实数完备性基本定理的相互证明.docx

1、实数完备性基本定理的相互证明（30 个）一.确界原理 1.确界原理证明单调有界定理 证 不妨设 为有上界的单调递增数列.na由确界原理，数列 有上确界，令 ，下面证明： .n nasuplimna对任意的 ，由上确界的定义，存在数列 中某一项 ,使得： .0 NN由于 单调递增,故对任意的 ，有： .naNna另一方面,由于 是 的一个上界,故对任意的正整数 都有： .na na所以任意的 ，有： ，即： .Nnan由极限的定义， .同理可证单调递减有下界的数列必有极限，且其极限即为它的下确界. limn2.确界原理证明区间套定理 证明：设 是一个闭区间套. 令数集 .,nabnSa由于任一

2、都是数列 的上界，由确界原理，数集 有上确界，设 .n supS下证 属于每个闭区间,1,23显然， ，故只需证明对任意正整数 ，都有 .1,23na nnb事实上，对任意正整数 ， 都是 的上界，而上确界是最小上界，故必有 . nbS n所以存在实数 ，使得,1,23na下证唯一性，假设还有另外一点 ，也满足 .则 ，故,1,23nab 0nba有: .唯一性得证. 3.确界原理证明有限覆盖定理 证明：欲证闭区间 的任一开覆盖 都有有限的子覆盖.,abH令 |,Sx axb 能 被 中 有 限 个 开 区 间 覆 盖 ，显然 有上界.又 覆盖闭区间 ，所以，存在一个开区间 ，覆盖住了 .取

3、，则H, ,Ha,x显然能被 中有限个开区间覆盖（1 个） ， ，从而 非空.,ax xS由确界原理，令 . supS先证明 .用反证法，若 ，则 .由 覆盖闭区间 ，一定存在开区间 ，覆盖bbabH,ab1,H住了 .取 ，使： ，则 能被 中有限个开区间覆盖，把 加进12,x121,xxS1,axH1,去，就得到 也能被 中有限个开区间覆盖，即 ，这与 矛盾，故 .aH2supSb最后证明 .设开区间 ，覆盖住了 .由 ，故存在 使得： 且 .则bS2, bsy2yS能被 中有限个开区间覆盖，把 加进去，就得到 也能被 中有限个开区间覆盖.,y2,abH4.确界原理证明聚点定理 证明：设

4、有界无限点集，则由确界原理令 .SinfS若 是 的一个聚点，则命题已经成立，下面设 不是 的聚点.令 .因为 不是 的聚点，所以存在 ，使得|,Tx中 只 包 含 中 有 限 个 元 素 S0只包含 中有限个数，故 ，从而 非空.00;,US0T又 有界，所以 的所有上界就是 的上界，故 有上确界，令 .SS sup下面证明 是 的一个聚点.对任意的 ， ，故 包含 中无穷多个元素.0,S由上确界的定义，存在 ，使得 ，故 中只包含 中有限多个元素.从而我们得知,S中包含了 中无穷多个元素，由聚点的定义， 是 的一个聚点.,;US5.确界原理证明 Cauchy 收敛准则 证明：必要性：若 ，

5、则对任意的 ，存在正整数 ，对一切 ，有 .于是对一切 ，有limnx0Nn2nx,mnN.2nx充分性：现假设 满足对任意的 ，存在 ，对一切正整数 ，有 .nx0,nmNnmx令数集 ，明显数列 的下界都属于 ，并且 的上界就| ,nSx中 只 有 有 限 项 小 于 或 Snx是 的上界.由确界存在定理，令 .supS对条件给定的 和 ， ，故 包含 中无穷多项.0N,nx由上确界的定义，存在 ，使得 ，故 中只包含 中有限多个元素.从而我们得知,S中包含了 中无穷多个元素，设,;U S,1,23knxUk则对任意正整数 ，总存在某个 ，故有：nNknN.从而 .2kknxxlimnx二

6、.单调有界定理 6单调有界定理证明确界定理 证明：我们不妨证明非空有上界的数集必有上确界.设 .明显 是一个可数集，所以假设：|TrS为 数 集 的 有 理 数 上 界 T.令 .则得单调递减有下界的数列，由单调有界定理得，令 12,n 1minxr limnx先证 是上界.任取 ，有 ，由极限的保序性， .snxs其次对于任意的 ，取一个有理数 ，它明显不是 的上界，否则0,rS产生矛盾！故存在 ，使得 ，我们证明了 是数集 上确界.limnxrsSsS7.单调有界定理证明区间套定理 若 是一个区间套,则 为单调递增有上界的数列,由单调有界定理, 令 ，并且容易得到nabna limna.1

