1、2008 全国等离子体物理暑期学校 讲义电阻磁流体模式Lecture notes onResistive MHD ModesCSSPP 2008王晓钢（北京大学）第一节：等离子体中的电阻磁流体模式1.1 理想磁流体近似下的奇异性与耗散效 应1.2 Spitzer 电阻与欧姆定律1.3 反常电阻1.4 电阻磁流体模式简介第二节：磁重联与经典撕裂模理论2.1 等离子体中的磁重联现 象2.2 磁重联的基本概念与模型2.3 托卡马克 FKR 撕裂模理 论2.4 Rutherford 非线性撕裂模理 论第三节：驱动磁重联3.1 驱动磁重联的 Taylor 模型3.2 旋转磁岛的饱和3.3 误差场与锁模
2、第四节：锯齿振荡4.1 托卡马克的“小破裂”现象4.2 有理面 m=1 上的扭曲撕裂模4.3 锯齿振荡的 Kadomtsev 模型4.4* 锯齿振荡的快磁重联模型第一节：等离子体中的电阻磁流体模式1.1 理想磁流体近似下的奇异性与耗散效应我们先来回顾一下理想磁流体（Ideal MHD）理论。前面介绍过，理想磁流体力学方程组是：连续性方程： (1-01)0mtu力平衡方程： (1-02)()pt cBOhm 定律： (1-03)0cBE()tu状态方程： 。 (1-04)pptu这里 ， ，以及 （ ），mieinneiT4qE0einq。其中（I-03）中用到了 Faraday 定律 。此外，
3、比热系数 是决0B1ctB定等离子体过程状态的参数： 对应等温过程； 对应绝热过程； 对15/3应不可压缩过程。这一组 10 个方程， 对应 10 个函数： ， ， ，和 。 mpu研究线性的理想磁流体不稳定性，主要方法之一就是所谓“ 能量原理”的办法。就是对理想磁流体力学方程组作线性近似以后，求其扰动能量积分， (1-05)211184cddat xBEJEB这里用到了 Ampere 定律 （我们先把电流作为一个数学记号）。如果4c初始平衡时静态的，则 ，我 们可以得到1u。 (1-06)101cJBE而由线性化的（1-02）可以得到。 (1-07)210 01011pct c JuJBuu
4、对一个二维的 Harris 电流片模型的平衡， (1-08)00()yBFzx=这里 ，扰动可以写成tanh/FzL。 (1-09)11y于是对这样一种平衡位形，有(1-10)2201 118FptuJEu这里。 (1-11)01101Jppc于是，能量积分（1-05）可以写成下面形式(1-12)21104cdptaEBu这里(1-13)22fcWK其中(1-14)222118f FdxB是磁场的自由能；(1-15)21cWdptxu是等离子体可压缩性引起的自由能变化；而表征不稳定性的 MHD 流体动能(1-16)22K显然总是正定的。如果（1-12）的面积分项等于零，则 Harris 电流片
5、的理想 MHD稳定性的充分条件是 ：。 (1-17)220fcW如果等离子体是不可压缩的，则 常数，产生不稳定性的充分22fWK必要条件是： 。20fW磁场自由能的表示式（1-14）可以写成， (1-18)22218f Fdkx这里扰动磁通 。然后利用变分原理可以得到1(,)ikxzte。 (1-19)2/0kF这个方程的严格解是， (1-20)tanh/(,)(0,)1kzzLztte这里我们已经用到边界值等于零的边界条件。对于磁通 来说，这个解是连续的；但是在 平面上磁场不连续；这导致0z在这个面上的电流的 函数型奇异性（ -function singularity）！另一个典型的例子是
6、Alfvn 共振（参见陈骝：Alfvn 波物理讲义），对于扰动位移是对数奇异性（logarithmic singularity），而对于其它扰动量则是“幂律”奇异性（power-law singularity）。这些奇异性本质上不是物理的。只是因为我们在做理想磁流体近似的时候忽略了小尺度效应：比如耗散或者动理学效应（kinetic effects）。动理学效应我们以后讲。这里我们主要讨论耗散效应。1.2 Spitzer 电阻与欧姆定律如果是流动的奇异性，比如涡旋 的奇异性，那么粘滞是主要的耗散u机制；这里是电流的奇异性，所以电阻就成为主要的耗散机制。经典的等离子体电阻被称为 Spitzer 电
