1、 九年级数学专项训练二次函数 第 1 页二次函数中以三角形为主的中考压轴题（等腰三角形、直角三角形、相似三角形）问题解析精选【例 1】 （2013 抚顺）如图 1，已知直线 y=x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B， 抛物线 y=x2+bx+c 经过 A、B 两点，与 x 轴交于另一个点 C，对称轴与直线 AB 交于点 E，抛物线顶点为 D（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内，F 为抛物线上一点，以 A、E、F 为顶点的三角形面积为 3，求点 F 的坐标；（3）点 P 从点 D 出发，沿对称轴向下以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为 t 秒，当 t 为何值时
2、，以 P、B、C 为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的 t 值考点： 二次函数综合题分析： （1）先由直线 AB 的解析式为 y=x+3，求出它与 x 轴的交点 A、与 y 轴的交点 B 的坐标，再将 A、B 两点的坐标代入 y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）设第三象限内的点 F 的坐标为（m ， m22m+3） ，运用配方法求出抛物线的对称轴及顶点 D 的坐标，再设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 G，连接 FG，根据 SAEF=SAEG+SAFGSEFG=3，列出关于 m 的方程，解方程求出 m 的值，进而得出点 F 的坐标；（3）设 P 点坐标为
3、（ 1，n） 先由 B、C 两点坐标，运用勾股定理求出 BC2=10，再分三种情况进行讨论：PBC=90 ，先由勾股定理得出 PB2+BC2=PC2，据此列出关于n 的方程，求出 n 的值，再计算出 PD 的长度，然后根据时间=路程速度，即可求出此九年级数学专项训练二次函数 第 2 页时对应的 t 值；BPC=90，同可求出对应的 t 值； BCP=90，同可求出对应的 t 值解答： 解：（1）y=x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，当 y=0 时，x=3，即 A 点坐标为（ 3，0） ，当 x=0 时，y=3，即 B 点坐标为（0，3） ，将 A（3，0） ，B （0，3）代
4、入 y=x2+bx+c，得 ，解得 ，抛物线的解析式为 y=x22x+3；（2）如图 1，设第三象限内的点 F 的坐标为（m ， m22m+3） ，则m0，m 22m+30y=x22x+3=（x+1 ） 2+4，对称轴为直线 x=1，顶点 D 的坐标为（ 1，4） ，设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 G，连接 FG，则 G（1，0） ，AG=2直线 AB 的解析式为 y=x+3，当 x=1 时，y= 1+3=2，E 点坐 标为（1，2） SAEF=SAEG+SAFGSEFG= 22+ 2（m 2+2m3） 2（1 m）=m 2+3m，以 A、 E、F 为顶点的三角形面积为 3 时，m 2+3m
5、=3，解得 m1= ，m 2= （舍去） ，当 m= 时， m22m+3=m23m+m+3=3+m+3=m= ，点 F 的坐标为（ ， ） ；（3）设 P 点坐标为（ 1，n） B（0，3） ，C（1，0） ，BC2=12+32=10九年级数学专项训练二次函数 第 3 页分三种情况：如图 2，如果PBC=90 ，那么 PB2+BC2=PC2，即（0+1） 2+（n3） 2+10=（1+1） 2+（n0） 2，化简整理得 6n=16，解得 n= ，P 点坐标为（1， ） ，顶点 D 的坐标为（ 1，4） ，PD=4 = ，点 P 的速度为每秒 1 个单位长度，t1= ；如图 3，如果BPC=90
6、 ，那么 PB2+PC2=BC2，即（0+1） 2+（n3） 2+（1+1） 2+（n 0） 2=10，化简整理得 n23n+2=0，解得 n=2 或 1，P 点坐标为（1，2）或（ 1，1） ，顶点 D 的坐标为（ 1，4） ，PD=42=2 或 PD=41=3，点 P 的速度为每秒 1 个单位长度，t2=2，t 3= 3；如图 4，如果BCP=90 ，那么 BC2+PC2=PB2，即 10+（1+1） 2+（n0） 2=（ 0+1） 2+（n 3） 2，化简整理得 6n=4，解得 n= ，P 点坐标为（1， ） ，顶点 D 的坐标为（ 1，4） ，PD=4+ = ，点 P 的速度为每秒 1
