1、用平均值定理求某些问题的最值 教案 教学目标 1掌握平均值定理并能初步应用它求某些函数的最值 2通过利用平均值定理解决一些有关问题，进一步培养学生的观察能力、分析问题解决问题的能力 3培养学生转化的数学思想 4通过理解平均值定理的使用条件，学生进一步认识现实世界中的量不等是普遍的，相等是局部的，对学生进行辩证唯物主义教育 教学重点与难点 重点：用平均值定理求某些函数的最值及解决有关的应用问题 难点：注意定理的使用条件，正确地应用平均值定理 教学过程设计 (一 )引入新课 师：对于某个给出的函数，要问这个函数在指定的区间上有无最值及如何求出是我们经常遇到的数学问题解决这类问题在初等数学的范围内并
2、没有通用的方法，只能解决一些特殊函数的最值问题因此，同学们要随着知识的增加，不断地总结一些常用方法 前面，我们学习了不等式的性质、证明不等式与函数的最值有无联系呢？举个例子 生甲：有联系如 (x 1)2 0 这个不等式就给出了函数 y=(x 1)2在定义域 R 上的最小值 0 0 这个不等式达到了求函数最值的目的 师：这两个同学所举的例子说明不等式既是描述函数最值问题的数学语言，又是求解函数最值的有力工具 其实，不等式刻画的是数量之间的大小关系和变量的变化范围，而函数的最值则是通过数量大小的比较所反映的变量在一定范围内变动时所能达到的界值因此，它们之间有密切联系 让我们来看一个实际问题 (出示
3、投影 ) (投影片 1)引例 用篱笆围一 块面积为 50m2的一边靠墙的矩形篱笆墙，问篱笆墙三边分别长多少米时，所用篱笆最省？此时，篱笆墙长为多少米？ 师：这是一个实际问题，问题的实质是什么？可抽象成怎样的数学问题？ 生：问题的实质是求篱笆墙三边分别长多少米时，其和的最小值 值时相应的 x 值 师；很好！这个函数的最值用我们以前学过的判别式法可以求出吗？ 生：点头示意 师：它是最佳解法吗？ 除了构造不等式 0 求出此函数的最值 以外，同学们能否利用不等式的有关知识构造出其它不等式呢？仔细观察这个函数 此函数的最小值为 20 师：使用平均值不等式变形式有条件限制吗？ 师：此函数何时取得最小值？
4、师：此时，问题解决了吗 ？ 生：应该把个数学问题还原成实际问题篱笆墙三边分别长 5 m，10 m， 5 m 时，所用篱笆最省此时，篱笆墙长 20 m 师：回顾解题过程，求得这个函数最值的关键是什么？ 师：问题的关键抓得很准怎样求得函数取得最小值时相应的 x 值呢？ 在函数的定义域内，函数取得最小值 师：概括得很好，这正是这节课我们要研究的用平均值定理求某些函数的最值 (板书课题 ) (二 )推证定理 师： (板书 )平均值定理： 师：我们把平均值定理改写成求某些函数 (如引例中的函数 )最值的命题 (板书 ) 已知两个正变数的积是一个常数那么当且仅当这两个数相等时，它们的和取最小值 师：类似地
5、，你能否说出求某些函数最大值的命题呢？ 生：已知两个正变数的和是一个常数，那么当且仅当这两个数相等时，它们的积取最大值 (教师板书 ) 师：下面请同学们证明这个命题 生：设这两个正变数为 x 和 y 如果 xy=P(常数 )，那么由两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，得 如果 x y=S(常数 )，那么由两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，得 师：既然已经证明了上述命题为真命题，那么我们把它叫做定理 1类似地，由三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，谁能说出求某些函数最值的定理 2 呢？ 生：定理 2 已知三个正变数的积 (和 )是一个常数，那么当且仅当这三个数相等时，它
