1、南通市 2012 届高三第一次调研测试1. 解析：a 1，b1， c ，e .2 2ca 22. 12i 解析：z 12i. 3 4i1 2i （ 3 4i）（1 2i）（1 2i）（1 2i） 5 10i53. 2，14. 0.02 解析： (9.89.9 10a10.2) 10，15 a10.1， s 2 (9.810) 2(9.910) 2(1010) 2(10.1 10) 2(10.2 10) 20.02.155. 0，1 解析：由 x2x20 得 x1 或 x2.又 xZ ， UAx|1x2，xZ0 ，16. 0 解析： ba(3，1)(1，2) (3，1)( 2，1)，12 b(4
2、，2)， ab( 1，2) (4，2)440.7. 解析：画树枝图易得298. 解析：yx x .3，2) 32 12 y x x 2 ，3212 12 12 32x1212x 12 3取“”号时，x ， tan ， .13 3 3，2)9. 解析：将 y2 代入 ylog x，得 x ， A ；将 y2 代入(12，14) 22 (22)212 (12，2)yx 得 x4， B(4，2)；12 将 x4 代入 y 得 y ， C ；(22)x14 (4，14) D 点坐标为 .(12，14)10. 解析： 11 2，9(12) 2，n（n 1）2 236(123) 2，100(1 234)
3、2，猜想：1 32 33 3n 3(123n) 2 .n（n 1）2 211. 12 解析：如图， 投影到底面 ABCD 上时，当 F 点在点 D1 处时，投影面积最大为 8； 投影到左侧面 ADD1A1 上时，当 E 点在点 A1 处时，投影面积最大为 8； 投影到前面 ABB1A1 上时，当 E 点在 A1 处，F 点在 C1 处时，投影面积最大为 12.综上，投影图形面积的最大值为 12.12. 1 解析：由 a1xsinx 对 x 恒成立，结合图象可知：只要在 x 处2 0，2 2a1xsinx 即可， a 1 sin ， a 1 .2 2 2由 sinxa 2x，即 a2xsinx
4、0，令 f(x) a2xsinx，x ，0，2f(x) a2cosx，当 a21 时，f(x) 0， f(x) f(0) 0，即当 a21 时，sinxa 2x，对 x 恒成立， a 21.0，2 a 2a 11 ，即 a2a 1 的最小值为 1 .2 213. 解析：设F 1BF22，则 cos2 .1225 725 2cos 21 ， cos ，sin OF 2B ，725 45 45 直线 BF2 的斜率为 .43 ， a 2b 2 b2.bc 43 (3b4)22516设 D(x0，y 0)，直线 CD 的斜率为 k，则 ， k，两式相乘得 k.y0 bx0 43 y0 bx0 43
5、D(x 0，y 0)在椭圆 1 上，x2a2 y2b2 . k ，k .b2a2 1625 43 1625 122514. 解析：由题意可知： a3a 2d，53，87a3a 2q， a2da 2q， a2(q1)d.由 a4a 188，得 a2q2(a 2d)88， a2(q21)d88，即 a2(q 1)(q1)d88， d(q1) d88，即 d(q2)88.注意到 a1，a 2，a 3 为正偶数，且 d0. a 2a 32a 2 a12a 2， 1q2. d ， 22d30.88q 2从而 d 只能取 24，26，28，当 d24 时，q 2 ，当 d28 时，q 2 .8824 53
6、 8828 87经检验都适合；当 d26 时，q 2 ，此时，8826 1813a2 不是整数，不合题意dq 1 261813 1 2613515. 解：(1) 由正弦定理，得 ，sinAsinB ab从而 2sinAcosCsinB 可化为 2acosCb，(3 分)由余弦定理，得 2a b，a2 b2 c22ab整理得 ac，即 1.(7 分)ac(2) 在斜三角形 ABC 中， ABC ，所以 sin(2AB)3sinB 可化为 sin(A C)3sin (AC)，即sin(AC)3sin(AC)，(10 分)故sinAcosCcosAsinC3(sinAcosCcosAsinC) ，整
7、理，得 4sinAcosC2cosAsinC，(12 分)因为ABC 是斜三角形，所以 sinAcosAcosC0，所以 .(14 分)tanAtanC 1216. 证明：(1) 取线段 BD 的中点 M，连结 AM，A 1M，因为 A1DA 1B，ADAB，所以 BDAM，BDA 1M，(3 分)又 AMA 1MM ，AM，A 1M 平面 A1AM，所以 BD平面 A1AM，而 AA1 平面A1AM，故 AA1BD.(7 分)(2) 因为 AA1CC 1，AA 1 平面 D1DCC1，CC 1 平面 D1DCC1，所以 AA1平面 D1DCC1.(9 分)又 AA1 平面 A1ADD1，平面
