1、智浪教育 -普惠英才文库 2011 年广州市高二数学竞赛试题 第 1 页 共 8 页 2013 年广州市高二数学竞赛试题 2013 5 11 考生注意： 用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； 不准使用计算器； 考试用时 120 分钟，全卷满分 150 分 一、选择题：本大题共 4 小题，每小题 6 分，满分 24 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 在下列函数中，既是 2,0上的增函数，又是以 为最小正周期的偶函 数的函数是 A xy 2cos B xy 2sin C cosyx D |sin| xy 2 已知 向量 ( , )xya ，其中 1,2,4,5x ，
2、 2,4,6,8y ， 则满足条件的不共线的向量共有 A 9 个 B 12 个 C 13 个 D 16 个 3 在平面直角坐标系 xOy 中，设 D 是由不等式组 001 01yyx yx 表示的区域， E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域，若向 E 中 随机投一点，则所投点落在 D 中的概率 是 A 1 1 B 1 2 C 1 D 2 4 已知函数 2( ) 3f x x x ，则函数 ( ( )g x f f x x所有零点的和为 A 2 B 0 C 2 D 4 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 6 分，满分 36 分 5若直线 32myx与圆 228xy相切，则 m * 。
3、 52 6 已知集 3,11 22 aaA ， ， 113 aaaB ， ，且 2AB ，则实数 a 的值等于 * 1 智浪教育 -普惠英才文库 2011 年广州市高二数学竞赛试题 第 2 页 共 8 页 7 已知不等式 1xax 2，那么实数 a * 218 已知 ,abc为三条不同的直线 , 且 ,a M b N M N c 平 面 平 面，给出如下命题： 若 a 与 b 是异面直线 , 则 c 至少与 a , b 中的一条相交； 若 a /b, 则必有 a /c； 若 a 不垂直于 c, 则 a 与 b 一定不垂直； 若 a b, a c, 则必有 MN . 其中正确的命题的是 （请填上
4、正确命题的序号）。 9定义运算 ab ad bccd，则符合条件 i 3 4i11zz（其中 i 为虚数单位）的复数 z * 。 17i22 10将数列 *2 1( )nnN 依原顺序按第 n 组有 2n 项的要求分组，则 2013 在第 * 组 . 10 前 n 组所含项数之和为 212 2 2 2 2nn ， 2013 是数列的第 1008 项 . 由于 9 1 05 1 0 2 2 1 0 0 8 2 2 1 0 2 2 ，所以 2013 在第 9 组 . 三、解答题 ：本大题共 5 小题，满分 90 分解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 11（ 本小题满分 15 分） ABC 中，
5、角 A 、 B 、 C 所对 的边分别为 a 、 b 、 c ，已知 3cos 5A ， 5sin 13B ，9c 。 （ 1）求 tanB 的值； （ 2）求 ABC 的面积。 11.（ 1） 234c o s , s i n 1 c o s55A A A 。 2 分 45sin sin5 1 3AB ， B 为锐角。 4 分 2 12c o s 1 s in 13BB 。 6 分 sin 5tan .co s 1 2BB B 8 分 （ 2） s i n s i n ( ) s i n c o s c o s s i nC A B A B A B 4 1 2 3 5 6 35 1 3 5