6、们的和 (积 )取得小 (大 )值 (投影片 2) 师：利用这两个定理，可以解决许多定积或定和条件下，若干个正变量的和或积的极值问题 但是，必须注意使用定理的条件，要注意哪几个条件？ 生：注意三个条件 (1)这两个或三个变数必须是正变数； (2)当它们的和是定值时，其积取得最大值；当它们的积是定值时，其和取最小值；(3)当且仅当这两个或三个数相等时，取 “ =” 号 师：很好看来从定理中也反映出现实世界中的量不等是普遍的，绝对的，而相等是局部的，相对的，必须同时满足 “ 正数 ” 、 “ 定值 ” 、“ 相等 ” 三个条件，才能求得此类函数的最值 (三 )应用定理 师：求两项和的最小值，可以考
7、虑试用定理 1但是，此函数具备使用定理 1 的条件吗？ 师：能否创造条件？ (学生讨论 ) 数 1，可以用定理 1 求得这个函数的最小值 师：使用定理 1 的条件都具备了吗？ 生丙：还要注意解出的 x=0 是否属于函数的定义域 师：这一点也很重要，不容忽视 (教师板演，学生练习，共同完成解题过程 ) 师：也可以书写成如下格式 (投影片 3) 师：回顾解题过程，同学们根据此函数的特点，通过恰当的恒等变形 分拆 两个正变量的和的最小值问题，使问题得以解决下面请大家再解决一个问题 少？ (投影片 4) 师：这是一个什么问题？ 生：求三个正变量积的最大值 师：这三个正变量的和为定值吗？若不为定值，怎样
8、转化？ (学生讨论 ) 生：虽然 x (5 2x) (5 2x) 常数，但是要保证 5 2x=5 2x，因此 5 2x 不宜再变，要使这三个正变量和为定值，只需考虑 4x (52x) (5 2x)=常数 师：这个想法很好！是必不可少的思维过程这样，原函数的变形方向就非常明确了 师：具备使用定理 2 的条件了吗？ 生：具备了 4x 0， 5 2x 0 且 4x (5 2x) (5 2x)=10，还有当 4x=5 2x 时，求得的 x 值在函数的定义域内 师：回答得很全面我们要学会善于全方位地把握问题，培养自己良好的思维品质 (学生完成解答，教师巡视并用实物投影展示学生甲的解题过程、讲评 ) 师：
9、由例 1、例 2 可以看出，用平均值定理可以解决哪类函数的最值问题？ 生：解决定积或定和条件下的两个或三个正变量的和或积的最值问题 师：多数情况下，题设中具备使用定理的条件并未直接给出，怎样促成使用定理的三个条件，选配好正变量？ 生：通过恒 等变形，如例 1 中使用的拆分变量的方法，例 2 中使用的匹配系数的方法等，促成使用定理的三个条件 师：当然，这些方法都是服务于使用定理的，正确使用定理解决问题是关键下面请同学们观察两个题目的解法是否正确？ (四 )易错解法讨论 (学生讨论 ) 函数的最值 生乙：可以对 x 以 0 为标准分类讨论 师：这是一个解决问题的好办法请你说说怎样解？ 师：很好既然
10、同学们的眼光很敏锐，那么自己解题时可不能只见树木，不见森林，仅套用 “ 积为定值，和有最小值 ” 的结论，造成如此错误 么？ (学生讨论 ) 使用条件 师：为什么利用不等式求函数最值时，必须注意不等式中一端是变量，另一端必须是常量呢？请同学们看投影片 (投影片 7) 师：如果不等式两端都是变量 f(x) g(x)，如图 5 4，可知 f(x) g(x)恒成立，且 “ =” 在 x=a 时能取到，这时能说 f(a)是函数 f(x)的最小值吗？ 师：求解定和、定积条件下的最值问题，最值的取得必须同时满足“ 正数 ” 、 “ 定值 ” 、 “ 相等 ” 三个条件如果仅把注意力集中在选取或设置符合定值条件下的正变量，而对相等条件忽略，那么就会造成这种错误这道题大家怎么解？
