1、 数列综合题1. 已知：数列 满足 ， ，则 的最小值为（ B ）na16nan21n8 7 6 5.A.B.C.D2. 定义：称 为 个正数 的“均倒数” ，已知正项数列naa21 na,21的前 项的“均倒数”为 ，则 （ C ）na nSlim 0 1 AB2D123. 已知有穷数列 A： na,21（ N,）.定义如下操作过程 T：从 A 中任取两项 jia,将 ji的值添在 A 的最后，然后删除 jia,这样得到一系列 1n项的新数列 A1 (约定:一个数也视作数列)；对 A1的所有可能结果重复操作过程 T 又得到一系列 2n项的新数列 A2，如此经过 k次操作后得到的新数列记作 A
2、k . 设 A：3,475,则 A3的可能结果是（ B ）（A）0； （B） 4； （C） 3； （D） 12.4. 设 na是首项大于零的等比数列，则“ 12a”是“数列 na是递增数列”的（ C ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要条件5. 已知数列 na是无穷等比数列，其前 n 项和是 nS，若 23a， 341a，则limnS的值为 （ D ）A 23 B 43 C 83 D 163 6. 若在由正整数构成的无穷数列a n中，对任意的正整数 n，都有 an an+1，且对任意的正整数 k，该数列中恰有 2k1 个 k，则 a2008=
3、45 7. 已知 na是公差不为零的等差数列，如果 nS是 a的前 n 项和，那么 limnaS 2 8. 各项都为正数的等比数列 na中， 1， )1(27332aa，则通项公式 na 13n9. 已知等比数列 na的公比为正数，且 3a 9=2 25， a=1，则 1= 210. 已知数列 1212:,0,3n nAaaa 具有性质 P：对任意,1ijijn， ji与 ji两数中至少有一个是该数列中的一项. 现给出以下四个命题：数列 0,1,3,5,7具有性质 P； 数列 0,2,4,6,8具有性质 ；若数列 A具有性质 ，则 10a；若数列 54321,a)(5432a具有性质 P，则
4、132a。其中真命题有 。11. 已知数列 na是以 15为首项， 2为公差的等差数列， nS是其前 项和，则数列nS的最小项为第 项. 812. 已知等差数列 na，对于函数 53()fx满足： 2()6fa，201(4)6fa， nS是其前 项和，则 201S . 603313. 等比数列 na中， n，且 168721aa ，则 54a的最小值为 214. 若数列 na为等差数列，且 1203581a，则 109a的值等于 24 .15. 已知函数 42()(1)xf xR， ，数列 na满足 1()aR， ，*1nnafN(1)若数列 是常数列，求 a 的值；(2)当 14a时，记 *
5、2()1nbN，证明数列 nb是等比数列，并求出通项公式n解 (1) *1142() ()nnxfafa， ， （ ） ，数列 na是常数列， 1na，即 ，解得 2，或 1 6分所求实数 的值是 1或 2 (2) *14()nabN， ， 114222331nn nnaa，即 *1()3nnbN10分数列 nb是以 123为首项，公比为 23q的等比数列，于是*2()()3nN 12 分由 1nab， 即 2()3nn，解得 *()2)13naN 16 分所求的通项公式 *2()3)1naN16. 数列 na中， 0n， 1na，且 1231nna（ N） （1）证明： 1n；（2）若 43
6、1a，计算 2a， 3， 4的值，并求出数列 n的通项公式；（3）若 1，求实数 p（ 0） ，使得数列 nap成等比数列解: （1）若 1na，即 na23，得 0或 1与题设矛盾，1na4 分（2） 09， 2873a， 46 分（错一个扣 1 分，错 2 个全扣）解法一：用数学归纳法，先猜想 13na，再用数学归纳法证明10 分解法二：，由 2)1(3nna，得 )(1nna，数列 1n是首项为 1，公比为 3的等比数列， nn)31(，得13na10 分（3）设数列 nap成等比数列，公比为 q，则 qapapnnn)(321，即 qqn3)2(14 分由 0p， na不是常数列， 0
7、)13(2qp， 31qp，此时， na是公比为 1的等比数列16 分17. 已知数列a n和b n满足：a 1=,a n+1= 24,(1)321),3nnnaba其中 为实数，n 为正整数.（1）对任意实数 ，证明:数列a n不是等比数列；（2）证明：当 8b时 ， 数 列 是 等 比 数 列 ；（3）设 0ab（a,b 为实常数）,S n为数列b n的前 n项和.是否存在实数 ，使得对任意正整数 n，都有 aS n b?若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由.来源:学科网 ZXXK解答:（1）证明：假设存在一个实数 ，使a n是等比数列，则有 21a, 2分即（ 23） 2= 492
