1、 1-1 。 分析与解 (1) 质点在t 至(t t)时间内沿曲线从P 点运动到P点,各量关系如图所示, 其中路程s PP, 位移大小 r PP,而r r-r表示 质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等( 注：在直线运动中有相等的可能) 但当 t0 时,点P无限趋近P点,则有dr ds,但却不等于dr 故选(B)(2) 由于r s,故 ,即 tsrv但由于drds,故 ,即 由此可 见, 应选(C)td1-2。 分析与解 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率通常用符tr号v r表示 ,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量； 表示速度矢量；在
2、自然坐标系中速度大小可用公式tdr计算,在直角坐标系中则可由公式 求解故选(D) tsd 22tytxv1-3 。分析与解 表示切向加速度a ,它表示速度大小随时间的变化率,是加速度矢量沿速度方向的tdv一个分量,起改变速度大小的作用； 在极坐标系中表示径向速率v r(如题1 -2 所述)； 在自然坐标系中tr tsd表示质点的速率v ；而 表示加速度的大小而不是切向加速度a 因此只有(3) 式表达是正确的故选(D) td1-4 。分析与解 加速度的切向分量a 起改变速度大小的作用,而法向分量a n起改变速度方向的作用质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因
3、而法向加速度是一定改变的至于a 是否改 变,则要视质点的速率情况而定质点作匀速率圆周运动时, a 恒为零；质点作匀变速率圆周运动时, a 为 一不为零的恒量 ,当a 改变时,质点则作一般的 变速率圆周运动由此可见,应选(B)1-5 。分析与解 本题关键是先求得小船速度表达式,进而判断运动性质为此建立如图所示坐标系,设定滑轮距水面高度为h,t 时刻定滑 轮距小船的绳长为l ,则小船的运 动方程为 ,其中绳长l 随时2hlx间t 而变化小船速度 ,式中 表示绳长l 随时间的变化率,其大小即为v 0,代入整理后2dhlttxvt为 ,方向沿x 轴负向由速度表达式,可判断小船作变加速运动故选(C)lh
4、lcos/020v1-6 分析 位移和路程是两个完全不同的概念只有当 质点作直线运动且运动方向不改变时,位移的大小才会与路程相等质点在t 时间内的位移x 的大小可直接由运动方程得到： ,而在求路程时,0xt就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向,此时,位移的大小和路程就不同了 为此,需根据来确定其运动方向改变的时刻t p ,求出0t p 和t pt 内的位移大小x 1 、x2 ,则t 时间内的路程0dx,如图所示,至于t 4.0 s 时质点速度和加速度可用 和 两式计算21s td解 (1) 质点在4.0 s内位移的大小 m3204x(2) 由 得知质点的换向时刻为 (t0不合题意)0d
5、tx s2pt则 ,m.821m4242x所以,质点在4.0 s时间间隔内的路程为 81s(3) t4.0 s时 , s0.4dtxv, 2s0.4236ta1-7 分析 根据加速度的定义可知,在直线运动中v-t曲线的斜率为加速度的大小( 图中AB 、CD 段斜率为定值,即匀变速直线运动；而线段BC 的斜率为0,加速度为 零,即匀速直线运动)加速度为恒量,在a-t 图上是平行于t 轴的直线,由v -t 图中求出各段的斜率,即可作出a- t 图线又由速度的定义可知,x-t 曲线的斜率为速度的大小因此,匀速直线 运动所对应的x -t 图应是一直线,而匀变速直线运动所对应的xt 图为t 的二次曲线根
