1、 高考模拟卷 第 1 页 正视图 侧视图 俯视图 2 2 2 1 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 （ 模拟 卷） 数学 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页，选择题部分 1 至 2 页，非选择题部分 3至 4页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。 考生注意： 1答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。 2答题时，请按照答题纸上 “注意事项 ”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。 参考公式： 球的表面积公式 锥体的体积公式 24SR 13V Sh 球的体积公式 其中 S 表示棱锥的
2、底面面积， h 表示棱锥的高 343VR 台体的体积公式 其中 R 表示球的半径 1 ()3a a b bV h S S S S 柱体的体积公式 其中 Sa， Sb 分别表示台体的上、下底面积 V=Sh h 表示台体的高 其中 S 表示棱柱的底面面积， h 表示棱柱的高 选择题部分 （共 40 分） 一、选择题： 本 大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 【 原创 】设 U R， A 02| 2 xxx ， B 1| xx ，则 )( BCA u （ ） A 1x0|x B 2x1|x C 2x0|x D 2x1|x 2 【
3、 原创 】设 iz 11 ， iz 12 （ i 是虚数单位），则2111 zz （ ） A 1 B 1 C i D i 3【改编】 某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 4 【 原创 】 “ a 1”是“函数 |)( xaxf 在区间 1， )内为增函数” 的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 高考模拟卷 第 2 页 5 【 原创 】 已知 m， n 是两条不同直线， ， ， 是三个不同平面，则下列命题正确的是 （ ） A若 /m ， /n ，则 nm/ B若 ， ，则 / C若 /m ， /m
4、，则 / D若 m ， n ，则 nm/ 6 【 原创 】 已知向量 a ， b ， c 满足 | cba 1，且 a b c ，则 （ ） A（ a c ） b B（ a c ） b C a c b c D a c b c 7 【改编】 已知 ,abc成等比数列， ,axb 和 ,byc 都成等差数列，且 0xy ，那么ycxa的值为（ ）。 A 1 B 2 C 3 D 4 8 【改编】 已知函数 ()fx满足： 定义域为 R； xR ，有 ( 2) 2 ( )f x f x ； 当 0,2x 时，( ) 2 | 2 2 |f x x 记 ( ) ( ) | | ( 8 , 8 ) x f
5、x x x 根据以上信息，可以得到函数 ()x 的零点个数为 （ ） A 15 B 10 C 9 D 8 9 【改编】 在如图所示的方阵中有 9 个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 （ ） A 73 B 74 C 141 D 1413 科网 10【改编】 如图，在三棱锥 P-ABC 中， D、 E 分别是 BC、 AB 的中点， PA 平面 ABC， BAC=90， ABAC，AC AD， PC 与 DE 所成的角为 ， PD 与平面 ABC 所成的角为 ，二面角 P BC A 的平面角为 ，则 , 的大小关系是（ ） A B C D 非选择题部分 （共 110 分）
6、二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36分。 11. 【 原创 】 抛物线 2 ( 0)y ax a上的点03,2Py到焦点 F 的距离为 2，则 a _； POF 的面积为 _； 12. 【 原创 】 若不等式组 2 4 0,3 4 0,0,xyax yy表示的平面区域是等腰三角形区域，则实数 a 的值为 若 z=x+y，求 z 的最大值 _ 13.【 原创 】 直线 l 过抛物线 )0(22 ppxy 的焦点，且与抛物线相交于 ),( 11 yxA 和 ),( 22 yxB 两点 ， 则12xx _，若过该抛物线的焦点的最短弦长为 4，则该抛物线的焦