6、1 3 6 5 。 10 分 9c ， sin sinacAC，得 527a 。 13 分 1 1 5 2 5 9 0s i n 92 2 7 1 3 7ABCS a c B 。 15 分 智浪教育 -普惠英才文库 2011 年广州市高二数学竞赛试题 第 3 页 共 8 页 12（本小题满分 15 分） 如图，己知 BCD 中， 90BCD， 1BC CD，AB 平面 BCD ， 60ADB， E 、 F 分别是 AC 、AD 上的动点，且 (0 1)A E A FA C A D 。 （ 1）求证：不论 为何值，总有平面 BEF 平面 ABC ； （ 2）若平面 BEF 与平面 BCD 所成的
7、二面角的大小为 60 ，求 的值 12.（ 1）证明：因为 AB 平面 ABCD，所以 AB CD。 在 BCD 中， 90BCD，所以 BC CD。 因为 ABBC B，所以 CD 平面 ABC。 3 分 在 ACD 中， E、 F 分别是 AC、 AD 上的动点，且 (0 1)A E A FA C A D 。 所以 EF CD， 所以 EF 平面 ABC。 因为 EF 平面 BEF，所以平面 BEF 平面 ABC。 6 分 （ 2）解：作 BQ CD， 由（ 1）知 CD 平面 ABC，所以 BQ 平面 ABC。 所以 BQ BC， BQ BE。 因为 BQ 与 CD、 EF 共面，平面
8、BEF平面 BCD BQ， 所以 CBE 为平面 BEF 与平面 BCD 所成的二面角的平面角为 60。 8 分 在 ABC 内作 EM BC 交 BC 于 点 M， 由 cos60 12BMBE ， 所以 2BM BE。 9 分 又 AEAC ，所以 CEAC 1 。 由 EM CEAB AC 1 ， 在 BCD 中， BCD = 900， BC CD 1， 所以 BD 2 ，又在 RtABD 中， ADB= 600， 所以 AB 6 ，所以， EM 6 （ 1 ） 。 11 分 又 BM AEBC AC ，且 BC 1，所以 BM 。 12 分 在 RtBME 中， 由 得 4 2 6（
9、1 ） 2 2。 13 分 即 2 4 2 0， 解得 2 2 或 2 2 。 14 分 因为 01，所以 2 2 。 15 分 智浪教育 -普惠英才文库 2011 年广州市高二数学竞赛试题 第 4 页 共 8 页 13（ 本小题满分 20 分） 已知函数 21( ) ( 2 1 ) 2 l n ( )2f x a x a x x a R. （ 1） 若曲线 ()y f x 在 1x 和 3x 处的切线互相平行，求 a 的值； （ 2） 求 函数 ()fx的单调区间 。 13. 函数 ()fx的定义域为 0+， 。 2 分 且 2( ) ( 2 1)f x a x a x ( 0)x . 4
10、分 （ 1）因为 曲线 ()y f x 在 1x 和 3x 处的切线互相平行 ， 所以 (1) (3)ff 。 6 分 即 22 1 2 3 2 1 3a a a a ， 解得 23a . 8分 （ 2）因为 ( 1)( 2 )() a x xfx x ( 0)x . 10 分 当 0a 时， 0x ， 10ax ， 在区间 (0,2) 上， ( ) 0fx ；在区间 (2, ) 上 ( ) 0fx ， 故 ()fx的单调递增区间是 (0,2) ，单调递减区间是 (2, ) . 13 分 当 10 2a 时， 1 2a ， 在区间 (0,2) 和 1,a上， ( ) 0fx ；在区间 12,a
11、上 ( ) 0fx ， 故 ()fx的单调递增区间是 (0,2) 和 1,a，单调递减区间是 12,a. 16 分 当 12a 时， 因为 2( 2)( ) 02xfx x ， 故 ()fx的单调递增区间是 (0, ) . 18 分 当 12a 时， 102a， 在区间 10,a和 (2, ) 上， ( ) 0fx ；在区间 1,2a上 ( ) 0fx ， 智浪教育 -普惠英才文库 2011 年广州市高二数学竞赛试题 第 5 页 共 8 页 故 ()fx的单调递增区间是 10,a和 (2, ) ，单调递减区间是 1,2a. 20 分 14（ 本小题满分 20 分） 已知 3,0R ，点 P 在
