1、1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 1 of 19分数裂项计算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。知识点拨分数裂项一、 “裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和
2、或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 ，1ab ab那么有 11()abab(2)对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即：， 形式的，我们有：(1)2n(1)2(3)nn 1(1)2(3)(1)2()2(3)nnnnn裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(
3、x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 2 of 19二、 “裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） （2）1abab22abba裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的” ，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。例题精讲【例 1】 。11123456【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题
4、型】计算 【关键词】美国长岛，小学数学竞赛【 解析 】 原式 1115356提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为： ，计算过程就要变为：11357911135792【答案】 6【 巩固 】 11.025960【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 【 解析 】 原式 11()().()11062【答案】 2【 巩固 】 21098543【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 【 解析 】 原式 1120954 123075【答案】 715【例 2】 112320 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【 解析 】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂
5、差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 3 of 19式的代入有 ， ， 12()112()3原式 2 091340 【答案】 910【例 3】 11579【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 【 解析 】 1 1150(31023591 ）【答案】 0【 巩固 】 计算： 125357235 【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】2009 年，迎春杯，初赛，六年级【 解析 】 原式 1112535325 125412【答案】【 巩固 】
6、11114826204208【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】2008 年，台湾，小学数学竞赛，初赛【 解析 】 原式 511163450502 225101563【答案】 23【 巩固 】 计算： 2456715711292【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【 解析 】 原式 126【答案】【例 4】 计算： 111( )28824802684【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】2008 年，101 中学1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 4 of 19【 解析 】 原式 1112824686（ ）（ ）1（ ）428
7、9【答案】【 巩固 】 _11162034256790【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】2008 年，第六届，走美杯，初赛，六年级【 解析 】 根据裂项性质进行拆分为： 111620345679018901=205 【答案】【 巩固 】 11360528【考点】分数裂项 【难度】6 星 【题型】计算 【关键词】2008 年，第 6 届，走美杯，6 年级，决赛【解析】 原式 11123242345674781123 874【答案】 74【 巩固 】 计算： 11126034256790【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】2006 年，第 4 届，走美
8、杯，6 年级，决赛【解析】 原式 11111( )25678901-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 5 of 1911( )23490)01【答案】 0【 巩固 】 。11485238【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【 解析 】 原式 1247111358 2734【答案】 34【例 5】 计算： 11153759203205【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】2005 年，第 10 届，华杯赛，总决赛，二试【解析】 原式 11114557203205 043132018【答案】 04285【例 6】 7.161356335.2【考点】分数裂
9、项 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】2007 年，仁华学校【 解析 】 原式79161182035793.54.81-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 6 of 1971114623579389=【答案】 236【例 7】 计算： 112342064【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】第五届，小数报，初赛【 解析 】 原式 1112026042 034511212200【答案】 021【 巩固 】 计算： = 。11820920254870【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】2008 年，学而思杯，6 年级，1 试【 解析 】 原
10、式 1112089002369258 15504【答案】 51【 巩固 】 计算： _。2461537【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】2009 年，学而思杯，6 年级 【解析】 原式 517131231-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 7 of 1910【答案】 0【 巩固 】 计算： 1113563945【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【 解析 】 分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：， ， ，21212194135所以原式 35721221355【答案】 71【 巩固 】 计算： 1929701826032【考点】分数裂项
11、 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】2008 年，四中【 解析 】 原式 1112629093911209108【答案】 910【例 8】 1234789【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【 解析 】 首先分析出 111221nn nn原式 123346889 1-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 8 of 1911289354【答案】 1【 巩固 】 计算： 11234980【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【 解析 】 原式 1 1( )2349801)29090【答案】 49180【 巩固 】 计算： 1135246357204【考点】分数裂
12、项 【难度】3 星 【题型】计算 【 解析 】 原式 + + +119361204 ( ) ( )42424 0836580365【答案】 240【 巩固 】 44.135793579【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【 解析 】 111()().()()35975971397206【答案】 206【 巩固 】 89711343590【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【 解析 】 9201023123 8344411-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 9 of 19 9734510304531045 91910101原式 .(.)12391023450(
13、)()240【答案】 54【例 9】 111112345367890【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【 解析 】 原式 12435891 138906【答案】 92160【 巩固 】 333.425178920【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【 解析 】 原式 1111( . )434578920289201892068【答案】 396840【例 10】 计算： 5712348910【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【 解析 】 如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为
14、 2相比较于 2，4，6，这一公差为 2 的等差数列(该数列的第 个数恰好为 的 2 倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大 3，所以nn可以先把原式中每一项的分子都分成 3 与另一个的和再进行计算原式 324161890 1282334910 11132248903 1903112274605231-2-2-1.分数裂项.题库 教师版 page 10 of 19也可以直接进行通项归纳根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为 ，所以23n，再将每一项的 与23231112nnn1分别加在一起进行裂项后面的过程与前面的方法相同【答案】 2315【 巩固 】 计算： 571792345801
15、（ ）【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】2009 年，迎春杯，初赛，五年级【 解析 】 本题的重点在于计算括号内的算式： 这个算式不719234580同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式观察可知 ， ，即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以52374192348015913911345024351 1 146809 13203182853所以原式 56（法二）上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法由于分子成等差数列，而等差数列的通项公式为 ，其中 为公差如果能把分子变成这样的形式，再将 与 分开，每一and and项都变成两个分数，接下来就可以裂项了 571792345801122 38219245890901 1123458901345 1234 10 111220