7、点坐标是 _。 a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 高考模拟卷 第 3 页 14 【 原创 】 已知函数 xy cos )2,0,0( 的 部分 图象如 右 图所示，则 的值为 _，该函数与函数 |lg |yx 的交点的个数有_个。 15 【 原创 】 已知两点 (2,2), (2,1)AB， O 为坐标原点，若 255OA tOB，则实数 t 的值为 。 16 【 改编 】 有 3 辆不同的公交车， 3 名司机， 6 名售票员，每辆车配备一名司机， 2 名售票员，则所有的安排方法数有 _种。 17 【 改编 】 对正整数 n ，设曲线 )1( xxy n 在 2x 处的切线
8、与 y 轴交点的纵坐标为 na ，则数列1nan的前 n 项和的公式是 _。 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18 【 改编 】 （本题 14 分） 在 ABC 中 ,内角 ,ABC 对边的边长分别是 ,abc.已知 2, 3cC. （）若 ABC 的面积等于 3 ,求 ,ab； （）若 s in s in ( ) 2 s in 2C B A A ,求 ABC 的面积 . 19 【 改编 】 （本题 14 分）如图，在 Rt AOB 中， 6OAB，斜边4AB Rt AOC 可以通过 Rt AOB 以直线 AO 为轴旋转得到，且二面角 B
9、 AO C是直二面角动点 D 的斜边 AB 上 （ 1）求证：平面 COD 平面 AOB ； （ 2）当 D 为 AB 的中点时，求异面直线 AO 与 CD 所成角的余弦值； （ 3）求 CD 与平面 AOB 所成的角中最大角的正切值 O C A D B 高考模拟卷 第 4 页 20 【 改编 】 （本题 15 分） 已知函数 2 2 2 l nf x x x a x a R （ 1）若 1a ，求函数在 1,1A 处的切线方程； （ 2）若函数 y f x 有两个极值点 12,xx，且 12xx ，证明： 2 5 2ln24fx . 21 【 改编 】 （本题 15 分） 已知椭圆 1C ：
10、 221xyab( 0ab )的离心率为 33，直线 :2L y x 与以原点为圆心、以椭圆 1C 的短半轴长为半径的圆相切 （ 1）求椭圆 1C 的方程； （ 2）设椭圆 1C 的左焦点为 1F ，右焦点为 2F ，直线 1L 过点 1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线 2L 垂直 1L 于点 P，线段 2PF 的垂直平分线交 2L 于点 M，求点 M 的轨迹 2C 的方程； （ 3）若 AC、 BD 为椭圆 1C 的过右焦点 2F 的两条相互垂直的弦，求四边形 ABCD 面积的最小值 22 【 改编 】 （本题 15 分）已知数列 na 满足： 11 21, 1 ( 1)nnnaaa an ，
11、（其中 *nN ） （ 1）证明：1 2( 1)nnn aaa n ； （ 2）证明： 12 131nann 高考模拟卷 第 5 页 参考答案及评分标准 一、选择题： 本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B A D B B D D B 1 D 提示： A=x|01, )( BCA u = 2x1|x 2 A 提示：2111 zz = 121211 11 1 iiii 3 B提示：本题考查的是几何体的三视图所以应选 B 4 A提示： “ a 1”能推出“函数 |)(
12、 xaxf 在区间 1， )内为增函数” ,反之不行 ,所以 应选 A 5 D 6 B提示： | cba 1，且 a b c ， a ,b ,c 的关系如图所示 ,观察可得 B. 7 B提示： 由已知可得 2 12223b acx a by b c .注意到 a c ay cxx y xy，可从已知中整理出： 22 2b b a ca y c x ， 22 4b b a cxy ，代入上式即可得到 .选 B 8 B解析：当 42 x 时， 220 x ，由 Rx ，有 )(2)2( xfxf ；及当 2,0x 时，( ) 2 | 2 2 |f x x ，得 |3|44)2(2)( xxfxf
13、，同理 64 x 时，|5|88)2(2)( xxfxf ，当 86 x 时， |7|1616)2(2)( xxfxf ，当 02 x 时，|1|1)( xxf ，当 24 x 时， |3|2121)( xxf ，当 46 x 时， |5|4141)( xxf ，当 68 x 时， |7|8181)( xxf ，由 |)( xxf 8,8 x ，利用函数图象可知共有 10 个零点。故 选 B 9 D提示：考虑其对立事件，至少有两个数位于同行或同列的对立事件为这三个数位于不同行也不同列，a b c 高考模拟卷 第 6 页 所以其概率为14131 39111213 C CCC故 选 D 10 如图