7、,23同理,单调递减有下界的数列 也有极限,并按区间套的条件有：nb，并且容易得到 .limli 0nnba 1,23nb所以 ,1,23下证唯一性，假设还有另外一点 ，也满足 .则 ，故,na 0nba有: .唯一性得证. 8.单调有界定理证明有限覆盖定理设 .容易得到 中包含无穷多个元素，并且|, ,TraHrbA可 以 被 的 开 区 间 有 限 开 覆 盖 ， 且 T是一个可数集，所以假设： .令 .则得单调递增有上界的数列，由单调有12,nTr 1maxniir界定理得，令 .limnx先证明 .用反证法，若 ，则 .由 覆盖闭区间 ，一定存在开区间 ，覆盖bbabH,b1,H住了

8、.取 ，使： ，则 能被 中有限个开区间覆盖，把 加进,ijxry11ijxry1,ax 1,去，就得到 也能被 中有限个开区间覆盖，即 ，这与 矛盾，故 .aHSsupSb最后证明 .设开区间 ，覆盖住了 .由 ，故存在 使得： .则bS2,bklxr2klxr能被 中有限个开区间覆盖，把 加进去，就得到 也能被 中有限个开区间覆盖.,lr 2,abH9.单调有界定理证明聚点定理 证明：设 是一有界无限点集，在 中选取一个单调 ，下证数列 有聚点.SSnn（1）如果在 的任意一项之后，总存在最大的项,设 后的最大项是 ， 后的最大项是 ，且显然na 1a1na2na； 一般地，将 后的最大项

9、记为 ，则有： .这样，就得2121nkna1kn 1,3kk到了 的一个单调递减子列 .k（2）如果（1）不成立 则从某一项开始，任何一项都不是最大的，不妨设从第一项起，每一项都不是最大项.于是，取 ，因 不是最大项，所以必存在另一项 又因为 也不是最大项，所以1na1n 2121na2na又有：，这样一直做下去，就得到了 的一个单调递增子列 .3232n nkn综上所述，总可以在 中可以选取一个单调数列 ，利用单调有界定理， 收敛，极限就是 的一个SknakaS聚点.10.单调有界定理证明 Cauchy 收敛准则 证明：必要性：若 ，则对任意的 ，存在正整数 ，对一切 ，有 .于是对一切

10、，有limnx0Nn2nx,mnN.2nx充分性：现假设 满足对任意的 ，存在 ，对一切正整数 ，有 .nx0,nmNnmx先证明柯西数列是有界的.取 ，故存在某个正整数 ，对一切 ，有 ，即 .故10 01N01nNa有界.nx参考 9 的做法，可知数列 有一个单调子列 ，由单调有界定理， 收敛，令 .naknaknaliknx则对任意正整数 ，总存在某个 ，使得 ，故有：NkNknx.从而 .2kknnnxxlimn三区间套定理 11.区间套定理证明确界原理 证明：仅证明非空有上界的数集 必有上确界 S取一个闭区间 ，使得 包含 中的元素，并且 为 的上界.,ab, bS将闭区间 等分为两

11、个闭区间 与 .若 为数集 的上界，则取 ，, ,2ab,2a1,2ab否则取 .1,2ab再将闭区间 等分为两个闭区间 与 .若 为数集 的上界，则取1, 1,2ab1,b12aS，否则取 .不断进行下去，这样得到了一个闭区间套 .12,2abb12,ab ,nab由区间套定理的得存在 属于所有的闭区间 并且每个闭区间,23n都包含 中的元素，并且右端点 为 的上界.,nabSbS由于对任意 ，有 ，所有由极限的保序性， ，从而 是数集 的上界.snblimnsbS最后，对于任意 ，存在 ，使得 .由闭区间套的选取， 包含了 中某个元素 ，从00na,nabs而有 .故 是数集 的上确界.n

12、sabS12. 区间套定理证明单调有界定理 设 是单调有界数列，不妨设其为单调递增且有上界nx取一个闭区间 ，使得 包含 中的项，并且 为 的上界.,ab,nxbnx将闭区间 等分为两个闭区间 与 .若 为 的上界，则取 ，, ,2ab,2an1,2ab否则取 .1,2ab再将闭区间 等分为两个闭区间 与 .若 为 的上界，则取1, 1,2ab1,b12anx，否则取 .不断进行下去，这样得到了一个闭区间套 .12,2abb12, ,nab由区间套定理的得存在 属于所有的闭区间 并且每个闭区间,23nab都包含 中的项，并且右端点 为 的上界.,nabnxx下面证明 .lim对任意的 ，存在

