1、1上海市普陀区 2011 届上学期高三年级期末调研考试数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分 56 分）1. 设平面向量 ， ，则 .2. 已知函数 , ,若 的反函数 的图像经过点，则 . 3. 已知集合 ， ，则 . 4. 若数列 对任意的 都有 ，且 ，则 = . 5. 若直线 的一个法向量为 ，则直线 的倾斜角为 . 6. 已知 ，其中 是第四象限角，则 . 7. 已知一个球的半径为 ，一个平面截该球所得小圆的半径为 ，该小圆圆心到球心的距离为 ，则 关于 的函数解析式为 .8. 抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆 的一个焦点，则此抛物线的焦点到其准线的距离为 . 9. 若函数 ，则
2、. 10. 某种电子产品的采购商指导价为每台 200 元，若一次采购数量达到一定量，还可享受折扣. 右图为某位采购商根据折扣情况设计的算法程序框图，则该程序运行时，在输入一个正整数 之后，输出的变量 表示的实际意义是 ；若一次采购 85 台该电子产品，则元. 11. 方程为 的曲线上任意两点之间距离的最大值为 . 12. 高一数学课本中，两角和的正弦公式是在确定了两角差的余弦公式后推导的. 即. （填入推导的步骤）13. 已知函数 在区间 上存在零点，则实数 的取值范围是 .14. 在正方体的顶点中任意选择 4 个顶点，对于由这 4 个顶点构成的四面体的以下判断中，所有正确的结论是 （写出所有
3、正确结论的编号） 2 能构成每个面都是等边三角形的四面体； 能构成每个面都是直角三角形的四面体； 能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体； 能构成三个面为不都全等的直角三角形，一个面为等边三角形的四面体.二、选择题（本大题满分 20 分）15. “ ”是“ ”的 （ ）A. 充分非必要条件； B. 必要非充分条件； C. 充要条件； D. 既非充分又非必要条件.16. 设 为非零实数，则关于函数 ， 的以下性质中，错误的是（ ）A. 函数 一定是个偶函数； B. 函数 一定没有最大值；C. 区间 一定是 的单调递增区间； D. 函数 不可能有三个零点.17. 双曲线 上
4、到定点 的距离是 6 的点的个数是 （ ）A. 0 个； B. 2 个； C. 3 个； D. 4 个.18. 若对于任意角 ，都有 ，则下列不等式中恒成立的是（ ）A. ； B. ； C. ； D. .三、解答题（本大题满分 74 分）19. （本题满分 10 分）已知数列 （ ， ），试判定：依据 、 的不同取值，集合 含有三个元素，并用列举法表示集合 .20. （本题满分 14 分，其中第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分）为了贯彻节能减排的理念，国家制定了家电能耗的节能标准.以某品牌的节能型冰箱为例，该节能型冰箱使用一天（24 小时）耗电仅 度，比普通冰箱约节省电能 ，达到国家一
5、级标准.经测算，每消耗 100 度电相当于向大气层排放 千克二氧化碳，而一棵大树在 60 年的生命周期内共可以吸收 1 吨二氧化碳.（1）一台节能型冰箱在一个月（按 天不间断使用计算）中比普通冰箱相当于少向大气层排放多少千克的二氧化碳（精确到 千克）？3（2）某小城市数千户居民现使用的都是普通冰箱. 在“家电下乡”补贴政策支持下，若每月月初都有 150 户居民“以旧换新”换购节能型冰箱，那么至少多少个月后（每月按 30 天不间断使用计算），该市所有新增的节能型冰箱少排放的二氧化碳的量可超过 150 棵大树在 60 年生命周期内共吸收的二氧化碳的量？21. （本题满分 14 分，其中第 1 小题
6、 7 分，第 2 小题 7 分）已知 的三个内角 A、 B、 C 的对边分别为 、 、 . （1）若当 时， 取到最大值，求 的值；（2）设 的对边长 ，当 取到最大值时，求 面积的最大值.22.（本题满分 16 分，其中第 1 小题 9 分，第 2 小题 7 分）如图，已知正三棱柱 ABC-A1B1C1的底面边长为 1，高为 （ ），动点 在侧棱上移动.设 与侧面 所成的角为 .（1）当 时，求点 到平面 的距离的取值范围；（2）当 时，求向量 与 夹角的大小.23. （本题满分 20 分，其中第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 10 分.）平面直角坐标系 中，已知 ，
7、 是直线上的 个点（ ， 、 均为非零常数）.4（1）若数列 成等差数列，求证：数列 也成等差数列；（2）若点 是直线 上一点，且 ，求 的值；（3）若点 满足 ，我们称 是向量 ， 的线性组合, 是该线性组合的系数数列.当 是向量 ， ， 的线性组合时，请参考以下线索： 系数数列 需满足怎样的条件，点 会落在直线 上？ 若点 落在直线 上，系数数列 会满足怎样的结论？ 能否根据你给出的系数数列 满足的条件，确定在直线 上的点 的个数或坐标？试提出一个相关命题（或猜想）并开展研究，写出你的研究过程.【本小题将根据你提出的命题（或猜想）的完备程度和研究过程中体现的思维层次，给予不同的评分】5高三