14、所示： D、 E 分别是 BC、 AB 的中点， DE/AC， PC 与 DE 所成角为，即 PCA， PA平面ABC， PD 与平面 ABC 所成角为，即 PDA，过点 A 作 AQ BC，垂足为 Q，连接PQ， PA平面 ABC，二面角 P BC A的平面角为，即 PQA，则 ACADAQ，在 Rt PAC， Rt PAD， Rt PAQ中： tan PCA tan PDA tan PQA,即 tan tan tan，又，（ 0，2）， 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36分。 11 2 34 【解析】 准线方程为 4ax ， 所以 3 2224
15、a a 。 抛物线方程变为 2 2yx ，焦点为 1,02F，点P 坐标代入方程的 0 3y ，所以 POF 的面积为 1 1 332 2 4 。 12 4, 4 13 212 4pxx， （ 1， 0） 解析 ： 易求得抛物线的焦点 ,02PF. 若 l x 轴，则 l 的方程为 212,24PPx x x显 然. 若 l不垂直于 x轴，可设 ()2Py k x,代入抛物线方程整理得 04)21( 222 pxk ppx，则 4 221 Pxx 综上可知 2214 pxx 。最短弦长为 2p 4，所以 p=2,焦点坐标为（ 1， 0） 说明： 此题是课本题的深化 。 14 47 ， 6 解析
16、 ），图像过（，又 08322,2)8387( T .47,2,00)832c o s ( 且 函数 解析式为 7cos 2 4yx，补全图象并画出函数|lg |yx 的图象，两个函数图象的交点的个数有 6 个 15 56 高考模拟卷 第 7 页 解析： )2,2(OA ， ),2( ttOBt ,5 52)2()22(| 22 ttOBtOA，解得 0)65( 2 t ， 56t 16 540 解析：第一步，将 3 名司机与 6 名售票员平均分成三组，有 222426 CCC 种不同的分法，第二步将这三组平均分给三辆车，有 33A 种不同的分法，由分步计数原理得共有方法数为 33222426
17、 ACCC 540 种。 17 22 1n 解析： )1( xxy n ， nnnn xnnxxxnxy )1()1( 11 ， 112 2)2(2)1(2| nnnx nnny ， nf 2)2( ， 故所求的切线方程为 )2(2)2(2 1 xny nn ，令 0x ，则 nny 2)1( ， nn na 2)1( ， nnna 21 ，则数列1nan的前 n 项和为 2221 )21(2 1 nn三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18 解： （）由余弦定理及已知条件得， 22 4a b ab ， 又因为 ABC 的面积等于 3 ，所以
18、 1 sin 32 ab C ，得 4ab 联立方程组 22 44a b abab ，解得 2a ， 2b 6 分 （）由题意得 s i n ( ) s i n ( ) 4 s i n c o sB A B A A A ， 即 s in c o s 2 s in c o sB A A A ， 当 cos 0A 时， 2A ，6B ， 433a ， 233b ， 当 cos 0A 时，得 sin 2sinBA ，由正弦定理得 2ba ， 来源 :高 &考 %资 (源 #网 KS5U.COM 联立方程组 22 42a b abba ，解得 233a ， 433b 高考模拟卷 第 8 页 所以 AB
19、C 的面积 1 2 3sin23S ab C 12 分 19 解：（ 1） a3， a5 是方程 x2-14x+45=0 的两根，且 数列 an的公差 d 0， a3=5， a5=9，公差 d= 5353aa =2. an=a5+(n-5)d=2n-1. 3 分 又当 n=1 时，有 b1=S1= 112b , b1=13 , 4 分 当 n 2 时，有 bn=Sn-Sn-1=12 (bn-1-bn), 1nnbb=13 (n 2). 数列 bn是首项 b1=13 ，公比 q=13 的等比数列， bn=b1qn-1= 13n. 6 分 （ 2）由（ 1）知 cn=anbn= 213nn, 8
