1、1绝密启用前 揭阳市 20102011 学年度高中毕业班期末质量测试数学试题(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分考试用时l20分钟参考公式：球的体积公式 ,其中 表示球的半径34VR一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的1已知集合 ， ，则 0Ax,12BA B C DBAABUABI2已知复数 z 满足 ，则 z 为(3)izA B. C. D. 2i 4i 32i 34i3已知幂函数 的图象过点 ，则 的值为()yfx1(,)2log()fA. B. C.2 D.2124直线 经过椭圆 的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的
2、离心0xy21(0)xyab率为A. B. C. D. 2525235已知 则 .11tan,t()43tanA. B. C. D. 7713136定积分 的值为3209xdA. B. C. D.394927若 （ ）且 ，则展开式的各项中系数201(1)n nxaxax N12a的最大值为2OCBDA乙乙N乙S=S+ 1k(k+1)S=0,k乙1k=k+1kN乙乙乙S乙乙乙乙乙3020A.15 B.20 C. 56 D. 708从一个正方体的 8 个顶点中任取 3 个，则以这 3 个点为顶点构成直角三角形的概率为A. B. C. D.23475767二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答
3、6 小题，每小题 5 分，满分 30 分（一）必做题（913 题）9命题 P：“ ”的否定 为： 、 的真假为 .2,1xRxPP10某路口的机动车隔离墩的三视图如下图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸（单位：cm）可求得隔离墩的体积为 . 第 10 题图 第 11 题图 11如果执行上面的框图，输入 ，则输出的数 S= . 5N12不论 k 为何实数，直线 恒过的定点坐标为 、若该直线与圆:1lykx恒有交点，则实数 a 的取值范围是 0422axyx13已知 ， ，根据以上等式，可猜想1cos,sco,35231csocs778出的一般结论是 （二）选做题（1
4、4、15 题，考生只能从中选做一题）14(坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C 的参数方程为 （ 为参数）,则过曲线 C23,1.xtyt上横坐标为 1 的点的切线方程为 . 15(几何证明选讲选做题) 已知圆 O的半径为 3，从圆 O外一点引切线 AD和割线 BC，圆心 到 A的距离为 2， 3B，则切线 的长为 _ _三解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16 （本题满分 12 分）324131452185,190)180,185)175,180)170,175)165,170)160,165)乙乙乙乙乙cm乙乙乙乙cm乙乙乙150,155) 1
5、65,170) 170,175) 175,180)155,160) 160,165)1 7 12 6 3 1乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙0185180175170165160 1900.030.020.01乙乙乙乙乙乙/cm0.060.070.050.04已知函数 , .()3sincosfxxxR(1)求函数 的最大值和最小值；(2)设函数 在 上的图象与 轴的交点从左到右分别为 M、N ，图象的最高点为 P, 求()fx1,x与 的夹角的余弦.PMN17 （本题满分 14 分）为了解高中一年级学生身高情况，某校按 10%的比例对全校 700 名高中一年级学生按性别进行抽样检查，测得身高频数分布表
6、如下表 1、表 2.表 1:男生身高频数分布表表 2：:女生身高频数分布表（1）求该校男生的人数并完成下面频率分布直方图；（2）估计该校学生身高（单位：cm）在 的概率；6,)（3）在男生样本中，从身高（单位：cm）在 的男生中任选 3 人，设 表示所选 3 人中1809身高（单位：cm）在 的人数，求 的分布列和数学期望.180,5)18. （本题满分 12 分）4乙DCBAF E乙DCBA已知椭圆 ： 的长轴长是短轴长的 倍， ， 是它的左，右焦C21(0)xyab31F2点（1）若 ，且 ， ，求 、 的坐标；P12Fur12|4PF12（2）在（1）的条件下，过动点 作以 为圆心、以
7、1 为半径的圆的切线 （ 是切点） ，QQM且使 ，求动点 的轨迹方程QM19 （本题满分 14 分）如图甲，在平面四边形 ABCD 中，已知 45,90,AC, ,现将四边形 ABCD 沿 BD 折起，105ADCB使平面 ABD 平面 BDC（如图乙） ，设点 E、F 分别为棱AC、AD 的中点.（1）求证：DC 平面 ABC；（2）求 BF 与平面 ABC 所成角的正弦；（3）求二面角 BEFA 的余弦 .20 （本题满分 14 分）在数列 中，已知 ， na111232nna， ()N（1）求数列 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 .nnS21 （本题满分 14 分）设函数 .2(
8、)()xfxabeR（1）若 ，求函数 的极值；,1af（2）若 ，试确定 的单调性；3b（3）记 ，且 在 上的最大值为 M，证明： |()|xfge()g1,215揭阳市 20102011 学年度年高中毕业班期末质量测试数学试题(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考
