1、1三角形“四心”的向量性质及其应用一、三角形的重心的向量表示及应用（中线交点）命题一：已知 是不共线的三点， 是 内一点，若 则ABC， GABC GABC0是 的重心G命题二：点 是三角形 的重心则OOOS = S变式：已知 分别为 的边 的中点则 DEF，ABC AB， ADBECF0变式引申：如图 4，平行四边形 的中心为 ， 为该平面上任意一点，DP则 1()PP二、三角形的外心的向量表示及应用(外接圆圆心，边中垂线交点)命题二：已知 是 内一点，满足 ，则点 为ABC 的外心。GABC MCBA三、三角形的垂心的向量表示及应用：（高线交点）例 1：已知 是 内一点，满足 ，则点 G
2、为垂心。 G变式：若 H 为ABC 所在平面内一点，且222ABHCBCHA则点 H 是ABC 的垂心四、三角形的内心的向量表示及应用（内角平分线交点，内切圆圆心）命题四：O 是内心 ABC的充要条件是0)|CB|CB|CA|CA(OC)|BC|BC|BA|BA(OB)ACAC|AB|AB(OA 变式 1：如果记 CA,B的单位向量为 321e,，则 O 是 ABC内心的充要条件是0)(C)e(O)e(2131 变式 2：如果记 ,的单位向量为 321e,，则 O 是 内心的充要条件也可以是 0cBbAa。例 1（2003 江苏）已知 O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，满
3、足2， ，则 P 的轨迹一定通过ABC 的内心 。 )(ACBOP,0例 2、已知 P 是非等边ABC 外接圆上任意一点，问当 P 位于何处时，PA 2+PB2+PC2取得最大值和最小值。例 3.已知 O 是平面上一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足,则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的(),(0)coscsABCP（ D ） A .外心 B.内心 C 重心 D 垂心变形：（1） C(),(0,)sinsiAOPBC（2） C(),(,)A（3） A(),(0,)coscsBACPBC例 4： 点 O 在ABC 内部且满足 ,则ABC 面积与凹四边形 ABOC 的2O面积
4、之比（ C ）A 0 B 3/2 C 5/4 D 4/3变形引申： ，求ABC 面积与凹四边形 ABOC 的面积之比（ ）0mn例 2（03 年江苏卷）O 是平面上一 定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 ，则 P 的轨迹一定通过ABC 的（ ）),(),|(ABPA外心 B内心 C重心 D垂心（1） （05 年全国卷理） 的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H，则实数 m = ；)(OmOH（2） （05 年全国卷 I 文）点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点，满足 OBA，则点 O 是 的（ ）ACB BC3A三个内角的角平分线的交点 B三条边的垂直平分线
5、的交点C三条中线的交点 D三条高的交点（3）(05 年湖南卷文)P 是ABC 所在平面上一点，若= = ，则 P 是ABC 的（ ）PBAA外心 B内心 C重心 D垂心（06 陕西理） 已知非零向量 与 满足( + ) =0 且 = , 则AB AC AB |AB |AC |AC | BC AB |AB |AC |AC |12ABC 为 ( )A三边均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D等边三角形3以“各种运算的几何意义”为代表的灵活运用阶段（05 浙江卷）已知向量 ，| |1，对任意 tR，恒有| t | |，则aeae（C）(A) (B) ( ) (C) ( ) (D) (
6、 )( )aeae例 3 （06 湖南理）如图 1, , 点 在由射线 、 线段 及 的延ABOM/POMBA长线围成的区域内(不含边界)运动, 且 ,则 的取值范围是 ；yxx当 时, 的取值范围是 . 21xy（2） （07 陕西理）如图 4，平面内有三个向量 、 、 ，其中 与 的OABCOAB夹角为 ， 与 的夹角为 ，且 ， 若10OAC30123，则 的值为 ()CBR， 图2 FEC D AO BPM图1M P B OA4例 4 （07 全国）设 为抛物线 的焦点， 为该抛物线上三点，F24yxABC， ，若 ，则 （ ）0CFBAABCA9 B6 C4 D307 重庆理）如图
7、5，在四边形 中， ，4， ，则 的值为（ 4D0 ACB)(） 22442（2007 江西卷）15如图，在 中，点 是 的中点，过点ABC O的直线分别交直线 ， 于不同的两点 ，若 ，OMN， ABm，则 的值为 ACnNmn2009 年高考中的向量选择题考查应用：1.（ 2009 广 东 卷 理 ） 一质点受到平面上的三个力 123,F（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知 1F， 2成 06角，且 1， 2的大小分别为 2 和 4，则 3F的大小为 A. 6 B. 2 C. 5 D. 27 【解析】 8)608cos(12123 ，所以 73，选 D.2.（2009 浙江卷理）设向量
8、a， b满足： |3a， |4b， 0a以 ， b，ab的模为边长构成三角形，则它的边与半径为 1的圆的公共点个数最多为 ( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A 3 B 4 C 5 D 6答案：C 【解析】如果知道此三角形有一个半径为 1 的内切圆，本题立解BAONCM53.（2009 陕西卷文）在 ABC中,M 是 BC 的中点，AM=1,点 P 在 AM 上且满足 学2PAM,则科网 ()P等于（A） 49 （B） 43 （C） 43 (D) 49 答案:A.解析:由 2P知, p为 A的重心,根据向量的加法, 2PBCM则()C= 214cos039MP故选 A4.（2009
9、 全国卷理）设 a、 b、 是单位向量，且 ab0，则 acb的最小值为 ( D )（A） 2 （B） 2 （C） 1 (D) 2解: ,abc是单位向量 ()acbabcA|1os,1|A故选 D.对照：（08 浙江卷 9）已知 ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足c,则 的最大值是 C0)(cba（A）1 （B）2 （C） （D）225.（2009 宁夏海南卷理）已知 O，N ，P 在 AB所在平面内，且,0OA，且 PCPA，则点O，N，P 依次是 的（A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心 （C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心（注：三角形的三条高线交于一点
10、，此点为三角型的垂心）填空题7.（2009 安徽卷理）给定两个长度为 1 的平面向量 OA和 B，它们的夹角为 120o.如图所示，点 C 在以 O 为圆心的圆弧 B上变动.6若 ,OCxAyB其中 ,xyR,则 y的最大值是_.解析设 ,xyOAOCBAB，即 01cos2()xy 02cos(12)cos3insi()26xy 对比：2009 年石家庄高中毕业班第一次模拟考试试卷第 18 题： 在 ABC中， ， AC 1B()求 ；(11)设 的外心为 O，若 mnA，求 ， n的值18解: () 由余弦定理知 :231)4cos(A,2 分cos(31)31BCA.5 分()由 AmO
11、nB,知 ,.CAC231(31),2.nmAO7 分为 B的外心， 212cos (31)ABBAO.7同理 1ACO.10 分即223()(31),2.mnn， 解得: 31,.m12 分方法 1 考查了向量的数量积及灵活运用，并需要一定的计算技巧，检测出考生个体理性思维的广度和深度及进一步学习的能力，符合对数学能力考查的命题思想方法 2利用了向量的加法法则及平面向量基本定理，需要考生有较强的数学基础和分析解决问题的能力既能反映基础知识掌握情况又能考查考生的能力的题目本题对向量的考查是非常到位的7.（2009 湖南卷文）如图 2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若ADxByC，则 x 312， y . 图 2解:作 DFAB,设 12CBDE， 60B, 6,2D由 45解得 63,F故 31,x.y
