1、1集合与简易逻辑一、考点回顾1、集合的含义及其表示法，子集，全集与补集，子集与并集的定义；2、集合与其它知识的联系，如一元二次不等式、函数的定义域、值域等；3、逻辑联结词的含义，四种命题之间的转化，了解反证法；4、含全称量词与存在量词的命题的转化，并会判断真假，能写出一个命题的否定；5、充分条件，必要条件及充要条件的意义，能判断两个命题的充要关系；6、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。二、经典例题剖析考点 1、集合的概念1、集合的概念：（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；（2）集合的分类：按元素个数分：有限集，无限集；按元素特征分；数集，点集。如数集y|y=
2、x 2，表示非负实数集，点集(x，y)|y=x 2表示开口向上，以 y 轴为对称轴的抛物线；（3）集合的表示法：列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如 N+=0，1，2，3，；描述法。2、两类关系：（1） 元素与集合的关系，用 或 表示；（2）集合与集合的关系，用 ， ，=表示，当 A B 时，称 A 是 B 的子集；当 A B 时，称 A 是 B 的真子集。3、解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合x|xP,要紧紧抓住竖线前面的代表元素 x 以及它所具有的性质 P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题 头htp:/w
3、.xjkygcom126t:/.j 4、注意空集 的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如 A B,则有 A= 或 A 两种可能，此时应分类讨论 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 例 1、下面四个命题正确的是（A）10 以内的质数集合是1，3，5，7 （B）方程 x24x40 的解集是2，2（C）0 与0表示同一个集合 （D）由 1，2，3 组成的集合可表示为1，2，3或3，2，1解：选（D） ，最小的质数是 2，不是 1，故（A）错；由集合的定义可知（ B） （C）都错。例 2、已知集合 A 1 ，3，2 1 ，集合 B 3， 若 B A，则实数 m
4、mm解：由 B A，且 不可能等于1，可知 2 1 ，解得： 1。考点 2、集合的运算1、交，并，补，定义：AB=x|xA 且 xB，AB=x|xA，或 xB，C UA=x|xU，且 x A ，集合U 表示全集；2、运算律，如 A（BC）=（AB）（AC） ，C U（AB）=（C UA）（C UB） ，CU（AB）=（C UA）（C UB）等。3、学会画 Venn 图，并会用 Venn 图来解决问题。例 3、设集合 A x|2x13，B x|3x2，则 A B 等于（ ）图 12(A) x|3x1 (B) x|1x2 (C)x|x3 (D) x|x1解：集合 A x|2x13x|x1 ，集合
5、A 和集合 B 在数轴上表示如图 1 所示，A B 是指集合 A 和集合 B 的公共部分，故选（A） 。例 4、经统计知，某村有电话的家庭有 35 家,有农用三轮车的家庭有 65 家,既有电话又有农用三轮车的家庭有 20 家，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数为 ( )A. 60 B. 70 C. 80 D. 90解：画出 Venn 图，如图 2，画图可得到有一种物品的家庭数为：15+20+45=80. 故选（C ） 。例 5、 （2008 广东卷）第二十九届夏季奥林匹克运动会将于 2008 年 8 月 8 日在北京举行，若集合 A=参加北京奥运会比赛的运动员，集合 B=参加北京奥运会比赛的
6、男运动员。集合 C=参加北京奥运会比赛的女运动员，则下列关系正确的是（ ）A.A B B.B C C.A B=C D.B C=A解：由题意可知，应选（D） 。考点 3、逻辑联结词与四种命题1、命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；2、复合命题的形式：p 且 q，p 或 q，非 p；3、复合命题的真假：对 p 且 q 而言，当 q、p 为真时，其为真；当 p、q 中有一个为假时，其为假。对 p或 q 而言，当 p、q 均为假时，其为假；当 p、q 中有一个为真时，其为真；当 p 为真时，非 p 为假；当 p为假时，非 p 为真。4、四种命题：记“若 q 则 p”为原命题，则否命题为“若非