9、生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数一选择题：BDAA CCBD6解析：2 ，选 D.3(-)3124+iizi3由幂函数 的图象过点 得 ,故选 A.()yfx(,)121()2nn4直线 与坐标轴的交点为（2，0） ， （0，1） ，依题意得，选 A.52,1cbae5 ，选 C.tnt()1tan()431t26由定积分的几何意义知 是由曲线 ，直线 围成的封闭图形3209xd9yx0,3x的面积，故 ，选 C.3209xd47由 得 ，故各项中系数的最大值为 ,选 B.12a12nC6n3620C8.解法 1：从正方体的 8 个顶点中任取 3 个有 种取法，可构成的三角形有
10、56 种可能，正385C方体有 6 个表面和 6 个对角面，它们都是矩形（包括正方形） ，每一个矩形中的任意 3 个顶点可构成 4 个直角三角形，共有 个直角三角形，故所求的概率： ,选 D.12448657P解法 2：从正方体的 8 个顶点中任取 3 个有 种取法，可构成的三角形有 56 种可能，所有3856可能的三角形分为直角三角形和正三角形两类，其中正三角形有 8 种可能（每一个顶点对应一个），故所求的概率： ,选 D.567P二填空题：9. 、真；10. ；11. ；12. （0，1） 、2:,1xRx310cm45；13. ， 14. ；15. 31acoscos2nn N97xy5
11、.解析：10该几何体为圆柱上面叠一半球，其体积 2331010Vcm11根据框图所体现的算法可知此算法为求和：7A2yXOPNM.1102345S1114234512题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，等价于点（0，1）到圆 的42)(2ayx圆心的距离不超过半径，解得 .1a14曲线 C 普通方程为 ，则切点坐标为 ，由 得切线斜率29yx1(,)94y，故所求的切线方程为 .14|9xky 470y15依题意， 223B=2， AC5，由 2D.ABC=15，得 D= 15三解题题：16解：（1） =()3sincosfxx312(sincos)2x= -4 分2i)6 ，xR1sn(
12、1x函数 的最大值和最小值分别为 2，-2.-6 分()f（2）解法 1：令 得 ,2si()06x,6xkZ 或 -8 分,x15x15(0)(MN由 ，且 得 -9 分sin()6,3,2P 从而1,2(2)PMPN .-12 分cos,|157解法 2：过点 P 作 轴于 ,则 由三角函数的性质知 ,-8 分Ax|2,A1|2MNT,-9 分21|()MN由余弦定理得 = .-12 分222|cos,PMN 1754解法 3：过点 P 作 轴于 ,则 由三角函数的性质知 ,-8 分Ax|,A|12MNT8Mo F2F1Q(x,y)yx乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙0185180175170165
13、160 1900.030.020.01乙乙乙乙乙乙/cm0.060.070.050.04-9 分217|()PMN在 中， -11 分RtA|2417cosPAMPA 平分 PN2scoscos1MPA.-12 分24175()17.解（1）样本中男生人数为 40 ，由分层抽样比例为 10%可得全校男生人数为 400.-2 分频率分布直方图如右图示：-6 分（2）由表 1、表 2 知，样本中身高在 的学生人数为：165,80)5+14+13+6+3+1=42，样本容量为 70 ，所以样本中学生身高在 的频率 -8 分65,80)4237f故由 估计该校学生身高在 的概率 .-9 分f165,8
14、0)5p（3）依题意知 的可能取值为：1,2,3 , ,1436()5CP21436()5CP-12 分436() 的分布列为： -13 分的数学期望 .-14 分1312255E18解：（1）依题意知 -1 分 ab ， -2 分02PF12PF2222148PFc(ab)又 ，由椭圆定义可知 ， -4Ca12分由得 、 -6 分26a,b2c10， 2，（2）由已知 ，即1QFM2QF9EFZyX DCBA 是 的切线 -8 分QM2FA22|1QMF -9 分11设 ，则(,)xy22yxy即 （或 ）-11 分2634210综上所述，所求动点 的轨迹方程为： -12 分Q2634xy1
15、9 （1）证明：在图甲中 且 ,ABD55ADB90C即 -2 分ABD在图乙中，平面 ABD 平面 BDC ， 且平面 ABD 平面 BDCBDAB底面 BDC，ABCD.-4 分又 ，DCBC,且90CABCDC 平面 ABC. -5 分（2）解法 1：E、F 分别为 AC、AD 的中点EF/CD，又由（ 1）知，DC 平面 ABC，EF平面 ABC，垂足为点 EFBE 是 BF 与平面 ABC 所成的角-7 分在图甲中， , ,05ADC60BDC30设 则 , , -9 分a23Ba2Fa12EFCDa在 RtFEB 中，1sin4EB即 BF 与平面 ABC 所成角的正弦值为 .-1
16、0 分2解法 2：如图，以 B 为坐标原点， BD 所在的直线为 x 轴建立空间直角坐标系如下图示，设 ，则 ， -6 分CDa,Aa3BC2ADa可得 , ,(0,)(20)(2)， ，3,2a,Fa , -8 分13(,0)CD(,)Ba10设 BF 与平面 ABC 所成的角为 由（1）知 DC 平面 ABC21cos()24|aCDBF -10 分sin4（3）由（2）知 FE平面 ABC，又BE 平面 ABC，AE 平面 ABC，FEBE，FE AE，AEB 为二面角 BEFA 的平面角-12 分在AEB 中， 2172ECBa cos 7A即所求二面角 BEFA 的余弦为 .-14 分1（其他解法请参照给分）20.解：（1）解法 1：由 1132()nnaN可得 ，-3 分12nn数列 是首项为 ，公差为 1 等差数列，3na103a ， -6 分2n数列 的通项公式为 -7 分na(1)32nna解法 2：由 1132N可得 -2 分1nna令 ，则 -3 分3nb12()3nn当 时2-5 分12321nnb 21()()()33n
