1、清華園 http:/ 知识改变命运 教育成就未来 清華園 http:/ 知识改变命运 教育成就未来 中考数学 阅读型试题 近几年中考试题中，阅读理解型试题题型新颖，形式多样，知识覆盖面较大，它可以是总计课本原文，也可以是设计一个新的数学情境，让学生在阅读的基础上，理解其中的内容、方法、思想，然后把握本质，理解实质的基础上作出回答 例 1、 我国古代数学家秦九韶在算书九章中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积。用现代式子表示即为： )2(41 222222 cbabas （其中 a、 b、 c 为三角形的三边长， s 为面积）。 而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式
2、： )()( cpbpapps （其中 2 cbap ）。 (1)若已知三角形的三边长分别为 5、 7、 8，试分别运用公式和公式，计算该三角形的面积。 (2)你能否由公式推导出公式？请试试。 分析： 这是一道阅读理解题，它要求学生通过阅读理解“三斜求积术”的现在代公式，第（ 1）小题是检验学生的阅读能力及学以致用的能力，第（ 2）题是考查学生是创新能力。 清華園 http:/ 知识改变命运 教育成就未来 清華園 http:/ 知识改变命运 教育成就未来 12 43FEDD DCCC BBBAAA练习 1阅读下面操作过程，回答后面问题：在一次数学实践探究活动中，小强过 A、 C 两点画直线 A
3、C 把平行四 边形 ABCD 分割成两个部分（ a ），小刚过 AB、 AC 的中点画直线 EF，把平行四边形 ABCD 也分割成两个部分（ b ）； （ a ） （ b ） （ c ） （ 1）这两种分割方法中面积之间的关系为： 21 _SS ， 43 _SS ； （ 2）根据这两位同学的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有 条，请在图（ c ）的平行四边形中画出一种； （ 3）由上述实验操作过程，你发现了什么规律？ （ 4）经过平行四边形对称中心的任意直线，都可以把平行四边形分成满足条件的图形； 清華園 http:/ 知识改变命运 教育成就未来 清華園 http:/
4、知识改变命运 教育成就未来 2阅读以下短文，然后解决下列问题： 如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合， 且 三角形 的这边所对的顶点在矩形这边 的对边上，则称这样的矩形为三角形的 “ 友好矩形 ”. 如图8 所示，矩形 ABEF 即为 ABC 的 “ 友好矩形 ”. 显然，当 ABC 是钝角三角形时，其 “ 友好矩形 ” 只有一个 . (1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”； (2) 如 图 8 ，若 ABC 为直角三角形，且 C=90 ，在图 8 中画 出 ABC 的所有 “友好 矩形 ” ，并比较 这些 矩形面积的大小； (3) 若 ABC
5、 是锐角三角形，且 BCACAB，在图 8 中画 出 ABC 的所有 “友好 矩形 ” ，指出 其 中周长最小的矩形并 加 以证明 . 3 阅读下列材料 ，并解决后面的问题 在锐角 ABC 中， A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c过 A 作 AD BC 于 D(如图 )，则 sinB= cAD ， sinC= bAD ，即 AD=csinB， AD=bsinC，于是 csinB=bsinC，即 CcBb sinsin 同理有 AaCc sinsin ， BbAa sinsin 所以 CcBbAa s ins ins in (*) 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 (1
6、)在锐角三角形中，若已知三个元素 a、 b、 A，运用上述结论(*)和有关定理就可以求出其余三个未知元素 c、 B、 C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程： 第一步：由条件 a、 b、 A B； 第二步：由条件 A、 B C； 第三步：由条件 c (2)一货轮在 C 处测得灯塔 A 在货轮的北偏西 30的方向上，随后货轮以 28 4 海 里 时的速度按北偏东 45的方向航行，半小时后到达 B 处，此时又测得灯塔 A 在货轮的北偏西 70的方向上 (如图 )，求此时货轮距灯塔 A 的距离 AB(结果精确到 0 1参考数据：sin40 =0 6 4 3， sin65 =0 90 6， sin70
7、 =0 940， sin7 5 =0 9 6 6) 清華園 http:/ 知识改变命运 教育成就未来 清華園 http:/ 知识改变命运 教育成就未来 4、 “三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角 AOB 置于直角坐标系中，边 OB 在 x 轴上、边 OA 与函数xy 1的图象交于点 P，以 P 为圆心、以 2OP 为半径作弧交图象于点 R分别过点 P 和 R 作 x 轴和 y 轴的平行线，两直线相交于点 M ，连接 OM 得到 MOB，则 MOB=31 AOB要明白帕普斯的方法，请研究以
8、下问题： （ 1）设 )1,( aaP 、 )1,( bbR ，求直 线 OM 对应的函数表达式（用含 ba, 的代数式表示） （ 2）分别过点 P 和 R 作 y 轴和 x 轴的平行线，两直线相交于点 Q请说明 Q 点在直线OM 上，并据此证明 MOB=31 AOB （ 3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明） 清華園 http:/ 知识改变命运 教育成就未来 清華園 http:/ 知识改变命运 教育成就未来 5、已知：如图 8， AB 是 O 的直径， P 是 AB 上的一点（与 A、 B 不 重合）， QP AB，垂足为 P，直线 QA 交 O于 C 点，过 C