8、调研数学试卷参考答案及评分标准一、填空题（每小题 4 分，满分 56 分）：1. ； 2. 4； 3. ； 4. （文，理）40； 5. ； 6. （或 ）； 7. ， ； 8. 4； 9.理： ；文： ； 10.表示一次采购共需花费的金额; ；11. ； 12. ；13. 理： ；文：2； 14. 理：；文：.二、选择题（每题 4 分，满分 16 分）： 题号 15 16 17 18答案 B C B D三、解答题： 19.（本题满分 10 分）（理科）解：由结论：“当 时， ”且根据本题条件 ，故本题需根据变量 和常数 1 的大小比较进行分类讨论：（1）当 时， ；（2）当 时， ；（3）当
9、 或 时，有 .故集合 含有以上三个元素，用列举法表示集合 .36910（文科）解：如图，延长 DA 至 E，CB 至 F，使得 DA=AE，CB=BF. 联结 AF，PF，EF，DF. 因为ABCD 是正方形，所以 AD/BF，且 AD=BF，所以AF/BD. 故 （或其补角）的大小即为异面直线 与 所成角的大小.又正方形边长为 2，PD=1，故 ， .36所以， .于是， ，所以异面直线 与 所成角的大小为 .791020.（本题满分 14 分，其中第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分）解:（1）由于节能型冰箱比普通冰箱约节省电能 ，故一台节能型冰箱一天（小时）消耗的 度电相当于比普
10、通冰箱少消耗的电能，即一台节能型冰箱在一个月中比普通冰箱要少消耗电： （度）；设一台节能型冰箱在一个月中比普通冰箱要少排放 千克的二氧化碳，则（千克）.故一台节能型冰箱在一个月中比普通冰箱少向大气层排放约 千克的二氧化碳.（2）设 个月后( )，这些节能型冰箱少排放的二氧化碳可超过 150 棵大树在 年生命周期内所吸收的二氧化碳的量.依题意，有，因为 ，故可解得 .所以，至少经过 10 个月后，这些节能型冰箱少排放的二氧化碳可超过 150 棵大树在 年生命周期内共吸收的二氧化碳的量.36101421. （本题满分 14 分，其中第 1 小题 7 分，第 2 小题 7 分）解：（1）因为故当 时
11、，原式取到最大值，即三角形的内角 时，最大值为.（2）由（1）结论可得 ，此时.又 ，因此 ，当且仅当 时等号成立.所以 .故 面积的最大为 .25791214722.（本题满分 16 分，理科：第 1 小题 9 分，第2 小题 7 分；文科：第 1 小题 3 分，第 2 小题 6分，第 3 小题 7 分）（理科）解：（1）设 BC 的中点为 D，连结AD、DM，则有于是，可知 即为 AM 与侧面 BCC1所成角 .因为，点 到平面 的距离为 ，不妨设 ， .在 Rt ADM 中， .由 , ,故 .而当 时， ，即，所以，点 到平面 的距离 的取值范围是 .（2）解法一：当 时，由（1）可知
12、 ,故可得 , .设向量 与 的夹角为 ，因为.3691113158所以 ，916101316故向量 与 夹角的大小为 .解法二：如图，以 中点 O 为原点， 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴， 所在直线为 轴（其中点 为 中点），建立空间直角坐标系.由（1）可知，当 时， .所以有， ， ，, ，即 ， .设向量 与 夹角为 ，则故向量 与 夹角的大小为 .解法三：如图，过点 作 / ，交 于.联结 .因为是正三棱柱，故可得 .当 时，由（1）可知 ,故可得 .在等腰三角形 中，不难求得，即异面直线 与 所成角为 ，而图中不难发现， 与 夹角的大小为异面直线 与 所成角的补角，即 与 夹
13、角的大小为 .11141610369121416（文科）解:（1） 为偶函数， 对 恒成立，即 对 恒成立，又 ，于是得 对 恒成立， .（2） 由（1）得 可知，当 时，单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；当 时，单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 和 .（3）解法一：由偶函数的性质得：函数 在区间 上也必定有零点，即方程 在区间 上有实数解，则 ，设 ，可知函数 在区间 上单调递增，则 ， .解法二：若函数 在区间 上存在零点，则必有即 .131623. （本题满分 20 分，其中第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 10 分）解：（1）证：设等差数列 的公差为 ,因为 ，所以 为定值，即数列 也成等差数列.（2）证：因为点 、 和 都是直线 上一点，故有 ( )于是，469
