1、 小学奥数专题之-定义新运算 - 1 -定义新运算我们学过的常用运算有：、等.如：235236都是 2 和 3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“”，“”，“”，“”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例 1、设 a、 b 都表示数，规定 ab3a2b，求 32， 23；这个运算 “”
2、有交换律吗？求（17 6）2，17（6 2）；这个运算 “”有结合律吗？如果已知 4b2 ，求 b.分析：解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的 3 倍减去符号后面的数的 2 倍.解： 32332 294523322 3660.由的例子可知“” 没有交换律.要计算（17 6）2，先计算括号内的数，有：1763172639；再计算第二步 3923 392 2113，所以（176）2113.对于 17（62），同样先计算括号内的数，62362214，其次 17143172 1423，所以 17（62）23.由的例子可知“”也没有结合律.因为 4b 3
3、42 b122b，那么 122b 2，解出 b5.例 2、定义运算为 a ba b（ab），求 5 7，75； 求 12（34），（123）4；这个运算 “”有交换律、结合律吗？ 如果 3（5x）3，求 x.解： 5757（ 57）351223 ，7 575（75）351223.要计算 12（3 4），先计算括号内的数，有： 3434（34）5，再计算第二步 125125（125）43，所以 12（34）43.对于（123）4，同样先计算括号内的数，123123（123）21，小学奥数专题之-定义新运算 - 2 -其次 214214（214）59，所以（12 3）459.由于 abab（ab）
4、；bab a（ba）a b（a b ）（普通加法、乘法交换律）所以有 abba ，因此 “”有交换律.由的例子可知，运算“”没有结合律.5x 5x（5 x）4x5；3（5x）3（4x5）3（4x5）（34x5）12x15（4x2） 8x 13那么 8x133 解出 x2.例 3、定义新的运算 a babab. 求 6 2，2 6； 求（1 2） 3， 1 （2 3）；这个运算有交换律和结合律吗？ 解： 6 2626220，2 626 2620.（1 2） 3（ 1212） 35 35353231 （2 3） 1 （2323）1 1111111123.先看“”是否满足交换律：a baba bb
5、ababa a bab（普通加法与乘法的交换律）所以 a bb a，因此“”满足交换律.再看“”是否满足结合律：（a b） c（abab） c（a b ab）cababc abc acbcab abc.a （b c）a （bcbc）a （b cbc）abcbc abc abaca bcbc小学奥数专题之-定义新运算 - 3 -abc ac bcab abc.（普通加法的交换律）所以（a b） ca （b c），因此“”满足结合律.说明：“”对于普通的加法不满足分配律，看反例：1 （2 3）1 5151511；1 2 1 312 1213135 712；因此 1 （23） 1 21 3.例 4、
6、有一个数学运算符号“”，使下列算式成立： 248，5313，3511，9725，求 73？解：通过对 248，5 313，3511，97 25 这几个算式的观察，找到规律：ab2ab，因此 7327317.例 5、x、y 表示两个数，规定新运算“*”及“”如下：x*y=mx+ny，x y=kxy，其中 m、n、k 均为自然数，已知 1*2=5，（2*3） 4=64，求（12）*3 的值.分析：我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求 12）*3 的值，首先我们要计算 12，根据“”的定义： 12=k12=2k，由于 k 的值不知道，所以首先要计算出 k 的值，k 值求出后，l 2 的值也就计
7、算出来了.我们设 12=a， (12）* 3=a*3，按“*”的定义： a*3=ma+3n，在只有求出 m、n 时，我们才能计算 a*3 的值.因此要计算（ 12）*3 的值，我们就要先求出 k、m 、n 的值.通过 1*2 =5 可以求出 m、n 的值，通过（2*3） 4=64 求出 k 的值.解：因为 1*2=m1+n2=m+2n，所以有 m+2n=5.又因为 m、n 均为自然数，所以解出：当 m=1，n=2 时：（2*3）4=（12+23）4=84=k 84=32k有 32k=64，解出 k=2.当 m=3，n=1 时：（2*3）4=（32+13）4=94=k 94=36k有 36k=6