6、据各段时间内的运 动方程x x(t),求出不同时刻 t 的位置x,采用描数据点的方法,可作出x- t 图解 将曲线分为AB、BC、CD 三个过程,它们对应的加速度值分别为(匀加速直线运动), (匀速直线运动)2sm0ABAtav 0BCa(匀减速直线运动)21CDCt根据上述结果即可作出质点的a-t 图图(B)在匀变速直线运动中,有 20txv由此,可计算在02和46时间间隔内各时刻的位置分别为用描数据点的作图方法,由表中数据可作02和46 时间内的x -t 图在 24 时间内, 质点是作的匀速直线运动, 其x -t 图是斜率k 20的一段直线图(c)1smv1-8 分析 质点的轨迹方程为y
7、f (x),可由运动方程的两个分量式 x(t)和y( t)中消去t 即可得到对于r、r、r、s 来说,物理含义不同 ,可根据其定义计算其中对s 的求解用到积分方法,先在轨迹上任取一段微元ds ,则 ,最后用 积分求 2)d(xd解 (1) 由x(t) 和y (t)中消去t 后得质点轨迹方程为, 241y这是一个抛物线方程,轨迹如图(a)所示(2) 将t 0和t 2分别代入运 动方程,可得相应位矢分 别为, jrji4图(a)中的P、Q 两点,即为t 0和t 2时质点所在位置(3) 由位移表达式,得 jijir 24)()(0201 yx其中位移大小 m6.5)(2yxr而径向增量 7.2020
8、r*(4) 如图(B) 所示 ,所求s 即为图中PQ段长度,先在其间任意处取AB 微元ds,则 ,2)d(yx由轨道方程可得 ,代入ds,则2内路程为xy1m9.54d0sQP1-9 分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向解 (1) 速度的分量式为, ttx601dv tty4015dv当t 0 时, v ox -10 m -1 , voy 15 m -1 ,则初速度大小为120sm.8y设v o与x 轴的夹角为,则1234123tan0xyv(2) 加速度的分量式为, 2sm6dtx 2sm40dtayv则加速度的大小为 221.7yx
9、设a 与x 轴的夹角为 ,则,-3341( 或32619)32tnxy1-10 分析 在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下,一种处理方法是取地面为参考系,分别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动,列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程y 1 y 1(t)和y 2 y 2(t),并考虑它们相遇,即位矢相同这一条件,问题即可解；另一种方法是取升降机(或螺丝) 为 参考系,这时,螺丝(或升降机)相对它作匀加速运动,但是,此加速度应该是相对加速度升降机厢的高度就是螺丝(或升降机)运动的路程解1 (1) 以地面为参考系,取如图所示的坐标系,升降机与螺丝的运动方程分别为201a
10、tyv201gthyv当螺丝落至底面时,有y 1 y 2 ,即020gthts75.a(2) 螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为 m716.202tydv解2 (1)以升降机为参考系,此时,螺丝相对它的加速度大小ag a,螺丝落至底面时,有2)(1tahs705.2aght(2) 由于升降机在t 时间内上升的高度为则 201athv m716.0hd1-11 分析 该题属于运动学的第一类问题,即已知运动方程r r(t)求质点运动的一切信息( 如位置矢量、位移、速度、加速度)在确定运动方程时,若取以点(0,3) 为原点的Oxy 坐标系,并采用参数方程xx(t)和y y (t)来表示 圆周运动是
11、比较方便的然后,运用坐标变换x x0 x和y y0 y,将所得参数方程转换至Oxy 坐标系中,即得Oxy 坐标系中质点P 在任意时刻的位矢采用对运动方程求导的方法可得速度和加速度解 (1) 如图(B)所示,在Oxy坐 标系中,因 ,则质tT2点P 的参数方程 为, tRxsintTy2co坐标变换后,在Oxy 坐标系中有, tTR2sinRtTy2cos0则质点P 的位矢方程为 jir ttRcssn ji)1.0(cos3)1.0(sin3tt(2) 5时 的速度和加速度分别为 jji )sm.(2si2osd 1tTRtTtv ira 03co)(n)( 221-12 分析 为求杆顶在地面
