1、1第 3 章 动量 角动量3-1 一架飞机以 300m/s 的速率水平飞行，与一只身长 0.20m、质量 0.50kg 的飞鸟相撞，设碰撞后飞鸟的尸体与飞机具有同样的速度，而原来飞鸟对于地面的速率很小，可以忽略不计。试估计飞鸟对飞机的冲击力( 碰撞时间可用飞鸟身长被飞机速率相除来估算 )。根据本题计算结果 ,谈谈高速运动的物体(如飞机、汽车) 与通常情况下不足以引起危害的物体(如飞鸟、小石子) 相碰撞后会产生什么后果？解 飞鸟碰撞前速度可以忽略,碰撞过程中冲量的大小为:ImFt考虑到碰撞时间可估算为 lt即得飞鸟对飞机的冲击力 2250.53.10(N)l由此可见飞机所受冲击力是相当大的，足以
2、导致机毁人亡，后果很严重。3-2 水力采煤,是用高压水枪喷出的强力水柱冲击煤层。如图，设水柱直径 ，水速30mD，水柱垂直射在煤层表面上，冲击煤层后56m/s的速度为零，求水柱对煤的平均冲力。解 t 时间内射向煤层的水柱质量为 214mVDx煤层对水柱的平均冲击力（如图以向右为正方向）为211xxxFtt214xt3323.0(0)56.0(N)4习题 3-2 图2水柱对煤层的平均冲力为 ，方向向右。 32.10NF3-3 质量 的物体沿 轴无摩擦地运动，设 时，物体位于原点，速率为零。如果物10kgmxt体在作用力 的作用下运动了 3 秒，计算 3 秒末物体的速度和加速度各为多少？（题中34
3、Nt作用线沿着 轴方向）Fx解 力 在 3 秒内的冲量 3300d(4)d27NsIFtt根据质点的动量定理 mI得 3./s加速度 2215/./0Fa3-4 质量为 的物体，开始时静止，在时间间隔 内，受力 mTt201tTF作用，试证明，在 时物体的速率为 。2tT043FTm证 由质点的动量定理得 222000 4()()d1d3T FTtmttT即 4()3Fm3-5 质量 的物体在水平面上受到沿水平方向的拉力 作用，初始条件 ，10kg 210Nt0x，物体与水平面间的摩擦系数 。求第 2 秒末物体的速度和加速度。 （重力加速度01.0）2m/sg解 经分析知，物体在前 1 秒内受
4、到的拉力不足以克服摩擦力，故物体处于静止状态，合力始终为3零(拉力等于静摩擦力).1 秒之后物体才开始运动。开始运动后物体受力 2(10)NFt合力 在第 2 秒内的冲量 F22114d(0)ds)3IFttt根据质点的动量定理 得 0mm/I2 秒末的加速度 22(/s)10a3-6 如图所示，大炮在发射时会发生反冲现象。设炮身的仰角为 ，炮弹和炮身的质量分别为 和 ，炮弹的出mM口速度为 ，若忽略炮身反冲时与地面的摩擦力，求炮身的反冲速度 。解 忽略了炮身与地面的摩擦力，在水平方向上动量守恒。取 炮弹为研究对象 ，炮身为 系，地面为 系。设 轴水平向右。AK x 炮弹发射前系统的总动量为零
5、。发射后，炮弹相对于炮口的速度为 AK（此即出口速度的含义） ，与 轴为 角，炮身则以速度x 沿 轴负方向运动，炮弹对地的速度xAKV矢量关系如解用图所示.炮弹和炮身在水平方向的动量分别为和 ,(cos)xmVM根据动量守恒定律有 (cos)0m解得 方向如图。习题 3-6 图V习题 3-6 解用图43-7 一个原来静止的原子核，放射性蜕变时放出一个动量为 的电子，同2119.0kgm/sp时还在垂直于此电子运动的方向上放出一个动量为 的中微子。求蜕变后原子225.3/s核的反冲动量的大小和方向。解 设原子核蜕变后电子、中微子和反冲粒子具有的动量如解用图所示。根据动量守恒定律有 1230p由图
6、可知，反冲粒子的动量 的大小 22031.71kgm/sp的方向应在 和 所在的平面内，与 的夹角为3p12p215arctn6p3-8 如图，质量为 且均匀分布、长m为 可绕光滑垂直轴 在粗糙的水平桌面内lO定轴转动，设细杆与水平桌面间的摩擦系数为 ，求细杆在转动时所受到的摩擦力矩。解 由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在整个细杆与桌子的接触面上，因此摩擦力矩的计算要用积分。如解用图，在距轴 为 的地方取长度为 的微元，则该微元的质量Ordr，在转动过程其所受摩擦力dmrldgmfrl习题 3-7 解用图习题 3-8 图习题 3-8 解用图5摩擦力对轴 力矩的大小为OddmMrfgrl整
