1、2010-2011 学年第二学期本科试卷答案 课程名称:高等数学(一、二） （B）第 1 页 （共 6 页）学 院: 专 业:学号: 姓名: 装订线 学院一、填空题（共 5 题，每题 3 分,共 15 分）1. 设函数 ，则 . 答：exyz(1,2)xz2e2. 交换二次积分 的次序为 0d,xfy答： 10(,)yf3. 若级数 收敛，则 答：1 1nunulim4. 若曲线积分 在 面内与路径无关，则 2()d()LaxyxyOa 答： 2a5. 若 是由平面 及三个坐标面围成的立体表面外侧，则曲面积分1zyx答：zxdd1)( 31二、单项选择题（共 5 题,每题 3 分,共 15 分
2、）1. 函数 的两个偏导数 及 在点 处连续，),(yxfz)(yxf，)(yxf， ),(0yxP是函数 在点 可微的（ A ）条件.,0P（A）充分； （B）必要； （C）充分且必要； （D） 即非充分又非必要.题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总成绩得分判卷人复核人得分得分年级：2010 专业：工科各专业 课程号：1101030610第 2 页 （共 6 页）2. 设 ，其中 具有连续的导数，则下列等式成立的是（ B ）2()zfxyf（A） ; （B） ; （C） ; （D ）zyzxyzx.yxz3由几何意义，二重积分 （ A ）.21dxy（A） ； （B） ； （C） ； （
3、D）03434设 为连接 和 两点的直线段，则 =（ D ） L(1,0), ()dLxys（A）0； （B）1； （C） ； （D） 25若幂级数 在 点收敛，则级数 （ C ） 0)(nnxa503na（A） 发散； （B） 条件收敛； （C） 绝对收敛； （D ） 收敛性无法确定三、偏导数和全微分计算题（共 2 题,每题 6 分,共 12 分）1. 设函数 ，化简 .yxz1lnzxy解: 由 ， （2 分） ， （4 分）1y xyl则 .（6 分）zxyzxyy2ln2. 设函数 由方程 确定，求全微分 .(,)z3zedz解: 方程两边对 求导（将 看作 的函数） ，有xzyx,，
4、解得 （2 分）3ze.1ze得分2010-2011 学年第二学期本科试卷答案 课程名称:高等数学(一、二） （B）第 3 页 （共 6 页）学 院: 专 业:学号: 姓名: 装订线 学院类似地，有 （4 分）1.zye因此, . （6 分）3dzzxdy四、重积分计算题（共 2 题,每题 7 分,共 14 分）1计算二重积分 ，区域 由不等式 及 确定()dDyxD10xy解： （3 分）()Dyx10()xy.（7 分）120d6计算三重积分 ，其中 是由平面 及抛物柱面zyx 1,0yz所围成的闭区域2xy解：原式 （3 分）210ddyxz（4 分） （6 分）21xy1()6x. （
5、7 分）五、线面积分计算题（共 2 题,每题 6 分,共 12 分）1计算曲线积分 ， 是上半圆域 ，Lyxyxd)(d)(332 L21xy正向边界0y解：由格林公式，原式 （3 分）2D3()dxy （6 分）130d4得分得分年级：2010 专业：工科各专业 课程号：1101030610第 4 页 （共 6 页）2. ，其中 是正方体 ， ，yxzxyzxd)(d3ax0y的表面外侧a0解：由高斯公式，原式 （3 分）2(3)zxy （6 分）32500ddaaxya六、级数题（共 3 题,每题 6 分,共 18 分）1. 判断级数 的收敛性123n解：因为 ， （5 分）143)(li
6、m34)1(limli 22 nnunnn所以级数 收敛 （6 分）123n2. 求幂级数 的收敛半径与收敛区间.nnx)(1解：解：由 ,（2 分）2)1(limli1nann得幂级数 收敛半径 （4 分）nx)(21R所以幂级数 的收敛区间是 （6 分）nn)(1 )23,1(3.将函数 展开为 的幂级数，并指出收敛范围()3fxx解： （1 分）（5 分） 收敛范围为 （6 分）1001()33nnxx 3x得分2010-2011 学年第二学期本科试卷答案 课程名称:高等数学(一、二） （B）第 5 页 （共 6 页）学 院: 专 业:学号: 姓名: 装订线 学院七、应用题（8 分）要造
7、一容积为定值 的长方体无盖水箱，为V最省材料应如何设计水箱的尺寸？解：设水箱的长、宽、高分别为 .则表面积zyx,， . （2 分）xyA)(2)0,(z约束条件为 .设 ， （3 分）Vz (2, VxyxyzL由（5 分）,0)(2,VxyzLzzx得惟一驻点 ， . （6 分）由实际意义，体积一定时，3321长方体表面积 有最小值. （7 分）所以，当水箱的长、宽都为 ，高为A 32V时，最省材料. （8 分）321V八、证明题（6 分）设 是单调递增有界的正数数列，证明nu收敛11()nnu证明: 记 ，则 ，且 ， （1 分）1nnv01nuvuvnn正项级数 的部分和 . （2 分）1nu11Snkkn因为 是单调递增有界的正数数列，所以由单调有界定理知,存在常数 , A使得 .（4 分）Anlim得分得分年级：2010 专业：工科各专业 课程号：1101030610第 6 页 （共 6 页）从而 ， （5 分）1limuASn故 收敛，即原级数 收敛. （6 分）1nn11)(nnu