8、 A1ADD1平面 D1DCC1DD 1，(11 分)所以 AA1DD 1，同理得 AA1BB 1，所以 BB1DD 1.(14 分)17. 解：(1)设 A 组人数为 x，且 0x52，xN *，则 A 组活动所需时间 f(x) ，(2 分)15025x 60xB 组活动所需时间 g(x) ，(4 分)2001252 x 10052 x令 f(x) g(x)，即 ，解得 x ，60x 10052 x 392所以两组同时开始的植树活动所需时间F(x) (6 分)60x，x 19，x N*，10052 x，x 20，x N*，)而 F(19) ，F(20) ，故 F(19)F(20)，6019
9、258所以当 A，B 两组人数分别为 20，32 时，使植树活动持续时间最短(8 分)(2) A 组所需时间： 1 3 (h)，(10 分 )15025 20120 6 67B 组所需时间：1 3 (h)，(12 分)20023 32132 6 23所以植树活动所持续的时间为 3 h(14 分)6718. (1) 解：设直线 l 的方程为 yk(x1) ，即 kxyk0.因为直线 l 被圆 C2 截得的弦长为 ，而圆 C2 的半径为 1，所以圆心 C2(3，4)到65l：kxyk0 的距离为 .(3 分)|4k 4|k2 1 45化简，得 12k225k120，解得 k 或 k ，43 34所
10、以直线 l 的方程为 4x3y 40 或 3x4y30.(6 分)(2) 证明：设圆心 C(x，y) ，由题意，得 CC1CC 2，即 ，（x 1）2 y2 （x 3）2 （y 4）2化简得 xy30，即动圆圆心 C 在定直线 xy 30 上运动(10 分) 解：圆 C 过定点，设 C(m，3m)，则动圆 C 的半径为 ，1 （m 1）2 （3 m）2于是动圆 C 的方程为(xm) 2(y3m) 21(m1) 2(3m) 2，整理，得x2y 26y22m(xy1) 0，(14 分)由 得 或x y 1 0，x2 y2 6y 2 0，) x 1 322，y 2 322) x 1 322，y 2
11、322.)所以定点的坐标为 ，1 ，2 .(16 分)(1 322，2 322) 322 32219. (1) 证明：由题意，得 f(x)1cosx0，所以函数 f(x) xsinx 在 R 上单调递增设 P(x1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则有 0，即 kPQ0.(6 分)y1 y2x1 x2(2) 解：当 a0 时，f(x)xsinx axcosx 恒成立(8 分)当 a0 时，令 g(x)f(x)axcosxxsinx axcosx ，g(x)1cosxa(cosxxsinx)1(1a)cosxaxsinx. 当 1a0，即 0a 1 时，g(x) 0，所以 g(x)在 上为单调增
12、函数，0，2所以 g(x)g(0)0，符合题意(10 分) 当 1a0，即 a1 时，令 h(x)g(x)1(1 a)cosx axsinx，于是 h(x)(2a 1)sinx axcosx.因为 a1，所以 2a10，从而 h(x)0，所以 h(x)在 上为单调增函数，0，2所以 h(0)h(x)h ，即 2 ah(x) a1，(2) 2亦即 2ag(x) a1.(12 分)2() 当 2a0，即 1a 2 时，g(x)0，所以 g(x)在 上为单调增函数于是 g(x)g(0)0，符合题意(14 分)0，2() 当 2a0，即 a2 时，存在 x0 ，使得(0，2)当 x(0，x 0)时，有
13、 g(x)0，此时 g(x)在(0 ，x 0)上为单调减函数，从而 g(x)g(0)0，不能使 g(x)0 恒成立，综上所述，实数 a 的取值范围为 a2.(16 分)20. (1) 解：由题意，得 a2，a 4，a 6，a 8，成等比数列，且公比 q ，所以(a8a2)13 12a2na 2qn1 .(4 分)(12)n 4(2) 证明：由a n是“J 4 型”数列，得a1，a 5，a 9，a 13，a 17，a 21， 成等比数列，设公比为 t，(6 分)由a n是 “J3 型 ”数列，得a1，a 4，a 7，a 10，a 13，成等比数列，设公比为 1；a2，a 5，a 8，a 11，a 14，成等比数列，设公比为 2；a3，a 6，a 9，a 12，a 15，成等比数列，设公比为 3；则 t 3， t 3， t 3，a13a1 41 a17a5 42 a21a9 43所以 1 2 3，不妨记 1 2 3，且 t ，(12 分)43 于是 a3k2 a 1 k1 a 1( )(3k2) 1 ，3a3k1 a 5 k2 a 1t k2 a 1k a 1( )(3k1) 1 ，23 3a3ka 9 k3 a 1t2 k3 a 1k a 1( )3k1 ，13 3所以 ana 1( )n1 ，故a n为等比数列(16 分)3
