1、第 1 页 共 4 页第四讲 四点共圆问题“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路 .判定“四点共圆”的方法，用得最多的是统编教材几何二册所介绍的两种（即 P89 定理和 P93 例 3），由这两种基本方法推导出来的其他判别方法也可相机采用 .1 “四点共圆”作为证题目的例 1给出锐角ABC，以 AB 为直径的圆与 AB 边的高 CC及其延长线交于M，N .以 AC 为直径的圆与 AC 边的高 BB及其延长线将于 P，Q .求证：M，N，P，Q 四点共圆 .(第 19 届美国数学奥林
2、匹克)分析：设 PQ，MN 交于 K 点，连接 AP，AM . 欲证 M，N，P，Q 四点共圆，须证MKKNPK KQ，即证(MC-KC )(MC+KC )(PB-KB)(PB + KB)或 MC 2-KC 2=PB 2-KB 2 . 不难证明 AP=AM ，从而有AB 2+PB 2=AC 2+MC 2.故 MC 2-PB 2=AB 2-AC 2=(AK2-KB 2)-(AK2-KC 2)=KC 2-KB 2. 由即得，命题得证 .例 2A、B 、C 三点共线，O 点在直线外，O1，O 2，O 3分别为OAB，OBC，OCA 的外心 .求证：O，O 1，O 2，O3四点共圆 .(第 27 届莫
3、斯科数学奥林匹克)分析：作出图中各辅助线 .易证 O1O2垂直平分 OB，O 1O3垂直平分 OA.观察OBC 及其外接圆，立得OO 2O1= OO 2B=OCB .观察OCA 及其外接圆，立得OO 3O1= OO 3A=OCA .由OO 2O1=OO 3O1 O，O 1，O 2，O 3共圆 .利用对角互补，也可证明 O，O 1，O 2，O 3四点共圆，请同学自证 .ABCKMNPABCO123第 2 页 共 4 页2 以“四点共圆”作为解题手段这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面 .(1)证角相等例 3在梯形 ABCD 中，ABDC，ABCD，K， M 分别在 A
4、D，BC 上，DAMCBK .求证：DMA CKB .（第二届袓冲之杯初中竞赛）分析：易知 A，B，M ，K 四点共圆 .连接 KM，有DAB CMK.DAB+ADC180，CMK+KDC180 .故 C，D，K ，M 四点共圆 CMDDKC .但已证AMBBKA，DMA CKB .(2)证线垂直例 4O 过ABC 顶点 A，C，且与 AB，BC 交于 K，N (K 与 N 不同) .ABC 外接圆和BKN 外接圆相交于 B 和M.求证： BMO=90 .(第 26 届 IMO 第五题)分析：这道国际数学竞赛题，曾使许多选手望而却步 .其实，只要把握已知条件和图形特点，借助“四点共圆”，问题是
5、不难解决的 .连接 OC，OK，MC，MK，延长 BM 到 G.易得GMC=BAC=BNK=BMK .而COK=2BAC=GMC+BMK=180-CMK，COK +CMK =180 C，O，K，M 四点共圆 .在这个圆中，由OC=OK OC=OK OMC=OMK .但GMC=BMK，故BMO =90.(3)判断图形形状例 5四边形 ABCD 内接于圆，BCD，ACD， ABD ，ABC 的内心依次记为 IA，I B，I C，I D.试证：I AIBICID是矩形 .(第一届数学奥林匹克国家集训选拔试题)分析：连接 AIC，AI D，BI C，BI D和 DIB.易得ABCDKAOKNCMABC
6、DIDAIB第 3 页 共 4 页AI CB=90+ ADB =90+2121ACB=AI DB A，B，I D，I C四点共圆 .同理，A，D ，I B，I C四点共圆 .此时AI CID=180-ABI D =180- ABC，21AI CIB=180-ADI B=180- ADC，AI CID+AI CIB=360- (ABC+ADC)21=360- 180=270.故I BICID=90.同样可证 IAIBICID其它三个内角皆为 90.该四边形必为矩形 .(4)计算例 6正方形 ABCD 的中心为 O，面积为 1989 2.P 为正方形内一点，且OPB =45，PA:PB=5:14
7、.则 PB=_(1989，全国初中联赛)分析：答案是 PB=42 .怎样得到的呢？连接 OA，OB .易知 O，P ，A ，B四点共圆，有APB=AOB=90 . 故 PA2+PB2=AB2=1989.由于 PA:PB=5:14，可求 PB.(5)其他例 7设有边长为 1 的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积(须证明你的论断) .(1978，全国高中联赛)分析：设EFG 为正方形 ABCD 的一个内接正三角形，由于正三角形的三个顶点至少必落在正方形的三条边上，所以不妨令 F， G 两点在正方形的一组对边上 .作正EFG 的高 EK，易知 E，
8、K，G，D 四点共圆 KDE=KGE=60 .同理，KAE=60 .故KAD 也是一个正三角形，K 必为一个定点 .又正三角形面积取决于它的边长，当 KF 丄 AB 时，边长为 1，这时边长最小，而面积 S= 也最小 .当 KF 通过 B 点时，边长为 2 ，这43 32时边长最大，面积 S=2 -3 也最大 .OBCDACDEK第 4 页 共 4 页例 8NS 是O 的直径，弦 AB 丄 NS 于 M，P 为 ANB 上异于 N 的任一点，PS交 AB 于 R， PM 的延长线交 O 于 Q.求证：RSMQ .(1991，江苏省初中竞赛)分析：连接 NP，NQ，NR，NR 的延长线交O 于
9、Q .连接MQ， SQ .易证 N，M，R，P 四点共圆，从而，SNQ =MNR =MPR=SPQ=SNQ .根据圆的轴对称性质可知 Q 与 Q关于 NS 成轴对称 MQ=MQ .又易证 M，S，Q，R 四点共圆，且 RS 是这个圆的直径 (RMS=90) ，MQ是一条弦(MSQ 90)，故 RSMQ .但MQ=MQ，所以， RS MQ.练习题1.O 1交O 2 于 A，B 两点，射线 O1A 交O 2 于 C 点，射线 O2A交O 1 于 D 点 .求证：点 A 是BCD 的内心 .(提示：设法证明 C，D，O 1，B 四点共圆，再证 C，D，B，O 2四点共圆，从而知 C，D，O 1，B，
10、O 2五点共圆 .)2.ABC 为不等边三角形 .A 及其外角平分线分别交对边中垂线于 A1，A 2；同样得到 B1，B 2，C 1，C 2.求证：A 1A2=B1B2=C1C2.(提示：设法证ABA 1与ACA 1互补造成 A，B，A 1，C 四点共圆；再证A，A 2，B ，C 四点共圆，从而知 A1，A 2都是ABC 的外接圆上，并注意A 1AA2=90.)3.设点 M 在正三角形三条高线上的射影分别是 M1，M 2，M 3(互不重合) .求证：M 1M2M3也是正三角形 .4.在 RtABC 中，AD 为斜边 BC 上的高，P 是 AB 上的点，过 A 点作 PC 的垂线交过 B 所作 AB 的垂线于 Q 点 .求证：PD 丄 QD.(提示：证 B，Q，E ， P 和 B，D，E，P 分别共圆)5.AD， BE，CF 是锐角 ABC 的三条高 .从 A 引 EF 的垂线 l1，从 B 引 FD 的垂线 l2，从 C 引 DE 的垂线 l3.求证：l 1，l 2，l 3三线共点 .(提示：过 B 作 AB 的垂线交 l1于 K，证：A，B，K，C 四点共圆)