8、4，解出 k= ，这与 k 是自然数矛盾，因此 m=3，n =1，k=71 971这组值应舍去.所以 m=l，n=2 ，k=2.（12）*3=（212）*3=4 *3=14+23=10.在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运m=1n =2m=2n = （舍去）23m=3n =1小学奥数专题之-定义新运算 - 4 -算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题.课后习题1.a*b 表示 a 的 3 倍减去 b 的 ，例如
9、：211*2=13 2 =2，根据以上的规定，计算：110*6； 7*（2*1） .2.定义新运算为 ab ，求 2（ 34）的值； 若 x41.35，则 x？3.有一个数学运算符号，使下列算式成立： = ， = ， = ，求 的值.216597416574213544.定义两种运算“”、 “”，对于任意两个整数 a、b，abab1， a b=ab1，计算 4（6 8）（35）的值；若 x（ x4）=30 ，求 x 的值.5.对于任意的整数 x、y，定义新运算“”，xy= （其中 m 是一个确定的整数），2m6如果 12=2，则 29=？6.对于数 a、 b 规定运算“ ”为 ab=（a1）（
10、1b），若等式（a a ）（a1）=（a1）（a a）成立，求 a 的值.7.“*”表示一种运算符号，它的含义是：x*y= ，y） （ Ay1x已知 2*1= = ，求 1998*1999 的值.） （ 2328.ab= ，在 x（51）=6 中，求 x 的值.b9.规定 ab=a（a1）（a2）（ab1），（a 、b 均为自然数，ba）如小学奥数专题之-定义新运算 - 5 -果x10=65 ，那么 x=？10.我们规定：符号表示选择两数中较大数的运算，例如：53=35=5，符号表示选择两数中较小数的运算，例如：53=35=3 ，计算：=？)25.10637()94.0(.26.课后习题解答1
11、.2. 3.所以有 5x-2=30，解出 x=6.4小学奥数专题之-定义新运算 - 6 -左边：8.解：由于9.解：按照规定的运算：x10=x +（x+1）+（x+2）+ （x+101）=10x +（1+2+3+9）=10x + 45小学奥数专题之-定义新运算 - 7 -因此有 10x + 45=65，解出 x=2.定义新运算我们学过的常用运算有：、等.如：235236都是 2 和 3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数
12、与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“”，“”，“”，“”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例 1、设 a、 b 都表示数，规定 ab3a2b，求 32， 23；这个运算 “”有交换律吗？求（17 6）2，17（6 2）；这个运算 “”有结合律吗？如果已知 4b2 ，求 b.小学奥数专题之-定义新运算 - 8 -例 2、定义运算为 a ba b（ab），求 5 7，75； 求 12（34），（123）4；这个运算 “”有交换律、结合律吗？ 如果 3（5x）3，求 x.例 3、定义新的运算 a
13、babab. 求 6 2，2 6； 求（1 2） 3， 1 （2 3）；这个运算有交换律和结合律吗？ 例 4、有一个数学运算符号“”，使下列算式成立： 248，5313，3511，9725，求 73？小学奥数专题之-定义新运算 - 9 -例 5、x、y 表示两个数，规定新运算“*”及“”如下：x*y=mx+ny，x y=kxy，其中 m、n、k 均为自然数，已知 1*2=5，（2*3） 4=64，求（12）*3 的值.课后习题1.a*b 表示 a 的 3 倍减去 b 的 ，例如：211*2=13 2 =2，根据以上的规定，计算：110*6； 7*（2*1） .2.定义新运算为 ab ，1求 2（ 34）的值； 若 x41.35，则 x？小学奥数专题之-定义新运算 - 10 -3.有一个数学运算符号，使下列算式成立： = ， = ， = ，求 的值.2163549716574213544.定义两种运算“”、 “”，对于任意两个整数 a、b，abab1， a b=ab1，计算 4（6 8）（35）的值；若 x（ x4）=30 ，求 x 的值.5.对于任意的整数 x、y，定义新运算“”，xy= （其中 m 是一个确定的整数），2m6如果 12=2，则 29=？