12、上影子速度的大小,必须建立影长与时间的函数关系,即影子端点的位矢方程根据几何关系,影长可通 过太阳光线对地转动的角速度求得由于运动的相对性,太阳光线对地转动的角速度也就是地球自转的角速度 这样,影子端点的位矢方程和速度均可求得解 设太阳光线对地转动的角速度 为 ,从正午时分开始计时,则杆的影长为s htgt,下午200 时,杆顶在地面上影子的速度大小为 132m094.1cosdthtv当杆长等于影长时,即s h,则 s634artn1t即为下午300 时1-13 分析 本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用积分方法解决由 和 可得 和 如aa(t)或v v
13、 (t),则可两边直接积分如果a 或tadvtxtadvxv不是时间t 的 显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分解 由分析知,应有 ta00v得 (1)0314vvt由 tx0d0得 (2)0421xttxv将t3时,x9 m,v2 m -1代入(1) (2)得v 0-1 m-1,x00.75 m于是可得质点运动方程为75.24tx1-14 分析 本题亦属于运动学第二类问题,与上题不同之处在于加速度是速度v的函数,因此,需将式dv a( v)dt 分离变量为 后再两边积分ta)(解 选取石子下落方向为y 轴正向,下落起点为坐标原点(1) 由题意知 (1)vBAtd用分离变
14、量法把式(1)改写为(2)tBAv将式(2)两边积分并考虑初始条件,有得石子速度 t0d0v )1(BteAv由此可知当,t时, 为 一常量,通常称为极限速度或收尾速度BA(2) 再由 并考虑初始条件有)1(dtetyv得石子运动方程tBAty)(0 )1(2BteAty1-15 分析 与上两题不同处在于质点作平面曲线运动,根据叠加原理,求解时需根据加速度的两个分量ax 和a y分别积分 ,从而得到运 动方程r的两个分量式x(t )和y( t)由于本 题中质点加速度为恒矢量,故两次积分后所得运动方程为固定形式,即 和 ,两个分运动均为匀变速直线201taxxv201tayyv运动读者不妨自己验
15、证一下解 由加速度定义式,根据初始条件 t0 0时v 0 0,积分可得tt00)d46(djiav jit46又由 及初始条件t0 时,r 0(10 m)i ,积分可得rttr t00)d46(d0 jiv ji2)31(t由上述结果可得质点运动方程的分量式,即x 103t 2 y 2t 2消去参数t,可得运动的轨迹方程 3y 2x -20 m这是一个直线方程直线斜率 ,3341 轨迹如图所示tandk1-16 分析 瞬时加速度和平均加速度的物理含义不同,它们分别表示为 和 在匀速率tdvat圆周运动中,它们的大小分别为 , ,式中 v可由图(B)中的几何关系得到,而t 可由转Ran2vt过的
16、角度 求出由计算结果能清楚地看到两者之间的关系,即瞬时加速度是平均加速度在t0 时的极限值解 (1) 由图(b)可看到v v 2 -v1 ,故而 cos121)cos(vRst所以Rta)cs(22vv(2) 将90,30,10,1分别代入上式,得, ,Ra21903.2986.a23987.0Ra240.1v以上结果表明,当0 时,匀速率圆周运动的平均加速度趋近于一极限值,该值即为法向加速度 R2v1-17 分析 根据运动方程可直接写出其分量式x x (t)和 y y(t),从中消去参数t,即得质点的轨迹方程平均速度是反映质点在一段 时间内位置的变化率,即 ,它与时间间隔t 的大小有关,当t
