1、 第 9 讲 对数与对数函数 项目一 知识概要 1 对数的概念 如果 ab N(a0 且 a 1)，那么数 b 叫作以 a 为底 N 的对数，记作 b logaN，其中 a 叫作对数的底数， N 叫作真数 2 对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果 a0 且 a 1， M0， N0，那么 loga(MN) logaM logaN； logaMN logaM logaN； logaMn nlogaM (n R)； logamMn nmlogaM. (2)对数的性质 alogaN N； logaaN N(a0 且 a 1) (3)对数的重要公式 换底公式： logbN logaNloga
2、b(a， b0， a， b 1， N0)； logab 1logba，推广 logablogbclogcd logad. 3 对数函数的定义 我们把函数 y logax(a0， a 1)叫作对数函数，函数定义域为 (0， ) 4 对数函数的图像与性质 a1 01 时， y0 当 01 时， y0 (6)是 (0， )上的增函数 (7)是 (0， )上的减函数 4 反函数 指数函数 y ax与对数函数 y logax 互为反函数，它们的图像关于直线 y x 对称 项目二 例题精讲 任务 一 对数式的运算 问题 【 例 1】 (1)若 x log43， 则 (2x 2 x)2等于 ( ) A.94
3、 B. 54 C.103 D.43 (2)已知函数 f(x) log2x， x0，3 x 1， x 0， 则 f(f(1) f(log312)的值是 ( ) A 5 B 3 C 1 D.72 分析 (1)利用对数的定义将 x log43 化成 4x 3； (2)利用分段函数的意义先求 f(1)，再求 f(f(1)； f(log312)可利用对数恒等式进行计算 答案 (1)D (2)A 解析 (1)由 x log43，得 4x 3， 即 2x 3， 2 x 33 ， 所以 (2x 2 x)2 (2 33 )2 43. (2)因为 f(1) log21 0， 所以 f(f(1) f(0) 2. 因
4、为 log3125 32 2log49， 又 f(x)是定义在 ( ， )上的偶函数， 且在 ( ， 0上是增函数， 故 f(x)在 0， )上是单调递减的， f(0.2 0.6)bc B abc B bac C acb D cab 分析 (1)利用幂函数 y x0.5 和对数函数 y log0.3x 的单调性，结合中间值比较 a， b， c的大小； (2)化成同底的指数式，只需比较 log23.4、 log43.6、 log30.3 log3 103 的大小即可，可以利用中间值或数形结合进行比较； 解析 (1)根据幂函数 y x0.5的单调性，可得 0.30.5log0.30.3 1，即 c
5、1. 所以 blog3103 log43.6. 方法二 log3103 log33 1，且 103 1， log43.6log3103 log43.6. 由于 y 5x为增函数 ， 5 4.3log2 5 310log3 5 6.3log4 . 即 5 4.3log2 (15) 3.0log3 5 6.3log4 ， 故 acb. 答案 (1)C (2)C 评注 (1)比较幂 、 对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法 (2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数 ， 利用函数单调性进行比较 ， 如果指数相同 ，而底数不同则构造幂函数 ， 若底数相同而指数不同则构造指数函数
6、 ， 若引入中间量 ， 一般选 0 或 1. 任务 四 对数函数的 综合 应用 问题 【 例 4】 已知函数 f(x) loga(3 ax) (1)当 x 0,2时 ， 函数 f(x)恒有意义 ， 求实数 a 的取值范围 ； (2)是否存在这样的实数 a， 使得函数 f(x)在区间 1,2上为减函数 ， 并且最大值为 1？ 如果存在 ， 试求出 a 的值 ； 如果不存在 ， 请说明理由 分析 f(x)恒有意义转化为 “ 恒成立 ” 问题，分离参数 a 来解决；探究 a 是否存在，可从单调性入手 解 析 (1) a0 且 a 1，设 t(x) 3 ax， 则 t(x) 3 ax 为减函数， x
7、0,2时， t(x)最小值为 3 2a， 当 x 0,2时， f(x)恒有意义， 即 x 0,2时， 3 ax0 恒成立 3 2a0. a0 且 a 1， a (0,1) 1， 32 . (2)t(x) 3 ax， a0， 函数 t(x)为减函数， f(x)在区间 1,2上为减函数， y logat 为增函数， a1， x 1,2时， t(x)最小值为 3 2a， f(x)最大值为 f(1) loga(3 a)， 3 2a0loga3 a 1 ，即 a0 对数函数的单调性和 a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按 01 进行分类讨论 2 比较幂、对数大小有两种常用方法： (1)数形