7、 个单位长度，t4= ；综上可知，当 t 为 秒或 2 秒或 3 秒或 秒时，以 P、B 、C 为顶点的三角形是直角三九年级数学专项训练二次函数 第 4 页角形九年级数学专项训练二次函数 第 5 页点评： 本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，函数图象上点的坐标特征，抛物线的顶点坐标和三角形的面积求法，直角三角形的性质，勾股定理综合性较强，难度适中 （2）中将AEF 的面积表示成 SAEG+SAFGSEFG，是解题的关键；（ 3）中由于没有明确哪一个角是直角，所以每一个点都可能是直角顶点，进行分类讨论是解题的关键【例 2】 （2013 大连）如图，抛
8、物线 y= x2+ x4 与 x 轴相交于点 A、B ，与 y 轴相交于点 C，抛物线的对称轴与 x 轴相交于点 MP 是抛物线在 x 轴上方的一个动点（点P、M、 C 不在同一条直线上） 分别过点 A、B 作直线 CP 的垂线，垂足分别为 D、E，连接点 MD、ME （1）求点 A，B 的坐标（直接写出结果） ，并证明MDE 是等腰三角形；（2）MDE 能否为等腰直角三角形？若能，求此时点 P 的坐标；若不能，说明理由；（3）若将“P 是抛物线在 x 轴上方的一个动点（点 P、M、C 不在同一条直线上） ”改为“ P 是抛物线在 x 轴下方的一个动点”，其他条件不变，MDE 能否为等腰直角三
9、角形？若能，求此时点 P 的坐标（直接写出结果） ；若不能，说明理由考点： 二次函数综合题九年级数学专项训练二次函数 第 6 页分析： （1）在抛物线解析式中，令 y=0，解一元二次方程，可求得点 A、点 B 的坐标；如答图 1 所示，作辅助线，构造全等三角形AMF BME，得到点 M 为为 RtEDF斜边 EF 的中点，从而得到 MD=ME，问题得证；（2）首先分析，若MDE 为等腰直角三角形，直角顶点只能是点 M如答图 2 所示，设直线 PC 与对称轴交于点 N，首先证明ADMNEM，得到 MN=AM，从而求得点N 坐标为（3，2） ；其次利用点 N、点 C 坐标，求出直线 PC 的解析式
10、；最后联立直线PC 与抛物线的解析式，求出点 P 的坐标（3）当点 P 是抛物线在 x 轴下方的一个动点时，解题思路与（2）完全相同解答： 解：（1）抛物线解析式为 y= x2+ x4，令 y=0，即 x2+ x4=0，解得 x=1 或 x=5，A （1，0） ，B （5，0） 如答图 1 所示，分别延长 AD 与 EM，交于点 FADPC，BE PC， ADBE， MAF=MBE在AMF 与 BME 中，AMFBME（ASA） ，ME=MF，即点 M 为 RtEDF 斜边 EF 的中点，MD=ME，即MDE 是等腰三角形（2）答：能抛物线解析式为 y= x2+ x4= （x 3） 2+ ，对
11、称轴是直线 x=3，M（3， 0） ；令 x=0，得 y=4，C （0，4） MDE 为等腰直角三角形，有 3 种可能的情形：若 DEEM，由 DEBE，可知点 E、M、B 在一条直线上，而点 B、M 在 x 轴上，因此点 E 必然在 x 轴上，由 DEBE，可知点 E 只能与点 O 重合，即直线 PC 与 y 轴重合，九年级数学专项训练二次函数 第 7 页不符合题意，故此种情况不存在；若 DEDM，与同理可知，此种情况不存在；若 EMDM，如答图 2 所示：设直线 PC 与对称轴交于点 N，EMDM，MNAM，EMN=DMA在ADM 与 NEM 中，ADMNEM（ASA ） ，MN=MA抛物
12、线解析式为 y= x2+ x4= （x 3） 2+ ，故对称轴是直线 x=3，M（3，0） ，MN=MA=2 ，N（ 3， 2） 设直线 PC 解析式为 y=kx+b，点 N（3，2） ，C（0，4）在抛物线上， ，解得 k=2，b=4，y=2x 4将 y=2x4 代入抛物线解析式得：2x4= x2+ x4，解得：x=0 或 x= ，当 x=0 时，交点为点 C；当 x= 时，y=2x4=3P（ ，3） 综上所述，MDE 能成为等腰直角三角形，此时点 P 坐标为（ ，3） （3）答：能如答题 3 所示，设对称轴与直线 PC 交于点 N与（2）同理，可知若MDE 为等腰直角三角形，直角顶点只能是