8、 24990矛盾.所以a n不是等比数列. 4 分(2)解：因为 bn+1=(-1)n+1a n+1-3(n-1)+21=(-1) n+1( 3an-2n+14)=- 32(-1)n（a n-3n+21）=- 2bn 7分当 18 时，b 1=-(+18) 0,由上可知 bn0， 321na(nN +). 8分故当 -18 时，数列b n是以（18）为首项， 为公比的等比数列 9 分（3)由（2）知，当 =-18,b n=0,Sn=0,不满足题目要求. 10 分-18，故知 bn= -（+18）（ 32） n-1，于是可得Sn=- .321)8(53n） （ - 12分要使 a3a存在实数 ，
9、使得对任意正整数 n,都有 aSnb,且 的取值范围是（b-18,-3a-18）- 18分.18.定义：对于任意 *nN，满足条件 21nna且 aM（ 是与 n无关的常数）的无穷数列 na称为 T数列（1）若 2( *)，证明：数列 na是 T数列；来源:Zxxk.Com（2）设数列 nb的通项为 243n，且数列 nb是 数列，求 的取值范围；（3）设数列 1ncqp( *N)，问数列 nc是否是 数列？请说明理由解答: 解：(1) 由 2na得 22221()(1)0nnan所以数列 满足 . （2 分）2na( *N)单调递减,所以当 n=1 时， n取得最大值-1 ，即 na.所以，
10、数列 na是 T数列. （4 分） (2) 由 243nb得 112432423nnnnb，当 0,即 时， 0，此时数列 nb单调递增； （6 分）而当 时， 1n，此时数列 nb单调递减；因此数列 b中的最大项是 3，所以， M的取值范围是 349. （9 分）（3） 假设数列 nc是 T数列，依题意有：21122()(1)(1)()nncppnpn(11 分）因为 *N,所以当且仅当 小于 的最小值时, 20c对任意 恒成立，即可得 1p. （14 分）又当 时， 0n, 1ncqp，故 Mq （16 分）综上所述：当 1p且 M时，数列 nc是 T数列 （18 分）19. 设二次函数
11、)()4(2Rkxkxf ，对任意实数 x，有 26)(xf恒成立；数列 na满足 1nnaf.（1）求函数 )(xf的解析式和值域；（2）试写出一个区间 ),b，使得当 ),(1ba时，数列 na在这个区间上是递增数列，并说明理由；（3）已知 31a，是否存在非零整数 ，使得对任意 N，都有12333 3121loglogloglog122nnaa)(恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由.解答: （1）由 26)(xf恒成立等价于 02)6()4(2xk恒成立，1 分从而得： 0)4(862k，化简得 0)2(k，从而得 k，所以xxf)(，3 分其值域为 21,(.4 分（2）解：当
12、),01a时，数列 na在这个区间上是递增数列，证明如下：设 ),(nn，则 )21,0()21(2)(1 nnnn af ，所以对一切 *N，均有 2,0a；7 分8)4()( 21 nnnnn afa来源: 学&科& 网 Z&X&X&K 081)4(21)(16)(4142,0 222 nnaa，从而得 1na，即 na1，所以数列 n在区间 )2,0(上是递增数列.10 分注：本题的区间也可以是 )2,5、 ),4、 )1,3等无穷多个.另解：若数列 na在某个区间上是递增数列，则 01na即 2)(21 nnnn af )21,(n7 分又当 1,20时， 0()(1 nf ，所以对一
13、切 *N，均有 2,0na且 01n，所以数列 na在区间 ),(上是递增数列.10 分（3） （理科）由（2）知 ),(n，从而 )21,(na；221( nnaa，即 21)(nna；12 分令 nnb2，则有 21nb且 )1,0(；从而有 lglg1，可得 )2lg(2lgl1nnb，所以数列n是 32l为首项，公比为 的等比数列，14 分从而得1213lgl2gl nnnb，即 231lg2nnb，所以 1123nn，所以 1221nnba，所以 13233 2log)(log21log1nnna，所以， nal21llog3313 12logl 33nn.16 分即 12log3n13()2ln，所以， 11nn恒成立（1） 当 为奇数时，即 恒成立，当且仅当 时， 2有最小值 为。（2） 当 n为偶数时，即 12n恒成立，当且仅当 n时，有最大值 为。2所以，对任意 N，有 1。又 非零整数，118 分
