1、2004 年高考模拟试题数 学(三)（乌鲁木齐地区 2004 年高三年级第二次诊断测试）解答人： 新疆奎屯市一中 王新敞 本卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟。第卷（选择题共 60 分）参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件 A、B 相互独立，那么 P( )=P(A) P(B)AB如果事件 A 在一次试验中发生的概率为 p，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率：.()(1)knknnPCp球体的体积公式： (其中 R 表示球的半径).34V球一.选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，
2、共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1若抛物线 上一点 M 的横坐标为 4，M 到焦点的距离为 5，则点 M 到 x 轴的距离是 （ ）2ypxA B1C2 D42球的表面积与其内接正方体的表面积之比是（ ）A B C D63223函数 的图像的对称轴方程是( )12()logfxxAx=1 Bx=2 Cx=3 Dx=1 4从 x 轴上一点引园 的两条切线，其中一条切线的斜率为 ，则两切线夹角的正切值是（ 221y43）A B C D 723443275函数 的值域是（ ）()sincosfxxxA1 B1,1 C(1,1) D1,16.已知 都是正数，且 ，则 的大
3、小关系是（ ）abc、 、 abcac、 、A B C Dcabcabccba7已知圆周上有 10 个等分点，以其三个点为顶点构成三角形，其中直角三角形的概率是（ ）A B 1413C D2348已知 是等差数列 的前 n 项和， ，则 （ ）nSa26,4S12SA. 7 B. 53C. 10 D. 29已知 ，则下列 值中能使ABC 是直角三角形的一个值是（ ）(,1)(,)ABkCkA B C D53221310在正三棱柱 中， ,则异面直线 与 所成的角的大小是（ ）11AB1AB1CA B C D 643211若关于 x 的方程 有实根，则实数 的取值范围是（ ）2xaaA 2，+）
4、 B2，2 C2，2 D 1,)12已知 为双曲线的左、右焦点，以双曲线左支上任意一点 P 为圆心、 为半径的圆与以 为圆心、1F、 1F2F为半径的圆相切，则双曲线两渐近线的夹角是（ ）2A B C D 432232004 年高考模拟试题数 学(三)第卷（非选择题共 90 分）二.填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。把答案填在题中横线上)13已知 为一次函数，若 ，且 成等比数列，则()fx(3)5f(1,2(5)ff的值是_ .(1)2(10)ff14 展开式中 x 的一次项的系数是 .42)nxx *()N15函数 在 上的最小值是 . 73y,16函数 的定义域为
5、 ，值域为 ，则 的最大值是_.sinx,ab1,2ba三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤)17 （本小题满分 12 分）已知函数 .2()1Fxx()xR(1)写出此函数 在 R 上的单调区间；()(2)若函数 的图像与 的图像相切于相异的两点，求 的值.fxab()Fxab、18 （本小题满分 12 分）已知 ，回答以下问题：02.若 ，求 的取值范围； sincot.将 用 表示；.求 的最大值与最小值.33i19 （本小题满分 12 分）（文科）如图，在棱长为 1 的正方体 中, 分别是 的中点.ACEF、 BCD、（）求证: 共面；
6、BEFD、 、 、（）求点 到平面 的距离；A（）求直线 与平面 所成角的大小.（理科）如图，在棱长为 1 的正方体 中,过 及 的 中点作截面 交 于 .C（）求截面 与底面 所成角的大小；B（）求四棱锥 的体积；EF（）求直线 与截面 所成角的大小.AD20 （本小题满分 12 分）某工厂统计资料显示，产品次品率 与日产量 （ )的关系如px*N下表：日产量 x1 2 3 4 97 98 99 100次品率 p091897 143121又生产一件正品能够盈利 元,生产一件次品损失 元.a3a（1）将该厂的日盈利额 (元 )表示为日生产量 的函数； Tx（2）为了获得最大盈利,该厂的日产量应