7、 p 则非 q”，逆命题为“若 q 则 p“，逆否命题为”若非 q 则非 p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。例 6、 （2008 广东高考）命题“若函数 在其定义域内是减函数，则 ”()log(0,1)afxlog20a的逆否命题是（ ）A、若 ，则函数 在其定义域内不是减函数log20al,afB、若 ，则函数 在其定义域内不是减函数()()C、若 ，则函数 在其定义域内是减函数l log0,1fxD、若 ，则函数 在其定义域内是减函数a a解：逆否命题是将原命题的结论的否定作为条件，原命题的条件的否定作为结论，故应选（A） 。例 7、已知命题
8、 方程 有两个不相等的负数根； 方程 无实:p21m:q24()10xmx根若“ 或 ”为真， “ 且 ”为假，求实数 的取值范围qqm解： ， 240:， 222:6()16(3)13或 为真， 且 为假， 真， 假或 假， 真ppq或 ，故 或 213m， 或 ， 13m ， 12m考点 4、全称量词与存在量词1全称量词与存在量词（1）全称量词：对 应 日 常 语 言 中 的 “一 切 ”、 “任 意 的 ”、 “所 有 的 ”、 “凡 是 ”、 “任 给 ”、 “对 每 一 个 ”图 23等 词 ， 用 符 号 “”表 示 。（ 2） 存在量词：对 应 日 常 语 言 中 的 “存在一个
9、”、 “至 少 有 一 个 ”、 “有个”、 “某个”、 “有 些 ”、 “有的”等词，用 符 号 “”表 示 。2 全 称 命 题 与 特 称 命 题（ 1） 全 称 命 题 ： 含 有 全称量词的命题。 “对 x M，有 p（x）成立”简记成“ x M，p（x） ”。（ 2） 特 称 命 题 ： 含 有 存在量词的命题。 “ x M，有 p（x）成立” 简记成“ x M，p（x） ”。3 同一个全 称 命 题 、 特 称 命 题 ， 由 于 自 然 语 言 的 不 同 ， 可 以 有 不 同 的 表 述 方 法 ， 现 列 表 如 下 ， 供 参 考 。命题 全 称 命 题 x M，p（x
10、）特 称 命 题 x M，p（x）所有的 x M，使 p（x ）成立 存在 x M，使 p（x ）成立对一切 x M，使 p（x ）成立 至少有一个 x M，使 p（x ）成立对每一个 x M，使 p（x ）成立 对有些 x M，使 p（x ）成立任给一个 x M，使 p（x ）成立 对某个 x M，使 p（x ）成立表述方法若 x M，则 p（x ）成立有一个 x M，使 p（x ）成立4常 见 词 语 的 否 定 如 下 表 所 示 ：词语 是 一定是 都是 大于 小于词语的否定 不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于词语 且 必有一个 至少有 n 个 至多有一个 所有 x 成立词
11、语的否定 或 一个也没有 至多有 n-1 个 至少有两个 存在一个 x 不成立例 8、 （2007 山东）命题“对任意的 ”的否定是（ ）01,23xRA.不存在 B.存在01,23xRC.存在 D. 对任意的x ,23解：命题的否定与否命题不同，命题的否定是将全称量词改为特称量词，或将特称量词改为全称量词，再否定结论即可，故选（C） 。例 9、命题“ ，有 ”的否定是 0x2解：将“存在”改为“任意” ，再否定结论，注意存在与任意的数学符号表示法，答案： 20x， 有考点 5、充分条件与必要条件1、在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说
12、明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看，理解“越小越充分”的含义。例 10、 （ 2008 安徽卷） 是方程 至少有一个负数根的（ ）0a210xA必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解：当 ，得 ab bb，bc，则 ac；可加性：ab a+cb+c；可乘性：ab，当 c0 时，acbc；当 cb，cd，则 a+cb+d；（2 ）异向相减： ba， dcdbca.（3 ）正数同向相乘：若 ab0，cd0，则 acbd。 （ 4）乘方法则：若 ab0，nN+，则 nba；（5 ）开方法则：若 ab0，nN+，则
13、 ； （6）倒数法则：若 ab0，ab，则 。2、基本不等式（或均值不等式） ；利用完全平方式的性质，可得 a2+b22ab（a，bR） ，该不等式可推广为 a2+b22|ab| ；或变形为|ab| ； 当 a，b0 时，a+b 或 ab.3、不等式的证明：不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法；在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用；证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。不等式的解法：解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。一元二次
