1、1物理学 11 章习题解答11-1 如果导线中的电流强度为 8.2 a，问在 15 s 内有多少电子通过导线的横截面？解 设在 t 秒内通过导线横截面的电子数为 n，则电流可以表示为,所以.11-2 在玻璃管内充有适量的某种气体，并在其两端封有两个电极，构成一个气体放电管。当两极之间所施加的电势差足够高时，管中的气体分子就被电离，电子和负离子向正极运动，正离子向负极运动，形成电流。在一个氢气放电管中，如果在 3 s 内有 2.81018 个电子和 1.01018 个质子通过放电管的横截面，求管中电流的流向和这段时间内电流的平均值。解 放电管中的电流是由电子和质子共同提供的，所以.电流的流向与质
2、子运动的方向相同。11-3 两段横截面不同的同种导体串联在一起，如图 11-7 所示，两端施加的电势差为 u。问：(1)通过两导体的电流是否相同？(2)两导体内的电流密度是否相同？(3)两导体内的电场强度是否相同？(4)如果两导体的长度相同，两导体的电阻之比等于什么？(5)如果两导体横截面积之比为 1: 9，求以上四个问题中各量的比例关系，以及两导体有相同电阻时的长度之比。解 (1)通过两导体的电流相同， 。(2)两导体的电流密度不相同，因为,又因为,所以.这表示截面积较小的导体电流密度较大。(3)根据电导率的定义图 11-72,在两种导体内的电场强度之比为.上面已经得到 ，故有.这表示截面积
3、较小的导体中电场强度较大。(4)根据公式,可以得到,这表示，两导体的电阻与它们的横截面积成反比。(5)已知 ，容易得到其他各量的比例关系,.若 ，则两导体的长度之比为.11-4 两个同心金属球壳的半径分别为 a 和 b(a)，其间充满电导率为 的材料。已知 是随电场而变化的，且可以表示为 = ke，其中 k 为常量。现在两球壳之间维持电压 u，求两球壳间的电流。解 在两球壳之间作一半径为 r 的同心球面，若通过该球面的电流为 i，则.又因为,所以.3于是两球壳之间的电势差为.从上式解出电流 i，得.11-5 一个电阻接在电势差为 180 v 电路的两点之间，发出的热功率为 250w。 现 将这
4、 个 电 阻 接 在 电 势 差 为 300 v 的 电 路 上 ， 问 其 热 功 率 为 多 大？解 根据焦耳定律，热功率可以表示为,该电阻可以求得，为.当将该电阻接在电压为 u2= 300 v 的电路上时其热功率为.11-7 当对某个蓄电池充电时，充电电流为 2.0 a，测得蓄电池两极间的电势差为6.6 v；当该蓄电池放电时，放电电流为 3.0 a，测得蓄电池两极间的电势差为 5.1 v。求该蓄电池的电动势和内阻。解 设蓄电池的电动势 、为内阻为 r。充电时，电流为 i1 = 2.0 a，两端的电压为 u1 = 6.6 v，所以. (1)放电时，电流为 i2= 3.0 a，两端的电压为
5、u2= 5.1 v，所以. (2)以上两式联立，解得,.11-8 将阻值为 3.6 的电阻与电动势为 2.0 v 的电源相联接，电路中的电流为 0.51 a，求电源的内阻。解 在这种情况下，电路的电流可以表示为.4由此解得电源的内阻为.11-9 沿边长为 a 的等边三角形导线流过电流为 I，求：(1)等边三角形中心的磁感应强度；(2)以此三角形为底的正四面体顶角的磁感应强度。解 (1)由载流导线 ab 在三角形中心 o(见图 11-8)产生的磁感应强度 b1 的大小为,式中,.于是.由三条边共同在点 o 产生的磁感应强度的大小为,方向垂直于纸面向里。(2)图 11-9 (a)表示该四面体，点