9、 点作 O 的切线交直线 QP 于点 D。则 CDQ 是等腰三角形。 对上述命题证明如下： 证明：连结 OC OA OC A 1 CD 切 O 于 C 点 OCD 90 1 2 90 A 2 90 在 RtQPA 中， QPA 90 A Q 90 2 Q DQ DC 即 CDQ 是等腰三角形。 问题：对上述命题，当点 P在 BA 的延长线上时，其他条件不变，如图 9 所示，结论“CDQ 是等腰三角形”还成立吗？若成立，误给予证明；若 不成立，请说明理由。 图 821DCOA BPQ图 9DCABPQ清華園 http:/ 知识改变命运 教育成就未来 清華園 http:/ 知识改变命运 教育成就未
10、来 能力训练 1、阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题： 1+2+3+ +100？经过研究，这个问题的一般性结论是 1+2+3+ + 121 nnn ，其中是正整数。现在我们来研究一个类似的问题： 1 2+2 3+ 1nn ？ 观察下面三个特殊的等式 : 2103213121 ; 3214323132 ; 4325433143 . 将这三个等式的两边相加，可以得到 1 2+2 3+3 4 2054331 . 读完这段材料，请你思考后回答： 1011003221 . 21432321 nnn . 21432321 nnn . （只需写出结果，不必写中间的过程） 清華園 htt
11、p:/ 知识改变命运 教育成就未来 清華園 http:/ 知识改变命运 教育成就未来 2、阅读：我们知道，在数轴上， x 1 表示一个点，而在平面直角坐标系中， x 1 表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程 2x y 1 0 的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数 y 2x 1 的图象，它也是一条直线，如图 . 观察图可以得出：直线 1 与直线 y 2x 1 的交点 P 的坐标（ 1， 3）就是方程组12 1 0xxy 的解，所以这个方程组的解为 13xy 在直角坐标系中， x 1 表示一个平面区域，即直线 x 1 以及它左侧的部分，如图；y 2x 1 也表示一个平面区域，即直线 y 2
12、x 1 以及它下方的 部分，如图。 回答下列问题： (1)在直角坐标系（图）中，用作图象的方法求出方程组 222xyx 的解； (2)用阴影表示 2y 2x 2y0x ，所围成的区域。 P(1,3) O x y 3 7-2 题图 l x=1 y=2x+1 O x y 7 2 题图 l x=1 O x y 7 2 题图 l y=2x+1 清華園 http:/ 知识改变命运 教育成就未来 清華園 http:/ 知识改变命运 教育成就未来 答案： 练习 1（ 1） _ ， _ ； （ 2）无数，图略； 2 (1) 如果一个三角形和一个 平行四边形 满足条件：三角形的一边与 平行四边形 的 一边重合，
13、三角形这边所对的顶点在 平行四边形 这边的对边上，则称这样的 平行四边形 为三角形的 “ 友好 平行四边形 ”. (2) 此时共有 2 个友好矩形，如图的 BCAD、 ABEF. 易知，矩形 BCAD、 ABEF 的面积都等于 ABC 面积的 2 倍， ABC 的“友好矩形”的面积相等 . (3) 此时共有 3 个友好矩形， 如图的 BCDE、 CAFG 及 ABHK，其中的矩形 ABHK 的周长最小 . 证明如下： 易知，这三个矩形的面积相等，令其为 S. 设矩形 BCDE、CAFG 及 ABHK 的周长分别为 L1， L2， L3， ABC 的边长 BC=a， CA=b，AB=c，则 L1
14、= 2Sa+2a， L2= 2Sb+2b， L3=2Sc+2c . L1- L2=( 2Sa+2a)-( 2Sb+2b)=2(a-b) ab Sab， 而 abS， ab， L1- L20，即 L1 L2 . 同理可得， L2 L3 . L3 最小，即矩形 ABHK 的周长最小 . 3解： (1) BbAa sinsin , A+ B+ C=180， a、 A、 C 或 b、 B、 C， AaCc sinsin 或 CcBb sinsin (2)依题意，可求得 ABC=65， A=40 ,BC=14 2,AB 21 3 答：货轮距灯塔 A 的距离约为 21 3 海里 (9 分 ) 清華園 ht
15、tp:/ 知识改变命运 教育成就未来 清華園 http:/ 知识改变命运 教育成就未来 4、解：（ 1）设直线 OM 的函数关系 式为 )1,(),1,(, bbRaaPkxy 则 ),1,( abM abbak 11 直线 OM 的函数关系式为 xaby 1 （ 2） Q 的坐标 )1,( ba 满足 xaby 1 ，点 Q 在直线 OM 上 四边形 PQRM 是矩形， SP=SQ=SR=SM=21 PR SQR= SRQ PR=2OP， PS=OP=21 PR POS= PSO PSQ 是 SQR 的一个外角， PSQ=2 SQR POS=2 SQR QR OB， SOB= SQR POS
16、=2 SOB SOB=31 AOB （ 3）以下方法只要回答一种即可 方法一：利用钝角的 一半是锐角，然后利用上述结论把锐角三等分的方法即可 方法二：也可把钝角减去一个直角得一个锐角，然后利用上述结论把锐角三等分后，再将直角利用等边三角形（或其它方法）将其三等分即可 方法三：先将此钝角的补角（锐角）三等分，再作它的余角 5、答：结论“ CDQ 是等腰三角形”还成立 证明：略 能力训练： 1、 343400(或 10210110031 2131 nnn 32141 nnnn 2. 解：（ 1）如图所示， 在坐标系中分别作出直线 x 2 和直线 y 2x 2， 这两条直线的交点是 P（ 2， 6）。 清華園 http:/ 知识改变命运 教育成就未来 清華園 http:/ 知识改变命运 教育成就未来 则 26xy 是方程组 222xyx 的解。 （ 1） 如阴影所示。 x y O y= 2x+2 x= 2 P l