12、 y 轴上，点 Q 在 x 轴的正半轴上，点 M 在直线 PQ 上，且满足0RP PM， 23PM MQ0。 （ 1）当点 P 在 y 轴上移动时，求点 M 的轨迹 C 的方程； （ 2）设 AB、 为轨迹 C 上两点， N（ 1， 0） ， 1Ax ， 0Ay ，若存在实数 ，使AB AN ，且 163AB ，求 的值。 14.（ 1）设点 ( , )Mxy ， 由 23PM MQ0，得 0,2yP， ,03xQ。 4 分 由 0RP PM，得 33, , 022yyx 。 6 分 所以轨迹 C 的方程为 2 4 ( 0)y x x. 8 分 （ 2）由（ 1）知 N 为抛物线 C ： 2
13、4yx 的焦点， AB、 为过焦点 N 的直线与 C 的两个交点 . 当直线 AB 斜率不存在时，得 1,2A ， (1, 2)B ， 164 3AB . 10 分 当直线斜率存在且不为 0 时，设 : ( 1)AB y k x， 11 分 代入 2 4yx 得 2 2 2 22 ( 2 ) 0k x k x k . 13 分 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y， 则 212 222 ( 2 ) 4 1 62 2 4 3kA B x x kk ，得 3k 。 15 分 （或 212 2414A B k x x k ） 1, 0 , 3AAx y k 。 16 分
14、此时 13, 3ABxx。 17 分 智浪教育 -普惠英才文库 2011 年广州市高二数学竞赛试题 第 6 页 共 8 页 由 AB AN 得 13 433 1 3BANAxxxx 。 19 分 所以存在实数 43 ， 使 AB AN ，且 163AB 。 20 分 15（ 本小题满分 20 分） 设 nS 是 数列 na 的前 n 项和，且 na 是 nS 和 2 的等差中项 （ 1）求数列 na 的通项公式 ； （ 2）当 1 i j n （ ,ijn 均为正整数）时，求 ia 和 ja 的所有可能的乘积ijaa之和 nT ； （ 3）设 2122 2 2 *nnM n NT T T ()
15、，求证： 1324M 15.（ 1） na 是 nS 和 2 的等差中项， 22nnSa ， 当 1n 时， 1122Sa ， 解得 21a . 当 2n 时， 1122nnSa . 得 11 22 nnnn aaSS 2,* nNn ， 122 nnn aaa 。 12 nn aa 。 21 nnaa 2n . 数列 na 是首项为 2 ，公比为 2 的等比数列， nna 2 2n . 当 1n 时， 11 22a ，符合上式， 所以 数列 na 的通项公式为 2nna *nN 。 4 分 智浪教育 -普惠英才文库 2011 年广州市高二数学竞赛试题 第 7 页 共 8 页 （ 2）由 ia
16、 和 ja 的所有可能乘积 2ijijaa nji 1 可构成下表： 112 ， 122 ， 132 ， 112 n ， 12n 222 ， 232 ， 212 n ， 2n 332 ， 312 n ， 32n 2nn 构造如下 n 行 n 列的数表： 112 ， 122 ， 132 ， 112 n ， 12n 212 ， 222 ， 232 ， 212 n ， 2n 312 ， 322 ， 332 ， 312 n ， 32n 12n ， 22n ， 32n ， ， 12nn ， 2nn 设上表第一行的和为 T ，则 4 1 2 4 2 112 n nT . 10 分 于是 2 1 2 4 2
17、2 1 2 2 2 2 2 2nnnTT 12 分 22 4 14 2 1 2 1 41nnn 18 2 1 2 13 nn . 14 2 1 2 13 nnnT . 14 分 （ 3） 14 2 1 2 13 nnnT ， 112 3 2 3 1 14 2 1 2 14 2 1 2 1nnnnnnnT 。 16 分 2122 2 2 nnM T T T 1 2 2 3 3 4 13 1 1 1 1 1 1 1 14 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1nn 6 分 8 分 智浪教育 -普惠英才文库 2011 年广州市高二数学竞赛试题 第 8 页 共 8 页 13114 21n. 18 分 12 1 3n ， 11 3 1 312 4 421n . 即 1324M。 20 分