13、，使得 .由闭区间套的选取， 包含了 中某一项 ，从而有00nba,nabnxNx.Nnxab由于 单调递增,故对任意的 ，有： .NNnx又 ，故有 ，即 .nnxnx13. 区间套定理证明有限覆盖定理 若闭区间 可以被 中的开区间无限开覆盖.下面证明闭区间 可以被 有限开覆盖.用反证法，若,abH,abH闭区间 不能被 有限开覆盖.将闭区间 等分为两个闭区间 与 .其中必有一个区间不能被 有限开覆盖，设它为,ab,2ab,H；1,再将闭区间 等分为两个闭区间 与 .其中必有一个区间不能被 有限开覆盖，1,ab1,2ab1,b设它为 .不断进行下去，这样得到了一个闭区间套 .2, ,na由区

14、间套定理的得存在 属于所有的闭区间 .显然 ，考虑 中覆盖 的开区间,123nab ,abH，取 .由于,0min,，所以存在 ，对一切正整数 ，有 ，故此时lilinnabNN,na.从而 可以被 中的一个开区间 覆盖，产生矛盾！故假设,;,U,nabH,不成立，即闭区间 可以被 有限开覆盖.aH14. 区间套定理证明聚点定理 证明:已知点集 是有界无限点集.设 .S,Sab将闭区间 等分为两个闭区间 与 .其中必有一个区间包含了点集 中无穷多个元素，,ab,2, S设它为 ；1,再将闭区间 等分为两个闭区间 与 .其中必有一个区间包含了点集 中无穷多个1,ab1,2ab1,b S元素，设它

15、为 .不断进行下去，这样得到了一个闭区间套 ，每个闭区间包含了点集 中无穷2, ,na多个元素.由区间套定理的得存在 属于所有的闭区间 .下证 是点集 的一个聚点.,1,23nab S因为 ，故对任意的 ，必定存在一个 ，对一切正整数 ，有 ，limlinnab0NnN,nab从而 .又每个闭区间 包含了点集 中无穷多个元素,故 包含了点集,;UN,nS;U中无穷多个元素.由聚点的定义， 是点集 的一个聚点.SS15. 区间套定理证明 Cauchy 收敛准则必要性：若 ，则对任意的 ，存在正整数 ，对一切 ，有 .于是对一切 ，有limnx0Nn2nx,mnN.2nx充分性：现假设 满足对任意

16、的 ，存在 ，对一切正整数 ，有 .nx0N,nmNnmx先证明柯西数列是有界的.取 ，故存在某个正整数 ，对一切 ，有 ，即 .故10 01N01nNa有界.nx取一个闭区间 ，使得 包含所有 中的项.,ab,nx将闭区间 等分为两个闭区间 与 .其中必有一个区间包含了 中无穷多项，设它为, ,2ab,nx；1,ab再将闭区间 等分为两个闭区间 与 .其中必有一个区间包含了 中无穷多项，1, 1,2ab1,bnx设它为 .不断进行下去，这样得到了一个闭区间套 ，并且每个闭区间 都包含 中无2,ab ,na,nabn穷多项.由区间套定理的得存在 属于所有的闭区间,1,23nab现在取一个子列

17、，满足 .因为 和夹逼定理， .knx,knk limlinnablimknx则对任意正整数 ，总存在某个 ，使得 ，故有：NNknx.从而 .2kknnnxxlin四.有限覆盖定理 16.有限覆盖定理证明确界原理 证明：不妨设 为非空有上界的数集，我们证明 有上确界.SS设 为 的一个上界，下面用反证法来证明 一定存在上确界.b假设 不存在上确界，取 .对任一 ，依下述方法确定一个相应的邻域（开区间）aS,xab. ;,xxxU（1）若 不是 的上界，则至少存在一点 ，使 ，这时取 .（2）若 是 的上界，由SxSxxxS假设 不存在上确界，故有 ，使得 中不包含 中的点.此时取 ，可知0x

18、,xS,xxU它也不包含 中的点.于是我们得到了 的一个开覆盖：,ab,|,xxHUab根据有限覆盖定理， 可以被 中有限个开区间 覆盖. , 1in很明显（1）的开区间右端点属于 ， （2）的开区间中不包含 中的点.显然 所属的开区间是属于（1）的，SS所属的开区间是属于（2）的，所以至少有一个（1）中的开区间与某个（2）中的开区间相交，这是不可能b的. 17.有限覆盖定理证明单调有界定理 证明：设 是单调有界数列，不妨设其为单调递增且有上界.任取 为 的一个上界以及 中某项 ，nx bnxnxt构造出闭区间 ，对任意的 ，依下述方法确定一个相应的邻域（开区间）,tb,txb. ;xxxU（

19、1） 若 不是 的上界，则 中至少存在一项 ，使 ，这时取 .nnxixix（2） 若 是 的上界，由假设 发散，故不会收敛到 .即有存在某个 ，对任何正整数 ，存x0N在 ，使得 .由于 递增，有上界 ，所以 中的所有项均不N00;,nxUxnxxn落在 中.此时取 .0;,0x于是我们得到了 的一个开覆盖： .,txb,|,xtHb根据有限覆盖定理， 可以被 中有限个开区间 覆盖. ,t 1inU很明显（1）的开区间右端点属于 ， （2）的开区间中不包含 中的项.显然 所属的开区间是属于nxnxtx（1）的， 所属的开区间是属于（2）的，所以至少有一个（1）中的开区间与某个（2）中的开区间