7、阻。其物理本质是电子在运动 中与其它电子、离子和中性粒子的碰撞。可以从电子的运动方程， (1-21)eee eedmnnmtcuuBEPu得到“广义 Ohm 定律” eeeee emdcntnnuBJJJuu224eeepepctP， (1-22)2eepedntJBJ这里， 被称为 Spitzer 电阻。在 cgs 单位制中，它是时间的24/eppg量纲。由于等离子体振荡是极快的过程，而一般等离子体满足 ，所31/Degn以 Spitzer 电阻很低。在 Ideal MHD 近似下将其忽略是合理的。一般来说，对磁化等离子体的 MHD 过程，特征速度是 Alfvn 速度。如果等离子体的特征宏观
8、尺度（比如 Harris 电流片的宽度） 为 ，则用这个速度可以得L到特征时间尺度 ， 。用上述特征时空尺度来归1/AALV0/4iBnm一化（1-22 ），可以得到， (1-23)2ieieeDdntSJJEuBP这里 ， ， ， 。其中前两项是 尺度，/DdL/pcARS24/LciD第三项电子惯性项是 尺度。最后一项电阻项：由于对于电磁扰动 ，e /tEA而电流 （Coulomb 规范）， 显然其归一化特征尺度是 。则在2JA 1/2S， 的近似下，我们得到理想 MHD 的 Ohm 定律 （无量0DS 0uB纲）。这时等离子体与磁力线“冻结”在一起运动。所以（1-23）式右边的任何一项都
9、可以破坏这种“ 冻结” （frozen in）效应， 导致等离子体的 “退磁化”。其中，如果碰撞频率高到一定程度，使得 ，则（1-23）右边的碰撞项可能比其它1/2ieSD几项更为重要，那么（1-23）变成常见的 Ohm 定律形式， (1-24)/EuBJ或者。 (1-25)21()tS当电流出现奇异性，或者空间尺度趋向零的情况下，电阻项 或者耗散（扩散）/SJ项 就成为重要的。以至于在 很大但是没有到达真正的奇异值、空间尺2/SBJ度很小但是没有到达零的情况下，电阻项 或者扩散项 就成为其它各/S2/B项同样的数量级。这时理想 MHD 假设不再适用，而理想 MHD 导致的解的奇异性也就被“消
10、 释” （resolve）了。这时我们必须在小尺度上求解（1-24）或者（1-25）。1.3 反常电阻当然，除了粒子之间的碰撞，电子也可以被波的电场无规（湍性）散射而“ 退磁化”，从而 导致理想磁流体“冻结”效应的破坏。 这种波 粒子相互作用引起的散射可以用等效“ 碰撞” 频率 来表示。因此而引起的“ 电阻” 为 。一般s 24/sspe来说，等离子体，特别是实验室里的强磁化等离子体中的湍流水平都不高，因此这种“湍性”波散射引起的 电阻都可以忽略。但是当电流非常强的时候，会激发起相当宽的、比 Alfvn 频率要高得多的湍流谱。这时 波粒子相互作用引起的等效“碰撞”频率 会“反常”地高。这样的“
11、反常碰撞” 引起的电阻被称为“ 反常电阻”sa（anomalous resistivity）。 (1-26)24/ape反常电阻的计算是等离子体研究的一个悬而未决的问题。目前在数值模拟中广泛使用的是所谓“ 局域加 强电阻” （Localized “anomalous” resistivity）。即在 电流峰值附近很小的区域人为引入比背景 Spitzer 电 阻高几个数量级的“ 电阻”。但是其人为性因素太强。有些工作里甚至到了随心所欲的地步。另一种更合理一些的是 Sato & Hayashi（1979: Phys. Fluids 22, 1189）引进的一种完全唯象的“电流诱发”的“反常电阻”。