20、分 Tn=113+233+353+ + 213nn, 13 Tn= 213 + 333 + 453 + + 233nn + 1213nn , 9 分 -得 23 Tn=13 +223+323+ + 23n-1213nn=13 +2(213+313+ + 13n)-1213nn, 整理得 Tn= 11 3nn. 12 分 20解： 解法一： （ 1）由题意， CO AO ， BO AO ， BOC 是二面角 B AO C是直二面角， 又 二面角 B AO C是直二面角， CO BO，又 AO BO O ， CO平面 AOB ， 又 CO 平面 COD 平面 COD 平面 AOB 4 分 （ 2）
21、作 DE OB ，垂足为 E ，连结 CE （如图），则 DE AO ， CDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角 在 Rt COE 中， 2CO BO， 1 12OE BO， 22 5CE CO O E O C A D B E 高考模拟卷 第 9 页 又 1 32DE AO 在 Rt CDE 中， 5 1 5ta n33CECD E DE 46cos CDE 异面直线 AO 与 CD 所成角的余弦值为46 9 分 （ 3）由（ I）知， CO 平面 AOB ， CDO 是 CD 与平面 AOB 所成的角，且 2tan OCC D O O D O D 当 OD 最小时， CDO 最大， 这
22、时， OD AB ，垂足为 D ， 3O A O BOD AB， 23tan 3CDO ， CD 与平面 AOB 所成角 中最大角的正切值为 332 14 分 解法二： （ I）同解法一 4 分 （ II）建立空间直角坐标系 O xyz ，如图， 则 (000)O ， ， ， (002 3)A ， ， ， (200)C ， ， ， (01 3)D ， ， ， (0 0 2 3)OA， ， ， ( 2 1 3)CD ， ， ， |,c o s CDOA CDOACDOA =462232 6 异面直线 AO 与 CD 所成角的余弦值为 46 9 分 （ III）同解法一 14 分 20 （ 1）
23、0xy；（ 2）见解析 【解析】 试题分析 ： （ 1） 根据导函数的几何意义求切线的斜率，由点斜式写直线的方程；（ 2）根据导数求极值得 222 2 2 2 2 22 2 2 2 l nf x x x x x x ，构造函数 22 12 2 2 2 l n ( 1 )2g t t t t t t t ，求导，求函数的值域即可证明结论。 试题解析：（ 1）当 1a 时， 2 2 2 lnf x x x x ， 122f x x x ， 11f ，所以在 1,1A处的切线方程为 1 1 1y f x ，化简得 0xy。 6 分 O C A D B x y z 高考模拟卷 第 10 页 （ 2）函
24、数定义域为 0, ， 22222 a x x af x x xx 则 12,xx是方程 22 2 0x x a 的两个根 ， 所 以 121xx ，又 12xx ，所以21 12x。 22222a x x ，所以 222 2 2 2 2 22 2 2 2 l nf x x x x x x 。令 22 12 2 2 2 l n ( 1 )2g t t t t t t t ， 则 2 2 2 4 l n 2 2 2 4 l ng t t t t t t t ，又 1 ,12t 所以 0gt ，则 gt 在 1,12t 内为增函数，所以 1 5 2 ln 224g t g ，所以 2 5 2ln24
25、fx 15 分 21.解： 解：（ 1） 33e， 2e 22ca 222aba 13， 2223ab . 2 分 直线 :2L y x 与圆 2 2 2x y b相切， 2b ， 2 2b ， 2 3a . 椭圆 1C 的方程是 22132xy. 4 分 （ 2） 2| | | |MP MF ， 动点 M 到定直线 1:1Lx 的距离等于它到定点 2(1,0)F 的距离， 动点 M 的轨迹 2C 是以 1L 为准线， 2F 为焦点的抛物线 点 M 的轨迹 2C 的方程为 2 4yx . 8 分 （ 3）当直线 AC 的斜率存在且不为零时，设直线 AC 的斜率为 k， A( 1x ， 1y )
26、， C( 2x ， 2y )， 则直线 AC 的方程为 ( 1)y k x 联立 22132xy及 ( 1)y k x得， 2 2 2 2( 2 3 ) 6 3 6 0k x k x k ， 所以 12xx 22623kk， 212 23623kxx k 10 分 2212| | (1 )( )A C k x x 221 2 1 2(1 )( ) 4 k x x x x 2248(1 )23kk . 由于直线 BD 的斜率为 1k ，用 1k 代换上式中的 k 可得 2248 (1 )| 23kBD k . 因为 AC BD，所以四边形 ABCD 的面积为 1 | | | |2S AC BD 222224(1 )(2 3)(2 3 )kkk， 12 分