7、定为多少件?EF CD BACA BD21 （本小题满分 12 分）如图,一粒子在区域 上运动,在第一秒内它从原点运动到点 ,接着按图中箭头所(,)|0,xy 1(0)B示方向在 x 轴、y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度。（1）设粒子从原点到达点 时，所经过的时间分别为 ，试写出nnABC、 、 nna、 b、 c的通相公式；nna、 b、 c（2） （文科）求粒子从原点运动到点 时所需的时间。(16,4)P（理科）粒子从原点开始运动，求经过 2004 秒后，它所处的坐标。22 （本小题满分 14 分）设 是单位圆 的直径， 是圆上的动点，过点 的切线与过点 的切线分别交于 两
8、点。四ABONNAB、 D、 C边形 的对角线 和 的交点为 .CDBDG（文科）求 的轨迹。G（理科）过直径 上一定点 (异与 三点) 作直线 ，ABMA、 、 l 与 的轨lG迹交于 两点。求证两条动直线 与 的交点12P、 1P2B 在垂直于P的直线上。2004 年高考模拟试题数 学(三)（乌鲁木齐地区 2004 年高三年级第二次诊断测试）参考答案一、选择题(每小题 5 分，满分 60 分)1D . 由抛物线 上一点 M 的横坐标为 4，M 到焦点的距离为 5，得2ypx 452p，即点 M 到 x 轴的距离是 4.24y0C5C4C3C2B5B4B3B2A6A5A4A3A2C1B1 A
9、1 xyG CDOA BN2C. 设球的半径为 R, 球内接正方体的棱长为 a，则 。球的表面积与其内接正方体的表面积之比是23Ra.224:63:6Raa3A. 函数 的图像的对称轴方程就是 的对称轴 x=1 12()log3fxx23yx4C.从 x 轴上一点引园 的两条切线，其中一条切线的斜率为 ，另一条就是 x 轴，所以这21y4两切线夹角的正切值是 45D.由函数 ，()sincosfxx当 的终边在第一象限时， ；x()incos1f x当 的终边在第二象限时， ；scos2x,1当 的终边在第三象限时， ；()isfx当 的终边在第四象限时， ；xsncosx,当 的终边在两个坐
10、标轴上时， ；()1f或综上述 的值域是 1,1 ()f6A. 由 都是正数，且abc、 、 cabcabc11cab bac7B. 圆周上 10 个等分点，恰好构成 5 条直径，要以其三个点为顶点构成三角形 个，其中直角三角3102C形有 个。概率是 15840C138A由 得， ， 则 ， 263,S12ad164ad2512S16ad .1()4(5)7ad9C 若 垂直，则 ，四个答案都不符合；若,(,3)ABkC与 3302kk与 垂直，则 ，C 符合(2,)BA,12110C在正三棱柱 中，不妨设 AB=2, 则 =2 ,如图所示 D、E、F、G 为对应线段1C1AB的中点，异面直
11、线 与 所成的角就是 DE 与 DG 所成的角，1DE=DG= ,EG=3,由余弦定理得 ,从而异面直线3cos2EDG 与1AB所成的角就是的大小是 1A3 GFEDC1B1A1CBA11D 若关于 x 的方程 有实根，等价于求函数 得值域，由于2xa2xa则实数 的取值范围是 021xa1,)12B.以双曲线左支上任意一点 P 为圆心、 为半径的圆与以 为圆心、 为半径的圆相切，则1F2F12，所以双曲线两渐近线的夹角是 212aPFFc23bab3二、填空题(每小题 4 分,满分 16 分)1310000. 设 ， ，由 成等比数列()fxk(35fk(1),2(5)ff，可得 则2(5
12、)kbb2,b10)f .130)1( 014 展开式中 x 的一次项的系数是n(4)1)nxx *()N.224nnn15 令 ，函数 在 的两个端点处打1,3tx2731xyx273t1,t到最小值 .216 如图，要使函数 在定义域 上，值域为43sinyx,ab 1,2，则 的最大值是 .ba74()63三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤)17解：(1) = .2()1Fxx24x05 24()x0.5函数 在区间（，0 ， 上是增函数，在区间()F1,2 10,2，2,+ 上是减函数； (6 分)(2)由函数 的图像与 的图像相切于
13、相异的两点，得()fxab(Fx的判别式24ab214)0ab且 的判别式 (10 分)x2(4321-1-2-3-4-5-6 -4 -2 2 4 6 84.543.532.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5所以求 . (12 分)91,4ab18解：（1）因为 ，所以 0234所以 ，sincosin()1,2t 故 的取值范围是 （4 分）1,（2） ， ；（8 分）2sicsico22()tt1,2(3) 33no(n)(sinicos) sic1) 2()t3t设 ，31()2ftt,因为 时， ， 所以 在 上为减函数，,23