20、相交，b这是不可能的. 18. 有限覆盖定理证明区间套定理 证明:用反证法.假设 没有公共点，则对任意一点 ，它都不会是,1,23nab 1,xab的公共点，从而存在正整数 ，使得 .故总存在一个开区间,1,23nab xn,xn，xxU使得： ，于是我们得到了 的一个开覆盖：,xnxab1,ab.根据有限覆盖定理， 可以被 中有限个开区间 覆盖. 1,|,xH,H1ikxU注意到闭区间套之间的包含关系，则所有 一定和某个最小的闭区间1ikxU无交.01,iiknniabab从而： .产生矛盾！ 0 0 0111, , ,i ik knxnxni iabab19. 有限覆盖定理证明聚点定理 证

21、明:设点集 是有界无限点集.设 .用反证法，假设 没有聚点.利用聚点定义，对任意的S,SS，存在一个领域 ，使得 中只包含点集 中有限个点.,xab,xxUxUS这样得到了 的一个开覆盖： .根据有限覆盖定理， 可以被, ,|,Hab,ab中有限个开区间 覆盖. 由于每个 中只包含点集 中有限个点，所以 也只包含了H1inxxS1,inxiU中有限个点，这与 是无限点集相矛盾！故假设不成立，即 有聚点.SS20. 有限覆盖定理证明 Cauchy 收敛准则 证明：必要性：若 ，则对任意的 ，存在正整数 ，对一切 ，有 .于是对一切 ，有limnx0Nn2nx,mnN.2nnx充分性：（使用反证法

22、）现假设 满足对任意的 ，存在 ，对一切正整数 ，有 .n0N,nmNnmx先证明柯西数列是有界的.取 ，故存在某个正整数 ，对一切 ，有 ，即 .故010 01x01Na有界.nx假设 .若 发散，则对任意的 ，可以找到一个 ，使得 中只,abnx,xab,xxUnx有有限项落在 中.否则对任何 ， 中均包含 中无限项，则可以证明 收敛.0;U0n这样得到了 的一个开覆盖： .根据有限覆盖定理， 可以被, ,|,xxHUab ,ab中有限个开区间 覆盖. 所以 也只包含了 中的有限项，矛盾！故假设不成立，H1inx1,inxiabnx收敛.nx五聚点定理21.聚点定理证明确界原理 证明：仅证

23、明非空有上界的数集 必有上确界. S取一个闭区间 ，使得 包含 中的元素，并且 为 的上界.,ab, bS将闭区间 等分为两个闭区间 与 .若 为数集 的上界，则取 ，, ,2ab,2a1,2ab否则取 .1,2ab再将闭区间 等分为两个闭区间 与 .若 为数集 的上界，则取1,ab1,2ab1,b12aS，否则取 .不断进行下去，这样得到了一个闭区间套 .12,212, ,nab由于 明显有界，所有它有聚点 .nb对任意 ，设 ，则 .由 的任意性， ，故 是 的一0,sS;,kbUksbsS个上界.其次，对任意 ，取 ，设 包含于闭区间 ，则0;,kaS,kab.从而我们证明了 是 的一个

24、上确界.ksaS22.聚点定理证明单调有界定理 证明：设 是单调有界数列，则它一定存在聚点 .下证： .nx limnx对任意的 ，由聚点的定义， 中包含 中的无穷多项，设0,U.则取 ，对一切正整数 ，假设 .利用 是单调的，,knxU1Nn1Nknnx介于 与 之间，所以由 ，可知 ，从而由极限的定义，1knx1,knx,nxUlim23.聚点定理证明区间套定理 证明：设 ，则 是有界无限点集 由聚点定理得数集 聚点 .若存在一个某个正整数 ，使nSabSS0n得 ，不妨假设 .取 ，则对一切 ，有 .于是0,0n00nb0n0nnab中只包含 中有限个点，这与 是数集 的聚点矛盾！0;,U故 ,123nab下证唯一性，假设还有另外一点 ，也满足 .则 ，故,1,23nab 0nba有: .唯一性得证. 24.聚点定理证明有限覆盖定理 证明：若闭区间 可以被 中的开区间无限开覆盖.下面证明闭区间 可以被 有限开覆盖.用反证,abH,abH法，若闭区间 不能被 有限开覆盖.将闭区间 等分为两个闭区间 与 .其中必有一个区间不能被 有限开覆盖，设它为,ab,2ab,；1,再将闭区间 等分为两个闭区间 与 .其中必有一个区间不能被 有限开覆盖，1,ab1,2ab1,bH