1、方法归纳利用勾股定理解决折叠问题一、利用勾股定理解决平面图形的折叠问题【例 1】 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC=5 cm，BC=10 cm，将ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 CD 的长为( )A. cm B. cm C. cm D. cm25152254154【分析】图中 CD 在 RtACD 中，由于 AC 已知，要求 CD，只需求 AD，由折叠的对称性，得 AD=BD，注意到CD+BD=BC，利用勾股定理即可解之.【方法归纳】折叠问题是近几年来中考中的常见题型.解折叠问题关键是抓住对称性.勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，可
2、由此列出方程，运用方程思想分析问题和解决问题，以便简化求解.1.如图所示，有一块直角三角形纸片，C=90，AC=4 cm，BC=3 cm，将斜边 AB 翻折，使点 B 落在直角边 AC 的延长线上的点 E 处，折痕为 AD，则 CE 的长为( )A.1 cm B.1.5 cm C.2 cm D.3 cm2.(2014青岛)如图，将长方形 ABCD 沿 EF 折叠，使顶点 C 恰好落在 AB 边的中点 C上，若 AB6，BC9 ，则 BF的长为( )A.4 B.3 C.4.5 D.523.如图，长方形纸片 ABCD 中，已知 AD=8，折叠纸片使 AB 边与对角线 AC 重合，点 B 落在点 F
3、 处，折痕为 AE，且EF=3，则 AB 的长为( )A.3 B.4 C.5 D.64.如图，长方形 ABCD 的边 AD 沿折痕 AE 折叠，使点 D 落在 BC 上的 F 处，已知 AB=6，ABF 的面积是 24，则 FC等于( )A.1 B.2 C.3 D.45.如图，四边形 ABCD 是边长为 9 的正方形纸片，将其沿 MN 折叠，使点 B 落在 CD 边上的 B处，点 A 对应点为A，且 BC=3，则 AM 的长为( )A.1.5 B.2 C.2.25 D.2.56.如图所示，在ABC 中，B=90，AB=3，AC=5，将 ABC 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕为 DE，则A
4、BE 的周长为_.7.如图，在 RtABC 中，C=90 ，BC=6 cm，AC=8 cm，按图中所示方法将BCD 沿 BD 折叠，使点 C 落在 AB 边的 C点，那么ADC的面积是_.8.如图，已知 RtABC 中，C=90，AC=6 ，BC=8 ，将它的锐角 A 翻折，使得点 A 落在 BC 边的中点 D 处，折痕交 AC 边于点 E，交 AB 边于点 F，则 DE 的值为_.二、利用勾股定理解决立体图形的展开问题【例 2】 如图，圆柱形玻璃杯，高为 12 cm，底面周长为 18 cm，在杯内离杯底 4 cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4 cm 与蜂蜜相
5、对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_cm.【分析】将圆柱形平面展开，将 A、C 两点放在同一平面内,然后利用勾股定理进行计算.【方法归纳】在曲面上求两点之间的最短距离，根据“两点之间线段最短”和“化曲面为平面”两种思想，利用勾股定理解决.解决本题时要注意展开后有一直角边长是 9 cm 而不是 18 cm.9.如图，一圆柱体的底面周长为 24 cm，高 AB 为 5 cm，BC 是直径，一只蚂蚁从点 A 出发沿着圆柱体的表面爬行到点 C 的最短路程是( )A.6 cm B.12 cm C.13 cm D.16 cm10.如图，在一个长为 2 m，宽为 1 m 的长方形草地上，放着一根长方
6、体的木块，它的棱和场地宽 AD 平行且棱长大于 AD，木块从正面看是边长为 0.2 m 的正方形，一只蚂蚁从点 A 处到达 C 处需要走的最短路程是_m（精确到 0.01 m）.11.一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒.长方体高 6 cm，底面是边长为 4 cm 的正方形，从顶点 A 到顶点 C如何贴彩带用的彩带最短？最短长度是多少？12.如图，一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙 )，有一只蚂蚁从柜角 A 处沿着木柜表面爬到柜角 C1 处.(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当 AB=4，BC=4，CC 1=5 时，求蚂蚁爬过的最短路径的长 .参考答案例
7、1 要使 A，B 两点重合，则折痕 DE 必为 AB 的垂直平分线.设 CD=x，则 AD=BD=10-x.在 RtACD 中，由勾股定理，得 x2+52=(10-x)2.解得 x= .154故应选 D.变式练习1.A 2.A 3.D 4.B 5.B 6.7 7.6 cm2 8. 3例 2 如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点 A 竖直剖开）后，侧面是一个长 18 cm，宽 12 cm 的长方形，作点 A 关于杯上沿 MN 的对称点 B，连接 BC 交 MN 于点 P，连接 BM，过点 C 作 AB 的垂线交剖开线 MA 于点 D.由轴对称的性质和三角形三边关系知 AP+PC 为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离
8、，且 AP=BP.由已知和长方形的性质，得 DC=9,BD=12.在 RtBCD 中，由勾股定理得 BC= = =15.2DCB291AP+PC=BP+PC=BC=15.即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 15 cm.变式练习9.C 10.2.6011.把长方体的面 DCCD沿棱 CD 展开至面 ABCD 上，如图.构成矩形 ABCD，则 A 到 C的最短距离为AC的长度，连接 AC交 DC 于 O，易证AODCOC. OD=OC.即 O 为 DC 的中点，由勾股定理得 AC 2=AD 2+DC 2=82+62=100,AC=10 cm.即从顶点 A 沿直线到 DC 中点 O，再沿直线到顶点 C，贴的彩带最短，最短长度为 10 cm.12.(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形 ABC1D 1 和 ACC1A1.蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的AC1和 AC1 两种.(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段 A1B1 到 C1，爬过的路径的长 l1= = .224597蚂蚁沿着木柜表面经线段 BB1 到 C1，爬过的路径的长 l2= = .8l 1l2，最短路径的长是 .89