7、个细杆所受的摩擦力矩 0=2l lr3-9 如图，一半径为 、质量为 的匀质Rm薄圆盘，平放在粗糙的水平桌面上，可绕通过中心且垂直盘面的轴旋转。设盘与桌面间的摩擦系数为，求圆盘在转动时所受到的摩擦力矩。解 本题中由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在整个圆盘与桌子的接触面上，因此摩擦力矩的计算要用积分。如图，在距轴 为 的地方Or取宽度为 的圆环，则该圆环的质量dr22dmgrrR在转动过程中圆环所受的摩擦力 2dfgr摩擦力对轴 力矩的大小为O2ddmgMrfrR整个薄圆盘所受的摩擦力矩 20=3r3-10 如图，以初速度 将质量为 的质点以仰角 从坐标0m原点处抛出。设质点在 平面内运动
8、，不计空气阻力，计算任Oxy习题 3-9 图习题 3-10 图习题 3-9 解用图6一时刻，相对于坐标原点（1）作用在质点上的力矩 ；（2 ）质点的角动量 。ML3-10 解 (1) 质点运动方程为 2001(cos)(in)rtitgtj重力 Fmgj则作用在质点上的力矩 0cs rtk（2）速度 0(cos)(in)j角动量 20cos gtLrmk或由角动量定理 0dtM 2001-dcost tmgtk3-11 卢瑟福等人用 粒子轰击金箔时，发现有些入射粒子散射偏转角很大，甚至超过 900，卢瑟福于 1911 年提出原子必有一带正电的“ 核心”，即原子核。如图，已知某 粒子的质量为 ，
9、以速度接近一重原子核，瞄准距离原子核到 方向线的垂直距离(如图 )为 。设 粒子与重原子核的最0 0b短距离为 ，求此时 粒子的速率。设原子核质量比 粒子大得多，可以近似看成静止。d解 开始时 粒子角动量的大小 ，方向0Lbm垂直纸面向外。当 粒子与重原子核的距离最短时，速度与它和重核连线垂直，设此时速率为 ，则此时质点的角动量 。Ldm粒子在运动过程中只有静电力作用，力的作用线通过重原子核，力矩为零，满足角动量守恒条件，即 0L解得 0bd3-12 求习题 3-8 中，设细杆初始角速度为 ，求细杆到停止转动所需要的时间。0解 刚体开始转动时的角动量 ，停止转动时角度 。取 为正方向，201=
10、3LJml0L习题 3-11 图7由习题 3-8 的结果知整个细杆所受的摩擦力矩恒定，且为负值， 。根据刚体定轴转动的=-2mglM角动量定理 得00dtML 201=3tl解得 tg3-13 求习题 3-9 中，设圆盘初始角速度为 ，求匀质圆盘到停止转动所需要的时间。0解 圆盘开始转动时的角动量 ，停止转动时角度 。取 为正方向，201=LJmR0L由习题 3-9 的结果知整个圆盘所受的摩擦力矩恒定，且为负值， 。根据刚体定轴转动2= -3mgRM的角动量定理 得00dtM 201=tR解得 34tg3-14 芭蕾舞演员绕通过自身的竖直轴旋转，开始时两臂伸开，转动惯量为 ，角速度为 ；0J0
11、然后将两手臂合拢，使其转动惯量为 ，则转动角速度变为多少？ 023J解 根据角动量守恒定律，有 ，解得 0233-15 、 两质量均匀分布的圆盘分别绕过其中心的垂直轴转动，角速度分别是 、 ，AB AB它们半径和质量分别为 、 和 、 。求 、 对心啮合后的共同角速度 。RAmB(a)啮合前 (b)啮合后习题 3-15 图8解 研究 A、B 圆盘组成的系统啮合过程，由于系统不受对轴的外力矩作用，故系统的角动量守恒即 ABABJJ得 22BmR3-16 在相对于中心垂直轴自由旋转的水平转盘边上站一质量为 的人，转盘的半径为 ，质量R为 且均匀分布。若开始时人相对于水平转盘静止，人和转盘组成的系统
12、角速度为 ，这人由盘边M 0走到盘心，求转盘角速度的变化。解 对人和转盘组成的系统，相对于中心垂直轴，所受外力矩为零，角动量守恒。将人视为质点， 220001LmRM人 盘 当人从转盘边缘走到转盘的轴心时，此人的转动惯量变为零，角动量也为零，2即 0L 22001mRR得 转盘角速度的变化 02(1)M0mM3-17 长为 、质量为 的匀质木杆，一端挂在光滑的水平轴上，开始时静止于竖直位置，现有l一粒质量为 的子弹以水平速度 从杆的中点穿过，穿出速度为 ，求匀质木杆开始转动时的角速度。m0解 开始时，子弹和木杆组成的系统相对于 点的角动量 ，O0()2lLm0设子弹和匀质木杆相互作用后，木杆转
13、动的角速度为 ，则系统的角动量213lLMm选子弹和木杆为研究对象，角动量守恒 ，0L习题 3-17 图9得到 201()()23llmMl解得 0l3-18 质量为 、长为 的匀质细杆，可绕光滑端点 自由转动，质量为 的小球和细杆均在摩Om擦系数为 的水平面上。初速度为 的小球与细杆0垂直相碰，设碰撞后小球弹回的速度为 。求细杆从静止开始转动到转动停止所需要的时间。解 取细杆逆时针转动的角动量正方向，设碰撞后细杆获得角速度为 。根据小球和细杆系统在垂直相碰的过程中角动量守恒得0(-)mlJl由习题 3-8 细杆转动中受到平面的摩擦力矩12fMgl设细杆开始转动后 秒停下，则由角动量定理t 0ftJ得 0()()12fmlJt g习题 3-18 图