8、结合； (2)找中间量结合函数单调性 3 多个对数函数图像比较底数大小的问题，可通过图像与直线 y 1 交点的横坐标进行判定 4 在运算性质 logaM logaM 中，要特别注意条件，在无 M 0 的条件下应为 logaMloga|M|( N ，且 为偶数 ) 5 指数函数 y ax (a0，且 a 1)与对数函数 y logax(a0，且 a 1)互为反函数，应从概念、图像和性质三个方面理解它们之间的联系与区别 6 解决与对数函数有关的问题时需注意两点： (1)务必先研究函数的定义域； (2)注意对数底数的取值范围 项目四 冲刺必练 A组 专项基础训练 (时间： 40 分钟 ) 一、选择题
9、 1 函数 y 2 xlg x 的定义域是 ( ) A x|00lg x 0， 解得 01lg1 x， xln e， x1. y log52 14 12， 120，log12 x， xf( a)， 则实数 a 的取值范围是 ( ) A ( 1,0) (0,1) B ( ， 1) (1， ) C ( 1,0) (1， ) D ( ， 1) (0,1) 答案 C 解析 f(a)f( a) a0，log2alog12a 或 alog2 a a0，a1 或 a1 或 10，且 a 1， u ax 3 为增函数， 若函数 f(x)为增函数，则 f(x) logau 必为增函数， 因此 a1.又 y ax
10、 3 在 1,3上恒为正， a 30，即 a3，故选 D. 6 如果一个点是一个指数函数和一个对数函数图像的交点 ， 那么称这个点为 “ 好点 ” 下列四个点 P1(1， 1)， P2(1， 2)， P3(12， 12)， P4(2， 2)中 ， “ 好点 ” 的个数为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 答案 B 解析 设指数函数和对数函数分别为 y ax(a 0， a 1)， y logbx(b 0， b 1) 若为 “ 好点 ” ， 则 P1(1， 1)在 y ax的图像上 ， 得 a 1， 与 a 0 且 a 1 矛盾； P2(1， 2)显然不在 ylogbx 的图像上； P3(1
11、2， 12)在 y ax， y logbx 的图像上时 ， a 14， b 14， 故为 “ 好点 ” ；同理易得 P4(2， 2)也为 “ 好点 ” 故选 B. 二、填空题 7 计算 (lg 14 lg 25)100 21 _. 答案 20 解析 (lg 14 lg 25)100 21 (lg 1100)10 1 2 10 20. 8 已知函数 f(x) 3x 1， x 0，log2x， x0， 则使函数 f(x)的图像位于直线 y 1 上方的 x 的取值范围 是 _ 答案 x| 12 解析 当 x 0 时， 3x 11 x 10， 10 时， log2x1 x2， x2. 综上 所述， x
12、 的取值范围为 12. 9 若 log2a1 a21 a 1 时， log2a1 a21 a 0， 1 a21. 1 a0， 1 a21 a， a2 a0， a1， 此时不合题意 综上所述， a 12， 1 . 10 已知 f(x) log2a x1 x为奇函数 ， 则实数 a 的值为 _ 答案 1 解析 因为 f(x)为奇函数 ， 所以 f( x) f(x) 0， 即 log2a x1 x log2a x1 x 0， 所以 a x1 xa x1 x 1， 所以 a2 x2 1 x2， 得 a2 1， 所以 a 1(舍去 a 1) 三、解答题 11 已知函数 f(x) loga(x 1) lo
13、ga(1 x)， a0 且 a 1. (1)求 f(x)的定义域 ； (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明 ； (3)当 a1 时 ， 求使 f(x)0 的 x 的解集 解 (1)要使函数 f(x)有意义 则 x 10，1 x0， 解得 11 时， f(x)在定义域 x| 10 x 11 x1，解得 00 的 x 的解集是 x|00， 且 a 1)的最大值是 1， 最小值是 18，求 a 的值 解 由题意知 f(x) 12(logax 1)(logax 2) 12(log2ax 3logax 2) 12(logax 32)2 18. 当 f(x)取最小值 18时， logax 32. 又 x
14、 2,8， a (0,1) f(x)是关于 logax 的二次函数， 函数 f(x)的最大值必在 x 2 或 x 8时取得 若 12(loga2 32)2 18 1，则 a 2 31 ， 此时 f(x)取得最小值时， x (2 13) 23 22,8，舍去 若 12(loga8 32)2 18 1，则 a 12， 此时 f(x)取得最小值时， x (12) 23 2 2 2,8，符合题意， a 12. B组 专项能力提升 (时间： 20 分钟 ) 1 设 f(x) lg 21 x a 是奇函数 ， 则使 f(x)|13 1|12 1|， f(12)0， 且 a 1)， 若 f(x1x2 x2 015) 8， 则 f(x21) f(x22) f(x22 015)_. 答案 16 解析 f(x1x2 x2 015) loga(x1x2 x2 015) 8， f(x21) f(x22) f(x22 015) logax21 logax22 logax22 015 loga(x1x2 x2 015)2 2loga(x1x2 x2 015) 16. 4 已知函数 y log21(x2 ax a)在区间 ( ， 2)上是增函数 ， 则 a 的取值范围 为 _.