14、不等式与相应的函数，方程的联系求一般的一元二次不等式 20axbc或 20axbc()a的解集，要结合 20axbc的根及二次函数2y图象确定解集对于一元二次方程 ()，设 24，它的解按照 0， ， 可分为三种情况相应地，二次函数2()yxc的图象与 x轴的位置关系也分为三种情况因此，我们分三种情况讨论对应的一元二次不等式 0abx()a的解集，注意三个“二次”的联系。含参数的不等式应适当分类讨论。5、不等式的应用相当广泛，如求函数的定义域，值域，研究函数单调性等。在解决问题过程中，应当善于发现具体问题背景下的不等式模型。用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一。研
15、究不等式结合函数思想，数形结合思想，等价变换思想等。6、线性规划问题的解题方法和步骤解决简单线性规划问题的方法是图解法，即借助直线（线性目标函数看作斜率确定的一族平行直线）与平面区域（可行域）有交点时，直线在 y 轴上的截距的最大值或最小值求解。它的步骤如下：（1 ）设出未知数，确定目标函数。（2 ）确定线性约束条件，并在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域。（3 ）由目标函数 zaxby 变形为 y x ，所以，求 z 的最值可看成是求直线 y x 在 y 轴上截距的最值（其中 a、b 是常数，z 随 x，y 的变化而变化） 。（4 ）作平行线：将直线 axby0 平移（即作 axby0
16、 的平行线） ，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使 最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标。（5 ）求出最优解：将（4）中求出的坐标代入目标函数，从而求出 z 的最大（或最小）值。7、绝对值不等式（1 ）xa（a0）的解集为：xaxa；xa（a 0）的解集为：x x a 或 xa。（2 ） |ba|b|baz baz12ba2an6二、考点剖析考点一：不等关系与不等式【命题规律】高考中，对本节内容的考查，主要放在不等式的性质上，题型多为选择题或填空题，属容易题。例、(2008 广东文)设 ，若 ，则下列不等式中正确的是（ ）A 0ab B. 03ba C. 0ab D. 02ba解：
17、由 知 , ,所以 ,故选 C.点评：本题考查绝对值的概念和绝对值的性质，如果用特殊值法也能求解。例 2、(2007 上海理科)已知 ,为非零实数，且 ，则下列命题成立的是( )A、 2ab B、 2ab C、 21abD、ba解：取 a3，b ，由（） （） （）都错，故（ C） 。点评：特殊值法是解选择题的一种技巧，在应试时要时刻牢记有这么一种方法。这晨 a，b 没有说明符号，注意不要错用性质。考点二：一元二次不等式及其解法【命题规律】高考命题中，对一元二次不等式解法的考查，若以选择题、填空题出现，则会对不等式直接求解，或经常地与集合、充要条件相结合，难度不大。若以解答题出现，一般会与参数
18、有关，或对参数分类讨论，或求参数范围，难度以中档题为主。例、 （2007 湖南）不等式 的解集是（ ）A (0)， B (01)， C ()， D (0)(1)， ，解：原不等式可化为 x2x，即 x（x），所以 x或 x，选（） 例、 （2007 福建） “ 2”是“ 26”的什么条件（ ）A充分而不必要 B必要而不充分 C充要 D既不充分也不必要解：由|x2，得：2x2 ，由 20x得：2x3 ，2 x 2 成立，则2x3 一定成立，反之则不一定成立，所以，选（） 。点评：本题是不等式与充要条件结合的考题，先解出不等式的解集来，再由充分必要条件的判断方法可得。例、(2008 江西文)不等式
19、 的解集为 解：原不等式变为 ，由指数函数的增减性，得：241(3)10xx3,1x，所以填： 3,1。点评：不等式与指数函数交汇、不等式与对数函数交汇、不等式与数列交汇是经常考查的内容，应加强训练。例 6、已知集合 2540Ax|， 2| 0Bxa，若 BA，求实数 a的取值范围解：2| |1x 设 ()fa，它的图象是一条开口向上的抛物线（1 ）若 B，满足条件，此时 0，即24()0a，解得 12a；R,2241x24723zxx23,0,524yx7434187于02xy（2 ）若 B，设抛物线与 x轴交点的横坐标为 12x于，且 12x ，欲使 BA，应有 12xx| 14x| ，结
