1、第 1 章 集合和命题1.1 集合我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集。集合中的各个对象叫做这个集合的元素。集合常用大写字母表示，集合中的元素用小写字母表示。如果 是集合 的元素，就记作 ，读作“ 属于 ”。aAAaaA如果 不是集合 的元素，就记作 ，读作“ 不属于 ”。数的集合简称数集，常用大写的字母表示：全体自然数组成的集合，即自然数集记作 N，不包括零的自然数组成的集合，记作 N*；全体整数组成的集合即整数集，记作 Z；全体有理数组成的集合即有理数集，记作 Q；全体实数组成的集合即实数集，记作 R。含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。规定空
2、集不含元素，记作 集合的表示方法常用列举法和描述法。将集合中的元素一一列举出来，并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法。在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即 ，这种表示集pxA满 足 性 质|合的方法叫做描述法。1.2 集合之间的关系如果集合 A 中任何一个元素都属于集合 B，那么 A 叫做集合 B 的子集，记作 或（ ） ，读作“A 包含于 B”或“ B 包含 A”。B对于两个 A 和 B，如果 且 ，那么叫做集合 A 与集合 B 相等，记作 AB ，读作“集合 A 等于集合 B”。对于两个集合 A、B，如果 ，并且 B
3、 中至少有一个元素不属于 A，那么集合 A 叫做集合 B 的真子集，记作 或 ，读作“A 真包含于ABB”或 “B 真包含 A”。1.3 集合的运算一般地，由集合 A 和集合 B 的所有公共元素组成的集合叫做 A 与 B 的交集，记作 ，读作“ A 交 B”。集合 A、B 没有公共元素，即交集为空集。B由所有属于集合 A 或者属于集合 B 的元素组成的集合叫做集合 A、B 的并集，记作 ，读作“ A 并 B”。在研究集合与集合之间的关系时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个确定的集合叫做全集，常用符号 U 表示。设 U 为全集，A 是 U 的子集，则由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集
4、合叫做集合 A 在全集 U 中的补集。记作 ,读作“A 补” 。C1.4 命题的形式及等价关系可以判断真假的语句叫做命题。正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。一个数学命题用条件 ，结论 表示就是“如果 ，那么 ”，如果把结论与条件互相交换，就得到一个新命题：“如果 ，那么 ”，我们把这个命题叫做原命题的逆命题。一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件的否定与结论的否定，我们把这样两个命题叫做逆否命题，如果其中一个叫原命题，那么另一个命题就叫做原命题的否命题。如果我们把 、 的否定分别记作 、 ，那么命题“如果 ，那么 ”的否命题就是：“如果 ，那么 ”。如果 A、B 是两个命题， ，
5、 ，那么 A、B 叫做等价命题。原A命题与逆否命题就是等价命题。1.5 充分条件，必要条件一般地，用 、 分别表示两个命题，如果命题 成立，可以推出命题也成立，即 ，那么 叫做 的充分条件。 叫做 的必要条件。1.6 子集与推出关系设 A、B 是非空集合，A ，B ，则具 有 性 质a| 具 有 性 质b|与 等价。第 2 章 不等式2.1 不等式的基本性质ab 的充要条件是 a-b0；a=b 的充要条件是 a-b=0；ab,bc，那么 ac；性质 2：如果 ab，那么 a+cb+c；性质 3：如果 ab,c0,那么 acbc；如果 ab,c0，那么 acbc。2.2 一元二次不等式的解法只含
6、有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次，这样的不等式叫做一元二次不等式。它的一般形式是：或 （ ）02cbxa02cbxaa一般地，设一元二次不等式为或 （ ）22当对应的一元二次方程 的根式判别式 时，0cbxa 042acb先求出方程的两个实数根 （不妨设 ） ，于是不等式21、 21的解集为02cbxa；21|xx或不等式 的解集为02cbxa。21|x设 、 都为实数，并且 ，规定：ba（1）集合 叫做闭区间，表示为 ；x| ba,（2）集合 叫做开区间，表示为 ；| （3）集合 或 叫做半开半闭区间，分别表示为bxa| xa|或 。ba,（4）把实数集 R 表示为 ；把集合 、 、
7、,ax|x|和 分别用区间 、 、 和 表示，与也x| bx| a,b,叫做区间的端点；“ ”读作“正无穷大” ， “ ”读作 “负无穷大” 。当判别式 时，所以不等式 的解集为实数集 R；不等式002cbx的解集为空集。2cbxa当 时， ，所以不等式 的解集为abx212cxa；不等式 的解集为空集。,2,a0cx2.3 其他不等式的解法型如 或 （其中 、 为整式且 的不等式称0)(xf)(xf)(xf0)(x为分式不等式。2.4 基本不等式及其应用基本不等式 1 对任意实数 和 ，有 ，当且仅当 时等abab2ba号成立。基本不等式 2 对任意正数 、 ，有 ，当且仅当 时等号abab
8、2ba成立。把 和 分别叫做正数 、 的算术平均数和几何平均数。ba第 3 章 函数的基本性质3.1 函数的概念在某个变化过程中有两个变量 、 ，如果对于 在某个实数集合 D 内的xyx每一个确定的值，按照某个对应法则 ， 都有唯一确定的实数值与它对应，f那么 就是 的函数，记作 ， 叫做 自变量 ， 叫做因变量，yxDxy),( y的取值范围 D 叫做函数的定义域 ，和 的值相对应的 的值叫做函数值，函x数值的集合叫做函数的值域。当函数的变量之间的对应关系不适合或者难以用解析式刻画时，图或表是有效的表示函数的方法。当一个函数可用分段的解析式表示时，把这个函数叫做分段函数。3.2 函数关系的建
9、立当我们要用数学方法解决实际问题时，首先要把问题中的有关变量及其关系用数学的形式表示出来，通常，这个过程叫做建模 。3.3 函数的运算一般地，已知两个函数 ， ，设)(1Dxfy)(2Dxgy，并且 D 不是空集，那么当 时， 与 都有意21D f(xgy义，于是把函数 叫做函数 与 的和。)()(xgfy)(xy)3.4 函数的基本性质一般地，如果对于函数 的定义域 D 内的任意实数 ，都有)(xfyx，那么就把函数 叫做偶函数。函数定义域 D 关于原点对)(xff称是这个函数为偶函数的必要非充分条件。如果函数 是偶函数，)(Dxfy那么函数 的图像关于 轴成轴对称图形，反过来，如果一个函数
10、的图)(xfyy像关于 轴成轴对称图形，那么这个函数必是偶函数。如果对于函数 的定义域 D 内的任意实数 ，都有 ，)(f x)(xff那么就把函数 叫做 奇函数。如果函数 是奇函数，那么函xy )(Dfy数 的图像关于原点成中 心对称图形，反过来，如果一个函数的图)(xfyAB像关于原点成中心对称图形，那么这个函数必是奇函数。第 4 章 幂函数、指数函数和对数函数（上）4.1 幂函数的性质与图像一般地，函数 （ 为常数， )叫做幂函数。kxyQk幂函数的图像都经过点（1，1）4.2 指数函数的图像与性质一般地，函数 叫做指数函数，其中 是自变量，函数的)1,0(ayx x定义域是 R。指数函数的性质：（1）指数函数 的函数值恒大于零。xay（2）指数函数 的图像经过点（0，1） 。（3）函数 在 内是增函数，函数 在)(yx),( )10(ayx内是减函数。),(