6、p 就是四面体的顶点。载流导线 ab 在点 p 产生的磁感应强度的大小为,式中 b 是点 p 到 ab 的距离，显然.1 = pad = 60 ， 2= pbd = 120，于是,b*处于平面 pcd 之内、并与 pd 相垂直，如图 11-9 (b)所示。由图 11-9 (b)还可以看到，b *与竖直轴线 op 的夹角为 ，所以载流导线 ab 在点 p 产生的磁感应强度沿该竖直轴的分量为图 11-8图 11-95.由于对称性，载流导线 bc 和 ca 在点 p 产生的磁感应强度沿竖直轴的分量，与上式相同。同样由于对称性，三段载流导线在点 p 产生的磁感应强度垂直于竖直轴的分量彼此抵消。所以点
7、p 的实际磁感应强度的大小为,方向沿竖直轴 po 向下。11-10 两个半径相同、电流强度相同的圆电流，圆心重合，圆面正交，如图 11-10所示。如果半径为 r，电流为 i，求圆心处的磁感应强度 b。解 两个正交的圆电流，一个处于 xy 平面内，产生的磁感应强度 b1，沿 z 轴正方向，另一个处于 xz 平面内，产生的磁感应强度 b2，沿 y 轴正方向。这两个磁感应强度的大小相等，均为.圆心 o 处的磁感应强度 b 等于以上两者的合成，b 的大小为,方向处于 yz 平面内并与轴 y 的夹角为 45。11-11 两长直导线互相平行并相距 d，它们分别通以同方向的电流 i1 和 i2。a 点到两导
8、线的距离分别为 r1 和 r2，如图 11-11 所示。如果 d = 10.0 cm , i1 = 12 a，i 2= 10 a，r 1 = 6.0 cm，r 2= 8.0 cm，求 a 点的磁感应强度。解 由电流 i1 和 i2 在点 a 产生的磁感应强度的大小分别为和,它们的方向表示在图 11-11 中。r1 和 r2 之间的夹角 ，在图中画作任意角，而实际上这是一个直角，原因是,图 11-10图 11-116所以 b1 与 b2 必定互相垂直。它们合成的磁感应强度 b 的大小为.设 b1 与 b2 的夹角为 ，则,.11-14 一长直圆柱状导体，半径为 r，其中通有电流 i，并且在其横截
9、面上电流密度均匀分布。求导体内、外磁感应强度的分布。解 电流的分布具有轴对称性，可以运用安培环路定理求解。以轴线上一点为圆心、在垂直于轴线的平面内作半径为 r 的圆形环路，如图 11-12 所示，在该环路上运用安培环路定理：在圆柱体内部,由上式解得(当 时). 在圆柱体外部,由上式解得(当 时) .11-15 一长直空心圆柱状导体，电流沿圆周方向流动，并且电流密度各处均匀。若导体的内、外半径分别为 r1 和 r2，单位长度上的电流为 i，求空心处、导体内部和导体以外磁感应强度的分布。解 电流的这种分布方式，满足运用安培环路定理求解所要求的对称性。必须使所取环路的平面与电流相垂直，图 11-13
10、 中画的三个环路就是这样选取的。在管外空间：取环路 1，并运用安培环路定理，得,.图 11-12图 11-137在管内空间：取环路 2，并运用安培环路定理，得,即,.b2 的方向可用右手定则确定，在图 11-13 中用箭头表示了 b2 方向。在导体内部，取环路 3，ab 边处于导体内部，并与轴线相距 r。在环路 3 上运用安培环路定理，得,整理后，得,于是可以解得,方向向左与轴线平行。12-16 有一长为 l = 2.6102m 的直导线，通有 i = 15 a 的电流，此直导线被放置在磁感应强度大小为 b = 2.0 t的匀强磁场中，与磁场方向成 = 30角。求导线所受的磁场力。解 导线和磁
11、场方向的相对状况如图 12-15 所示。根据安培定律,导线所受磁场力的大小为,力的方向垂直于纸面向里。11-17 有一长度为 1.20 m 的金属棒，质量为 0.100 kg，用两根细线缚其两端并悬挂于磁感应强度大小为 1.00 t 的匀强磁场中，磁场的方向与棒垂直，如图 11-16 所示。若金属棒通以电流时正好抵消了细线原先所受的张力，求电流的大小和流向。图 12-158解 设金属棒所通电流为 i。根据题意，载流金属棒在磁场中所受安培力与其重力相平衡，即,所以.电流的流向为自右向左。11-18 在同一平面内有一长直导线和一矩形单匝线圈，矩形线圈的长边与长直导线平行，如图 11-17 所示。若