20、合二次函数的图象，得 即 解得综上， a的取值范围是 点评：本题是一元二次不等式与集合结合的综合题，考查含参数一元二次不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，分类时做到不遗漏。考点三：简单的线性规划【命题规律】线性规划问题时多以选择、填空题的形式出现，题型以容易题、中档题为主，考查平面区域的面积、最优解的问题；随着课改的深入，近年来，以解答题的形式来考查的试题也时有出现，考查学生解决实际问题的能力。例 7、 （2008 安徽文）若 A为不等式组 表示的平面区域，则当 a从2 连续变化到 1 时，动直线xya扫过 中的那部分区域的面积为 ( ) A B1 C D5解：如图知区域的面积是OAB 去掉
21、一个小直角三角形。（阴影部分面积比 1 大，比12OABS小,故选 C,不需要算出来） 点评：给出不等式组，画出平面区域，求平面区域的面积的问题是经常考查的试题之一，如果区域是不规节图形，将它分割成规节图形分别求它的面积即可。例 8、(2008 广东理)若变量 x,y 满足 ，则 z=3x+2y 的最大值是 ( )A90 B. 80 C. 70 D. 40解: 做出可行域如图所示.目标函数化为：y ，令 z，画 y ，及其平行线，如右图，当它经过两直线的交点时，取得取大值。解方程组 5024yx,得 21x. 所以 7010maxz,故答 C.点评：求最优解，画出可行域，将目标函数化为斜截式，
22、再令 z，画它的平行线，看 y 轴上的截距的最值，就是最优解。例 9、 （2007 山东）本公司计划 2008 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告，广告总费用不超过 9 万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为 50元/ 分钟和 200 元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x分钟和 y分钟，总收益为 z元，由题意得目标函数为 302z()04210fa于于于 2210
23、48()a于于于 87a 30529.xy ， ， ， 830529.xy ， ， ， ,xyzR32二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域如图：作直线 :3020lxy， 即 320xy平移直线 ，从图中可知，当直线 l过 M点时，目标函数取得最大值联立 59.yx，解得 102xy， 点 的坐标为 (102)， ma3027zy（元）答：该公司在甲电视台做 100 分钟广告，在乙电视台做 200 分钟广告，公司的收益最大，收益是 70 万元点评：用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力，随着课改的深入，这类试题应该是高考的热点题型之一。考
24、点四：基本不等关系【内容解读】了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最值问题，理解用综合法、分析法、比较法证明不等式。利用基本不等式可以求函数或代数式的最值问题：合理拆分项或配凑因式是经常用的解题技巧，而拆与凑的过程中，一要考虑定理使用的条件（两数都为正） ；二要考虑必须使和或积为定值；三要考虑等号成立的条件（当且仅当 a=b 时，等号成立） ，它具有一定的灵活性和变形技巧，高考中常被设计为一个难点【命题规律】高考命题重点考查均值不等式和证明不等式的常用方法，单纯不等式的命题，主要出现在选择题或填空题，一般难度不太大。例 10、 （上海理）已知 xy+R，且 14yx，则 xy的最
25、大值是 解： ，当且仅当 x=4y= 时取等号.点评：本题考查基本不等式求最值的问题，注意变形后使用基本不等式。例1、 （2008 浙江文）已知 （ ）(A) (B) (C) 22ba(D) 32ba解：由 0,ab,且 ，24()()， 2ab。点评：本小题主要考查不等式的重要不等式知识的运用。例2、(2008 江苏)已知， ，则 的最小值 解：由 0yz得 代入yxz得296344xxz，当且仅当 3 z 时取“ ”点评：本小题考查二元基本 不等式 的运用题目有有三个未知数，通过已知代数式，对所求式子消去一个未知数，用基本不等式求解。考点五：绝对值不等式【内容解读】掌握绝对值不等式xa，x
