1、探照灯反射镜面的形状【题 目】在制造探照灯的反射镜面时，总是要求将光源射出的光线平行地反射出去，以保证探照灯有良好的方向性，试求反射镜面的几何形状。【摘 要】利用一阶微分方程解法得出探照灯反射镜面是由光源在原点的一条抛物线绕对称轴旋转而成的旋转抛物面。进而得出探照灯反射镜面的两个性质及在生活中的利用。【关键词】 探照灯 反射镜面 一阶微分方程 抛物线 反射镜面的利用探照灯反射镜面是抛物线绕它的对称轴旋转一周形成一个抛物面，它的光学性质： 与对称轴平行的光线投射到曲面上，经曲面反射便通过焦点。 放在焦点处的点光源发出的光线投射到曲面上，经曲面反射后便成为平行于轴的光束。【分 析】根据反射镜的性质
2、可以得到：这一反射镜曲面应是一条平面曲线绕对称轴旋转而成的旋转曲面。设光源在坐标原点,如图 1.1 ,并取 x 轴平行于光的反射方向。如果所求的曲面由曲线 y = f(x)绕 x 轴旋转而成,则求反射镜面的问题就相当于求曲线 y = f(x)(平面曲线) 的问题。下面利用一阶微分方程解出此平面曲线为光源在原点的一条抛物线。图 1.1解：方法一：取光源所在处为坐标原点，反射光线 l 的方向平行于 X 轴，如图 1.1 所示过 M(x,y)点做曲线 y=f(x)的切线 T，并与 X 轴相交于 N 点过 M(x,y)点做切线 T 的垂线，垂足 M。由光线的反射定律知：=23123ON=OMON=PN
3、-PO=OPcot - PO= -x1yOM= 2x-x=y=y21xy= (1) d2 函数y=(x)所应满足的微分方程式为 = yx2y= = + (2)dyx2()1y作变量变换令 (3)xuy即 ，于是 = (4)duy将(3) (4)代入(2)，则原方程变为=duy21整理后得： 2ydu两边同时积分得： 2ln(1)lnc即： 21yuc将 代入，化简得：xuy2()(2)cyxx其中 为任意常数c方法二： 134+2(5)3432tantant1(6)34t,tdyx由 于 ：将(6)代入(5)得 2=1()ydx解得 = (7)dyx2y即=dxy2+1()xy做变量变换接下来步骤同方法一最终解得 2()ycx【结 论】 显然抛物面是以 x 轴为对称轴，以原点为焦点的一族抛物线。在焦点处光源的反射线为平行线。镜面是抛物线绕对称轴旋转而成的旋转抛物面，方程为 2()yzxc其中 为任意常数。c
