1、数学在线网 http:/ 搜集，仅供学习和研究使用！ 第 1 页（共 2 页）-正保远程教育 地址：北京市知春路 1 号学院国际大厦 18 层 24 小时客服热线：010-82310666巧构造 妙解题1. 直接构造例 1. 求函数 的值域。fx()sinco32分析：由于 可以看作定点（2，3）与动点（-cosx，sinx）连线的斜is率，故 f(x)的值域即为斜率的最大、最小值。解：令 ，则 表示单位圆coinx， 21表示连接定点 P（2，3）与单位圆上任一点（ ， ）所得直线fxk()32 的斜率。k0显然该直线与圆相切时，k 取得最值，此时，圆心（0，0）到这条直线的距离为 1，即
2、|312所以 k3故 22fx()例 2. 已知三条不同的直线 ， ，xyasini3xyasini3共点，求 的值。xyasini3sini分析：由条件知 为某一元方程的根，于是想法构造出这个一元i， ，方程，然后用韦达定理求值。解：设（m，n）是三条直线的交点，则可构造方程 ，即mnasii3（*）4303)asi(sin由条件知， 均为关于 的一元三次方程（*）的根。i， ， sin由韦达定理知 sisi2. 由条件入手构造例 3. 已知实数 x，y，z 满足 ，求证：xyzx692， xy分析：由已知得 ，以 x，y 为根构造一元二次方程，再由判别，式非负证得结论。解：构造一元二次方程
3、 pz22690其中 x，y 为方程的两实根所以 364902()z即 故0，即z29， xy数学在线网 http:/ 搜集，仅供学习和研究使用！ 第 2 页（共 2 页）-正保远程教育 地址：北京市知春路 1 号学院国际大厦 18 层 24 小时客服热线：010-823106663. 由结论入手构造例 4. 求证：若 ， ，则n3N13451233 n分析：待证式的左边求和的分母是三次式，为降低分母次数，构造一个恒不等式。 11213kkk()()()所以左边 345 n12 1 ()() n312()n故原式得证。例 5. 已知实数 x，y 满足 ，求证：02xyz22sincosincosiinsiz分析：要证原式成立，即证 4sicsicsicsicosicxyzxyz即证 in(o)in()in由三角函数线知可构造下图，此时不等式右边为图中三个矩形的面积之和，而 单位圆的面积为 ，所以S1231444sin(cos)in(cos)sincoxyyzz故结论成立。