26、a（a0）的解法，了解绝对值不等式与其它内容的综合。【命题规律】本节内容多以选择、填空题为主，有时与充分必要条件相结合来考查，难度不大。例3、 （2008 湖南文） “|x1|2 ”是“x3”的（ ）0 100 200300100200300400500yxl M232141()46xy1 则且 ,09A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件解：由|x1| 2 得x，在 x的数都有 x，但当 x时，不一定有x，如 x，所以选（） 点评：本题考查绝对值不等式的解法和充分条件必要条件，可以用特殊值法来验证，充分性与必要性的成立。例4、(2008 四川文)不
27、等式 的解集为( )（） 1,2 （） 1, （） 2,1 （） 2,解： x 2x 即 即 1,2x 故选 A；点评：此题重点考察绝对值不等式的解法；准确进行不等式的转化去掉绝对值符号为解题的关键，可用公式法，平方法，特值验证淘汰法；考点六：不等式的综合应用【命题规律】不等式的综合应用多以应用题为主，属解答题，有一定的难度。例5、 （江苏模拟）如图，某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为 ,xy(单位:米)的矩形,上部是斜边长为 x的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为 8 平方米. （）求 xy的关系式，并求 的取值范围；（）问 ,分别为多少时用料最省?解：（）由题意得：
28、（）设框架用料长度为 l，则 当且仅当3162,842x（ ） , ,y满足 042.x 答：当 84米， y米时，用料最少. 点评：本题考查利用基本不等式解决实际问题，是面积固定，求周长最省料的模型，解题时，列出一个面积的等式，代入周长所表示的代数式中，消去一个未知数，这是常用的解题方法。例6、 （江苏模拟）某化工企业 2007 年底投入 100 万元，购入一套污水处理设备该设备每年的运转费用是 0.5 万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为 2 万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加 2 万元（1 ）求该企业使用该设备 x年的年平均污水处理费用 y（万元） ；（2
29、 ）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？ 解：（1） 即 （ 0x） ；（2）由均值不等式得： 5.21.025.10xxy（万元） ， 当且仅当 ，即 1x时取到等号答：该企业 10 年后需要重新更换新设备点评：本题又是基本不等式的一个应用，第一问求出函数关系式是关键，第二问难度不大。考点七：不等式的证明【内容解读】证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点比较法的一般步骤是：作差(商) 变形判断符
30、号(值)【命题规律】不等式的证明多以解答题的形式出现，属中等偏难的试题。文科考查的可能性不大。,xy20x1xR(,),xy6842.31()2 5.10xyx)64(.10例 17、已知 ，求证 212ba证明：只需证： 1ba即证： 成立原不等式成立.点评：用分析法证明不等式也是常用的证明方法，通过分析法，能够找到证明的思路。三、方法总结与高考预测（一）方法总结1熟练掌握不等式的基本性质，常见不等式( 如一元二次不等式，绝对值不等式等 )的解法，不等式在实际问题中的应，不等式的常用证明方法2数学中有许多相似性，如数式相似，图形相似，命题结论的相似等，利用这些相似性，通过构造辅助模型，促进转
31、化，以期不等式得到证明。可以构造函数、方程、数列、向量、复数和图形等数学模型，针对欲证不等式的构特点，选择恰当的模型，将不等式问题转化为上述数学模型问题，顺利解决不等式的有关问题。（二）高考预测在近年的高考中，不等式的考查有选择题、填空题、解答题都有，不仅考查不等式的基础知识，基本技能，基本方法，而且还考查了分析问题、解决问题的能力。解答题以函数、不等式、数列导数相交汇处命题，函数与不等式相结合的题多以导数的处理方式解答，函数不等式相结合的题目，多是先以直觉思维方式定方向，以递推、数学归纳法等方法解决，具有一定的灵活性。由上述分析，预计不等式的性质，不等式的解法及重要不等知识将以选择题或填空的形式出现；解答题可能出现解不等与证不等式。如果是解不等式含参数的不等式可能性比较大，如果是证明题将是不等式与数列、函数、导数、向量等相结合的综合问题，用导数解答这类问题仍然值得重视。五、复习建议1在复习中应掌握证明不等式的常用思想方法：比较思想；综合思想；分析思想；放缩思想；反证思想；函数思想；换元思想；导数思想.、在复习解不等式过程中，注意培养、强化与提高函数与方程、等价转化、分类讨论、数形结合的数学思想和方法，逐步提升数学素养，提高分析解决综合问题的能力. 能根椐各类不等式的特点，变形的特殊性，归纳出各类不等式的解法和思路以及具体解法。12bab且， )1()(ba8)()(a