12、 (1-26)2000()/()()aaJJxx这里的背景电阻 是 Spitzer 电阻。这个假设考虑 了电流对反常电阻的诱发效应，0但是其具体的物理机制并不清楚。比较严格的计算中， “反常碰撞频率” 由湍a流谱(1-27)*,1Re(,)8WkkkE来决定，这里 是波的介电张量。 对于典型的电流激发的低混杂波湍流来说，()。 (1-28)08LHiLHaemp具体的讨论和计算已超出本课程的范围, 可以参考 Treumann 最近的文章（2001: Origin of resistivity in reconnection, Earth, Planets and Space 53, 453-4
13、62）。1.4 电阻磁流体模式简介由于电阻的耗散效应，等离子体的自由能的释放变得更容易一些。因此在特定的参数空间，理想磁流体近似下稳定的模式在考虑电阻效应的情况下变得不稳定。这 些模式被称为电阻磁流体模式（Resistive MHD Modes）。但是也正因为等离子体的自由能的释放变得更容易，其释放过程就不像理想磁流体不稳定性那么猛烈、突然，而相对缓慢。其增 长率一般有形式： ， ， ARA1，远小于理想磁流体过程的特征频率 Alfvn 频率。/RAS在电阻磁流体模型下，扰动能量积分（1-05），即（1-12），可以写成(1-29)222fcWQK其中，利用， (1-30)21011cJBuE
14、得到。 (1-31)221QdtxJ则如果（1-12）的面积分项等于零，Harris 电流片的电阻 MHD 不稳定性的充分必要条件是：。20fWQ如果扰动磁通 。然后利用变分原理可以得到 1()exp)ztik。 (1-32)242/RLdkFz这个新的本征值方程的解在 平面上不再有奇异性。但是对于特定的 参数0 k区间，其本征值 给出新的不稳定性。这种不稳定性是电阻的效应引起()k的、可以“ 撕裂”（tear）原来的平衡 电流分布，所谓被称为“电阻撕裂模” （Resistive Tearing Modes）。其它由于电阻引起的不稳定模式还有，电阻扭曲模（Resistive Kink Mode
15、s）、电阻交换 模（Resistive interchange Modes）、电阻气球模（Resistive Ballooning Modes）、电阻 Rippling 模等。第二节：磁重联与经典撕裂模理论2.1 等离子体中的磁重联现象从理想 MHD 的 Ohm 定律 ，或者 ，我们知/0cEuB/()tuB道在理想磁流体近似下等离子体与磁力线“冻结” 在一起运 动。理想磁流体的这一重要性质被用来实现在物理测量上“追踪” （tracing）磁力线（A. Newcomb, 1960: Ann. Phys. (N.Y.) 10, 232）；并且保证了磁力线在其演化过程中拓扑性质不变。这种不变性对应
16、的守恒量叫做磁螺旋度（Magnetic Helicity）， 。 (2-01)()mHdxAB=A当等离子体中的电阻耗散效应很小的时候，也就是说，或者等离子体的电阻扩散时间 远大于磁力线运动的特征时间、或者 电阻耗散效应起显著作用的特征空R间尺度远小于磁场变化的特征空间尺度，上述性质还可以继续应用。所以对于空间以及实验室磁约束等离子体来说理想磁流体的这些性质基本上都是适用的。但是，当两条磁力线足够接近，到了 “非理想” （non-ideal）效应成为重要的尺度，以至于随它们一起运动的“等离子体元”分辨不出自己到底属于哪一条磁力线。这可以有两种情况：或者（当碰撞很弱的时候）两条磁力线之间的距离小于带电粒子的回旋半径；或者（当碰撞足够强的时候）一条磁力线上的电子被“碰出” 自己的回旋轨道，被另一条磁力线“捕获”甚至“丢失” 。这时反过来可以说（因为我们只能做粒子运动的测量）磁力线“丢失” 了自己的“身份证明”（identity ），也就是我们无法“辨认”（identify ）磁力线了。人们把这个磁力线“迷失 ”的区域叫做“扩散区”（Diffusion Region）。因此，在这个区域里磁场的拓扑可以发生改变。一旦这种改变发生， “走出”这个“ 扩散区 ”的磁力线就已经不再是原来的磁力线了。它们之间的