14、()0ft31()2ftt,2所以 ，min()ftfmax()1ftf即 的最大值是 1，最小值是 . （12 分）33sico219 （文科）如图，,（）证明：在棱长为 1 的正方体 中，由 得ACBDA BDA，又因为 分别是 的中点，所以 ，EF、 B、 EF 于是，即 共面；BDA、 、 、（4 分）（）解：在棱长为 1 的正方体 中，连结 ，因、 为，所以平面 ,其交线、 为，过 作交线为 的垂线 ，垂足为 H， 的1OOAA长就是求点 到平面 的距离，EF如图 AH22431()N故点 到平面 的距离是 1； （8 分）BEFD（）解：连接 ， ，由（） 就是 在平面AHDA B
15、EFD上的射影， 就是直线 与平面 所成角，且BEF AH1， ，所以 ，22sin N HO1OAACCMO1EF CD BACA BDOHGO2从而，直线 与平面 所成角为 . （12 分）ADBEF4（理科） （）解：在棱长为 1 的正方体 中，连结 ，因为 ，所以平面ACAC、 BDAC、,其交线为 ，再过 作垂直于底面的垂线交 于 ，则 就是截面 与CO1 2O12BEFD底面 所成角，由题意得， ，所以B22,41tan4故截面 与底面 所成角为 ；4 分EFDABCarct（）解：同（文） （）点 到平面 的距离是 1，EFD由上面 ，得 ，122,4O2213()4O，398B
16、EFDS四棱锥 的体积 ； 8 分 A 138BEFDVSAH（）解：连接 交 于 M，则 就是直线 与截面 所成角，COCBEFD由 1， ，H35得 ，sin9A故直线 与截面 所成角为 .12 分 CBEFD53arcsin20 （本小题满分 12 分）（1）解：设日产量为 x（ ， )，则次品率 ，次品数为 xp，正品数为 x-xp，依题10x*Np10x意 ， （ ， ) 6 分()3aTxp43(1)x*N（2）解： ()1(0)x 400(1)3(1)axx4(023a当 时， 取最大值。10 分189.40(1)xx()Tx因为 ，可以判断当 x89 时， 取最大值。*N所以，
17、为了获得最大盈利,该厂的日产量应定为 89 件。 12 分21 （1）解： 设 ，当粒子从原点到达 时，显然有12(,0),(,0)nAA nAMN HO1OAACC13,a21,a124,43530565, .2 分21(),na 21na 4() 244 分221n2()b2nan2214(1)()c n2 )n即 7 分（2） （文科）有图形知，粒子从原点运动到点 时所需的时间是到达点 所经过得时间 再加(6,4)P4C4c（4416）28 秒，所以 秒。12 分2480t（理科）由 2004，解得 ，取最大得 n=44,nc1872n计算得 19802004，所以粒子从原点开始运动，经
18、过 1980 秒后到达点 ，再向左运行 24 秒所到达4 4的点的坐标为（20，44） 。12 分22 （本小题满分 14 分）解：（文科） 以圆心 O 为原点，直径 为 x 轴建立直角坐标系，则 A（1，0） ，B（1，0） ，单位圆的方程AB为 设 N 的坐标为 ，则切线 DC 的方程为： ， 21xy(cos,in)cosinxy4 分由此可得 cs1,iniCDAC 的方程为 o()2syxBD 的方程为 8 分c1i将两式相乘得： ，即22()4snyx241y当点 N 恰为 A 或 B 时，四边形 变为线段 AB，这不符合题意，ACD 所以轨迹不能包括 A、B 两点，所以 的轨迹方
19、程为 ， （ ） 。14 分G2x1x另法：设四边形 的对角线 和 的交点为 的坐标为(u,v).B则 AG 的方程为 与切线 BC 的交点为 C（1， ） ；(1)vyxuvuBG 的方程为 与切线 AD 的交点为 D（ 1， ） 。2所以，经过 C（1， ） 、 D（1， ）的直线 DC 的方程为： ，2v2vu22(1)uvvyx即 22uyx由于 DC 与单位圆相切，所以原点 O 到 DC 的距离为 1，从而有 22()()1vu0C5C4C3C2B5B4B3B2A6A5A4A3A2C1B1 A1 xyGCDOA BN整理得 ，也就是 的轨迹方程为 。241uvG241xy当点 N 恰
20、为 A 或 B 时，四边形 变为线段 AB，这不符合题意，所以轨迹不能包括 A、B 两点，所以ACD的轨迹方程为 ， （ ） 。G2xy1（理科）同（文科）可求出 的轨迹方程为 ， （ ）8 分2x设过直径 上一定点 (m,0）(异与 三点) 作直线 ， 与 的轨迹交于MBO、 、 lG两点。两条动直线 与 的交点 。2(,)xy1P(,)、 1AP2(,)uv则 AP 的方程为 交 的轨迹 （ ）于(1)vuG4xy1x10 分212()4,4uBP 的方程为 交 的轨迹 （ ）于(1)vyxu241xyx12 分22 2(),14()4Pv因为点 (m,0） 、 三点共线，则 ，整理并化简得 ，M12P、 21MPk1um即点 p 得轨迹方程为 ，也就是点 P 在垂直于 的直线上。14 分xmAB0.80.60.40.2-0.2-0.4-0.6-1 -0.5 0.5 1OPP1 P2M BA