12、直导线中的电流为 i1 = 20 a，矩形线圈中的电流为 i2= 10 a，求矩形线圈所受的磁场力。解 根据题意，矩形线圈的短边 bc 和 da(见图 11-18)所受磁场力的大小相等、方向相反，互相抵消。所以矩形线圈所受磁场力就是其长边 ab 和 cd 所受磁场力的合力。ab 边所受磁场力的大小为,方向向左。cd 边所受磁场力的大小为,方向向右。矩形线圈所受磁场力的合力的大小为,方向沿水平向左，与图 11-18 中 f1 的方向相同。11-19 在半径为 r 的圆形单匝线圈中通以电流 i1 ，另在一无限长直导线中通以电流 i2，此无限长直导线通过圆线圈的中心并与圆线圈处于同一平面内，如图 1
13、1-19 所示。求圆线圈所受的磁场力。解 建立如图所示的坐标系。根据对称性，整个圆线圈所受磁场力的 y 分量为零，只考虑其 x 分量就够了。在圆线圈上取电流元 i1 dl，它所处位置的方位与 x 轴的夹角为 ，如图所示。电流元离开 y 轴的距离为 x，长直电流在此处产生的磁场为.电流元所受的磁场力的大小为.这个力的方向沿径向并指向圆心(坐标原点)。将 、 代入上式，得图 11-16图11-18图 11-17图 11-199.其 x 分量为,整个圆线圈所受磁场力的大小为,负号表示 fx 沿 x 轴的负方向。11-20 有一 10 匝的矩形线圈，长为 0.20 m，宽为 0.15 m，放置在磁感应
14、强度大小为 1.5103 t 的匀强磁场中。若线圈中每匝的电流为 10 a，求它所受的最大力矩。解 该矩形线圈的磁矩的大小为,磁矩的方向由电流的流向根据右手定则确定。当线圈平面与磁场方向平行，也就是线圈平面的法向与磁场方向相垂直时，线圈所受力矩为最大，即.11-21 当一直径为 0.020 m 的 10 匝圆形线圈通以 0.15 a 电流时，其磁矩为多大？若将这个线圈放于磁感应强度大小为 1.5 t 的匀强磁场中，所受到的最大力矩为多大？解 线圈磁矩的大小为.所受最大力矩为.11-22 由细导线绕制成的边长为 a 的 n 匝正方形线圈，可绕通过其相对两边中点的铅直轴旋转，在线圈中通以电流 i，
15、并将线圈放于水平取向的磁感应强度为 b 的匀强磁场中。求当线圈在其平衡位置附近作微小振动时的周期 t。设线圈的转动惯量为 j，并忽略电磁感应的影响。解 设线圈平面法线与磁感应强度 b 成一微小夹角 ，线圈所受力矩为. (1)根据转动定理，有,式中负号表示 l 的方向与角加速度的方向相反。将式 (1)代入上式，得10,或写为. (2)令,(3)将式(3)代入式 (2)，得(4)因为 是常量，所以上式是标准的简谐振动方程，立即可以得到线圈的振动周期，为.11-23 假如把电子从图 11-20 中的 o 点沿 y 方向以1.0107 ms1 的速率射出，使它沿图中的半圆周由点 o 到达点 a，求所施加的外磁场的磁感应强度 b 的大小和方向，以及电子到达点 a 的时间。解 要使电子沿图中所示的轨道运动，施加的外磁场的方向必须垂直于纸面向里。磁场的磁感应强度的大小可如下求得,. 电子到达点 a 的时间为.11-24 电子在匀强磁场中作圆周运动，周期为 t = 1.0108 s。(1)求磁感应强度的大小；(2)如果电子在进入磁场时所具有的能量为 3.0103 ev，求圆周的半径。解(1)洛伦兹力为电子作圆周运动提供了向心力，故有,由此解出 b，得图 11-20
