国 数 学 家 贝 祖 对 线 性 方程 组 理 论 进 行 了 一 系 列 研 究 ， 证 明 了 元 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 解

19、的 条 件 是系 数 行 列 式 等 于 零 。19 世 纪 ， 英 国 数 学 家 史 密 斯 (H.Smith) 和 道 奇 森 (C-L.Dodgson) 继续 研 究 线 性 方 程 组 理 论 ， 前 者 引 进 了 方 程 组 的 增 广 矩 阵 和 非 增 广 矩 阵 的 概 念 ，后 者 证 明 了 个 未 知 数 个 方 程 的 方 程 组 相 容 的 充 要 条 件 是 系 数 矩 阵 和 增 广 矩阵 的 秩 相 同 。 这 正 是 现 代 方 程 组 理 论 中 的 重 要 结 果 之 一 。大 量 的 科 学 技 术 问 题 ， 最 终 往 往 归 结 为 解 线 性

20、 方 程 组 。 因 此 在 线 性 方 程组 的 数 值 解 法 得 到 发 展 的 同 时 ， 线 性 方 程 组 解 的 结 构 等 理 论 性 工 作 也 取 得 了令 人 满 意 的 进 展 。 现 在 ， 线 性 方 程 组 的 数 值 解 法 在 计 算 数 学 中 占 有 重 要 地 位 。二 次 型二 次 型 也 称 为 “二 次 形 式 ”， 数 域 ？ 上 的 ？ 元 二 次 齐 次 多 项 式 称 为 数域 ？ 上 的 ？ 元 二 次 型 。 二 次 型 是 我 们 线 性 代 数 教 材 的 后 继 内 容 ， 为 了 我 们后 面 的 学 习 ， 这 里 对 于 二

21、 次 型 的 发 展 历 史 我 们 也 作 简 单 介 绍 。 二 次 型 的 系 统研 究 是 从 18 世 纪 开 始 的 ， 它 起 源 于 对 二 次 曲 线 和 二 次 曲 面 的 分 类 问 题 的 讨论 。 将 二 次 曲 线 和 二 次 曲 面 的 方 程 变 形 ， 选 有 主 轴 方 向 的 轴 作 为 坐 标 轴 以 简化 方 程 的 形 状 ， 这 个 问 题 是 在 18 世 纪 引 进 的 。 柯 西 在 其 著 作 中 给 出 结 论 ：当 方 程 是 标 准 型 时 ， 二 次 曲 面 用 二 次 项 的 符 号 来 进 行 分 类 。 然 而 ， 那 时 并

22、 不太 清 楚 ， 在 化 简 成 标 准 型 时 ， 为 何 总 是 得 到 同 样 数 目 的 正 项 和 负 项 。 西 尔 维斯 特 回 答 了 这 个 问 题 ， 他 给 出 了 个 变 数 的 二 次 型 的 惯 性 定 律 ， 但 没 有 证 明 。这 个 定 律 后 被 雅 可 比 重 新 发 现 和 证 明 。 1801 年 ， 高 斯 在 算 术 研 究 中引 进 了 二 次 型 的 正 定 、 负 定 、 半 正 定 和 半 负 定 等 术 语 。二 次 型 化 简 的 进 一 步 研 究 涉 及 二 次 型 或 行 列 式 的 特 征 方 程 的 概 念 。 特 征方

23、程 的 概 念 隐 含 地 出 现 在 欧 拉 的 著 作 中 ， 拉 格 朗 日 在 其 关 于 线 性 微 分 方 程 组的 著 作 中 首 先 明 确 地 给 出 了 这 个 概 念 。 而 三 个 变 数 的 二 次 型 的 特 征 值 的 实 性则 是 由 阿 歇 特 (J-N.P.Hachette) 、 蒙 日 和 泊 松 (S.D.Poisson,1781-1840) 建 立 的 。柯 西 在 别 人 著 作 的 基 础 上 ， 着 手 研 究 化 简 变 数 的 二 次 型 问 题 ， 并 证 明 了特 征 方 程 在 直 角 坐 标 系 的 任 何 变 换 下 不 变 性 。

24、 后 来 ， 他 又 证 明 了 个 变 数 的两 个 二 次 型 能 用 同 一 个 线 性 变 换 同 时 化 成 平 方 和 。1851 年 ， 西 尔 维 斯 特 在 研 究 二 次 曲 线 和 二 次 曲 面 的 切 触 和 相 交 时 需 要考 虑 这 种 二 次 曲 线 和 二 次 曲 面 束 的 分 类 。 在 他 的 分 类 方 法 中 他 引 进 了 初 等 因子 和 不 变 因 子 的 概 念 ， 但 他 没 有 证 明 “不 变 因 子 组 成 两 个 二 次 型 的 不 变 量 的完 全 集 ”这 一 结 论 。1858 年 ， 魏 尔 斯 特 拉 斯 对 同 时 化

25、 两 个 二 次 型 成 平 方 和 给 出 了 一 个 一 般的 方 法 ， 并 证 明 ， 如 果 二 次 型 之 一 是 正 定 的 ， 那 么 即 使 某 些 特 征 根 相 等 ， 这个 化 简 也 是 可 能 的 。 魏 尔 斯 特 拉 斯 比 较 系 统 的 完 成 了 二 次 型 的 理 论 并 将 其 推广 到 双 线 性 型 。 从 解 方 程 到 群 论求 根 问 题 是 方 程 理 论 的 一 个 中 心 课 题 。 16 世 纪 ， 数 学 家 们 解 决 了 三 、四 次 方 程 的 求 根 公 式 ， 对 于 更 高 次 方 程 的 求 根 公 式 是 否 存 在