13、点 M九年级数学专项训练二次函数 第 8 页MDME，MAMN，DMN= EMB在DMN 与 EMB 中，DMNEMB（ASA） ，MN=MBN（ 3， 2） 设直线 PC 解析式为 y=kx+b，点 N（3，2） ，C（0， 4）在抛物线上， ，解得 k= ，b= 4，y= x4将 y= x4 代入抛物线解析式得： x4= x2+ x4，解得：x=0 或 x= ，当 x=0 时，交点为点 C；当 x= 时，y= x4= P（ ， ） 综上所述，MDE 能成为等腰直角三角形，此时点 P 坐标为（ ， ） 点评： 本题是二次函数综合题型，考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角
14、形的判定与性质、等腰直角三角形、解方程等知识点，题目难度较大第（2） （3）问均为存在型问题，且解题思路完全相同，可以互相借鉴印证【例 3】 （2013 凉山州）如图，抛物线 y=ax22ax+c（a0）交 x 轴于 A、B 两点，A 点坐标为（3，0） ，与 y 轴交于点 C（0，4） ，以 OC、OA 为边作矩形 OADC 交抛物线于点 G（1）求抛物线的解析式；九年级数学专项训练二次函数 第 9 页（2）抛物线的对称轴 l 在边 OA（不包括 O、A 两点）上平行移动，分别交 x 轴于点 E，交CD 于点 F，交 AC 于点 M，交抛物线于点 P，若点 M 的横坐标为 m，请用含 m 的
15、代数式表示 PM 的长；（3）在（2）的条件下，连结 PC，则在 CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点 P，使得以P、C、 F 为顶点的三角形和AEM 相似？若存在，求出此时 m 的值，并直接判断PCM 的形状；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）将 A（3，0） ，C（0，4）代入 y=ax22ax+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先根据 A、C 的坐标，用待定系数法求出直线 AC 的解析式，进而根据抛物线和直线AC 的解析式分别表示出点 P、点 M 的坐标，即可得到 PM 的长；（3）由于PFC 和 AEM 都是直角，F 和 E 对应，则若以 P、C、F
16、为顶点的三角形和AEM相似时，分两种情况进行讨论： PFCAEM，CFPAEM ；可分别用含 m 的代数式表示出 AE、EM、CF 、PF 的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出 m 的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出PCM 的形状解答：解：（1）抛物线 y=ax22ax+c（a 0）经过点 A（3，0） ，点 C（0，4） ， ，解得 ，抛物线的解析式为 y= x2+ x+4；（2）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，A（ 3， 0） ，点 C（0，4） ， ，解得 ，直线 AC 的解析式为 y= x+4点 M 的横坐标为 m，点 M 在 AC
17、上，M 点的坐标为（ m， m+4） ，九年级数学专项训练二次函数 第 10 页点 P 的横坐标为 m，点 P 在抛物线 y= x2+ x+4 上，点 P 的坐标为（m， m2+ m+4） ，PM=PEME=（ m2+ m+4）（ m+4）= m2+4m，即 PM= m2+4m（0m3） ；（3）在（2）的条件下，连结 PC，在 CD 上方的抛物线部分存在这样的点 P，使得以P、C、 F 为顶点的三角形和AEM 相似理由如下：由题意，可得AE=3m，EM= m+4，CF=m，PF= m2+ m+44= m2+ m若以 P、C、F 为顶点的三角形和AEM 相似，分两种情况： 若 PFCAEM，则PF：AE=FC ：EM，即（ m2+ m）：（3m）=m：（ m+4） ，m0 且 m3，m= PFCAEM，PCF=AME，AME=CMF，PCF=CMF 在直角CMF 中，CMF+MCF=90 ，PCF+MCF=90，即PCM=90，PCM 为直角三角形；若CFP AEM，则 CF：AE=PF：EM，即 m：（3m） =（ m2+ m）：（ m+4） ，m0 且 m3，m=1CFPAEM，CPF=AME，AME=CMF，CPF=CMF CP=CM，PCM 为等腰三角形综上所述，存在这样的点 P 使PFC 与 AEM 相似此时 m 的值为 或 1，PCM 为直角三角形或等腰三角形