17、0 时,rv平均速度的极限即瞬时速度 切向和法向加速度是指在自然坐 标下的分矢量a 和a n ,前者只反映质tdrv点在切线方向速度大小的变化率,即 ,后者只反映 质点速度方向的变化,它可由总加速度a 和a 得ttea到在求得t 1 时刻质点的速度和法向加速度的大小后,可由公式 求 n2v解 (1) 由参数方程 x 2.0t , y 19.0-2.0t 2消去t 得质点的轨迹方程：y 19.0 -0.50 x2(2) 在t 1 1.00 到t 2 2.0 时间内的平均速度jir0.612ttv(3) 质点在任意时刻的速度和加速度分别为jijiji ttyxtyx .42d)( jjia2220
18、.4d)( smtyxt则t1 1.00时的速度v(t) t 1 2.0 i -4.0j切向和法向加速度分别为ttyxtt eeea 22s1 sm58.3)(d v nntnaee22s79.1(4) t 1.0质点的速度大小 为则12sm47.yxvm17.2nav1-18 分析 物品空投后作平抛运动忽略空气阻力的条件下,由运动独立性原理知,物品在空中沿水平方向作匀速直线运动,在竖直方向作自由落体运动到达地面目标时,两方向上运动时间是相同的因此 ,分别列出其运动方程,运用时间相等的条件,即可求解此外,平抛物体在运动过程中只存在竖直向下的重力加速度为求特定时刻t 时物体的切向加速度和法向加速
19、度,只需求出该时刻它们与重力加速度之间的夹角 或由 图可知,在特定时刻t,物体的切向加速度和水平线之间的夹角,可由此时刻的两速度分量v x 、vy求出,这样,也就可将重力加速度g 的切向和法向分量求得解 (1) 取如图所示的坐标,物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为x vt , y 1/2 gt2飞机水平飞行速度v100 ms -1 ,飞机离地面的高度y100 m,由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离 m452gyx(2) 视线和水平线的夹角为 o.1arctnxy(3) 在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为 vgtxyarcarct取自然坐标,物品在抛出2s 时,重力加速度的切向分量
20、与法向分量分别为 2sm8.1arctnsiingt 26.9rtocvan1-19 分析 这是一个斜上抛运动,看似简单,但针对题目所问,如不能灵活运用叠加原理,建立一个恰当的坐标系,将运动分解的话,求解起来并不容易 现建立如图 (a)所示坐标系,则炮弹在x 和y 两个方向的分运动均为匀减速直线运动,其初速度分别为v 0cos和v 0sin,其加速度分别为gsin和gcos在此坐 标系中炮弹落地时,应有y 0,则x OP如欲使炮弹垂直击中坡面,则应满足v x 0,直接列出有关运动方程和速度方程,即可求解由于本题中加速度 g 为恒矢量故第一 问也可由运 动方程的矢量式计算,即 ,做出20g1tv
21、r炮弹落地时的矢量图如图(B) 所示,由图中所示几何关系也可求得 (即图中的r 矢量)OP解1 由分析知,炮弹在图(a)所示坐标系中两个分运动方程 为(1) (2)gttxsin21co0v gttycos21sin0v令y 0 求得时间t 后再代入式(1) 得 )cs(oi)sico(sci 2020 ggxOP 解2 做出炮弹的运动矢量图 ,如图(b)所示,并利用正弦定理,有从中消去t 后也可得到同样结果gtsin21sin2sin0vr(2) 由分析知,如炮弹垂直击中坡面应满足y 0 和v x 0, 则(3)0sico0gtxv由(2)(3)两式消去t 后得sin21a由此可知只要角和满足上式,炮弹就能垂直击中坡面,而与v 0 的大小无关讨论 如将炮弹的运动按水平和 竖直两个方向分解,求解本题将会比较困难,有兴趣读者不妨自己体验一下1-20 分析 选 定伞边缘O 处的雨滴为研究对象,当伞以角速度旋转时,雨滴将以速度v 沿切线方向飞出,并作平抛运动建立如图(a)所示坐标系,列出雨滴的运动 方程并考虑图中所示几何关系,即可求证由此可以想像如果让水从一个旋转的有很多小孔的喷头中飞出,从不同小孔中飞出的水滴将会落在半径不同的圆周上,为保证均匀喷洒对喷头上小孔的分布