26、 ， 成 为 当 时 的 数学 家 们 探 讨 的 又 一 个 问 题 。 这 个 问 题 花 费 了 不 少 数 学 家 们 大 量 的 时 间 和 精 力 。经 历 了 屡 次 失 败 ， 但 总 是 摆 脱 不 了 困 境 。到 了 18 世 纪 下 半 叶 ， 拉 格 朗 日 认 真 总 结 分 析 了 前 人 失 败 的 经 验 ， 深 入研 究 了 高 次 方 程 的 根 与 置 换 之 间 的 关 系 ， 提 出 了 预 解 式 概 念 ， 并 预 见 到 预 解式 和 各 根 在 排 列 置 换 下 的 形 式 不 变 性 有 关 。 但 他 最 终 没 能 解 决 高 次 方

27、 程 问 题 。拉 格 朗 日 的 弟 子 鲁 菲 尼 (Ruffini,1765-1862) 也 做 了 许 多 努 力 ， 但 都 以 失 败告 终 。 高 次 方 程 的 根 式 解 的 讨 论 ， 在 挪 威 杰 出 数 学 家 阿 贝 尔 那 里 取 得 了 很 大进 展 。 阿 贝 尔 (N.K.Abel,1802-1829) 只 活 了 27 岁 ， 他 一 生 贫 病 交 加 ，但 却 留 下 了 许 多 创 造 性 工 作 。 1824 年 ， 阿 贝 尔 证 明 了 次 数 大 于 四 次 的 一般 代 数 方 程 不 可 能 有 根 式 解 。 但 问 题 仍 没 有 彻

28、 底 解 决 ， 因 为 有 些 特 殊 方 程 可以 用 根 式 求 解 。 因 此 ， 高 于 四 次 的 代 数 方 程 何 时 没 有 根 式 解 ， 是 需 要 进 一 步解 决 的 问 题 。 这 一 问 题 由 法 国 数 学 家 伽 罗 瓦 全 面 透 彻 地 给 予 解 决 。伽 罗 瓦 (E.Galois,1811-1832) 仔 细 研 究 了 拉 格 朗 日 和 阿 贝 尔 的 著 作 ，建 立 了 方 程 的 根 的 “容 许 ”置 换 ， 提 出 了 置 换 群 的 概 念 ， 得 到 了 代 数 方 程 用 根式 解 的 充 分 必 要 条 件 是 置 换 群 的

29、 自 同 构 群 可 解 。 从 这 种 意 义 上 ， 我 们 说 伽 罗瓦 是 群 论 的 创 立 者 。 伽 罗 瓦 出 身 于 巴 黎 附 近 一 个 富 裕 的 家 庭 ， 幼 时 受 到 良 好的 家 庭 教 育 ， 只 可 惜 ， 这 位 天 才 的 数 学 家 英 年 早 逝 ， 1832 年 5 月 ， 由于 政 治 和 爱 情 的 纠 葛 ， 在 一 次 决 斗 中 被 打 死 ， 年 仅 21 岁 。置 换 群 的 概 念 和 结 论 是 最 终 产 生 抽 象 群 的 第 一 个 主 要 来 源 。 抽 象 群 产 生的 第 二 个 主 要 来 源 则 是 戴 德 金

30、(R.Dedekind,1831-1916) 和 克 罗 内 克 (L.Kronecker,1823-1891) 的 有 限 群 及 有 限 交 换 群 的 抽 象 定 义 以 及 凯 莱 (A.Kayley,1821-1895) 关 于 有 限 抽 象 群 的 研 究 工 作 。 另 外 ， 克 莱 因 (F.Clein,1849-1925) 和 庞 加 莱 (J-H.Poincare,1854-1912) 给 出 了 无 限 变换 群 和 其 他 类 型 的 无 限 群 ， 19 世 纪 70 年 代 ， 李 (M.S.Lie,1842-1899) 开 始 研 究 连 续 变 换 群 ，

31、并 建 立 了 连 续 群 的 一 般 理 论 ， 这 些 工 作 构 成 抽 象 群 论的 第 三 个 主 要 来 源 。1882-1883 年 ， 迪 克 (W.vondyck,1856-1934) 的 论 文 把 上 述 三 个 主要 来 源 的 工 作 纳 入 抽 象 群 的 概 念 之 中 ， 建 立 了 （ 抽 象 ） 群 的 定 义 。 到 19 世 纪 80 年 代 ， 数 学 家 们 终 于 成 功 地 概 括 出 抽 象 群 论 的 公 理 体 系 。20 世 纪 80 年 代 ， 群 的 概 念 已 经 普 遍 地 被 认 为 是 数 学 及 其 许 多 应 用 中最 基 本 的 概 念 之 一 。 它 不 但 渗 透 到 诸 如 几 何 学 、 代 数 拓 扑 学 、 函 数 论 、 泛 函分 析 及 其 他 许 多 数 学 分 支 中 而 起 着 重 要 的 作 用 ， 还 形 成 了 一 些 新 学 科 如 拓 扑群 、 李 群 、 代 数 群 等 ， 它 们 还 具 有 与 群 结 构 相 联 系 的 其 他 结 构 ， 如 拓 扑 、 解析 流 形 、 代 数 簇 等 ， 并 在 结 晶 学 、 理 论 物 理 、 量 子 化 学 以 及 编 码 学 、 自 动 机理 论 等 方 面 ， 都 有 重 要 作 用 。