1、第 1 页（共 14 页）三角形难题初中数学组卷一填空题（共 2 小题）1 （2013南京）计算（ 1 ） （ ） （1 ） （）的结果是 2 （2015 春织金县期末）若 a2+2ka+9 是一个完全平方式，则 k 等于 二解答题（共 28 小题）3 （2012重庆模拟）已知：如图，在 ABC 中，AD BC，1= B求证：ABC 是直角三角形4 （2015营口） 【问题探究】（1）如图 1，锐角ABC 中分别以 AB、AC 为边向外作等腰 ABE 和等腰ACD，使AE=AB，AD=AC， BAE=CAD，连接 BD，CE ，试猜想 BD 与 CE 的大小关系，并说明理由【深入探究】（2）如
2、图 2，四边形 ABCD 中，AB=7cm ，BC=3cm，ABC=ACD= ADC=45，求 BD的长（3）如图 3，在（2）的条件下，当ACD 在线段 AC 的左侧时，求 BD 的长5 （2015菏泽）如图，已知ABC=90，D 是直线 AB 上的点，AD=BC（1）如图 1，过点 A 作 AFAB，并截取 AF=BD，连接 DC、DF、CF ，判断CDF 的形状并证明；（2）如图 2，E 是直线 BC 上一点，且 CE=BD，直线 AE、CD 相交于点 P， APD 的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由第 2 页（共 14 页）6 （2015于洪区一模）如图
3、1，在 ABC 中，ACB 为锐角，点 D 为射线 BC 上一点，连接 AD，以 AD 为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF（1）如果 AB=AC， BAC=90，当点 D 在线段 BC 上时（与点 B 不重合） ，如图 2，线段 CF、BD 所在直线的位置关系为 ，线段 CF、BD 的数量关系为 ；当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图 3， 中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果 ABAC， BAC 是锐角，点 D 在线段 BC 上，当ACB 满足什么条件时，CFBC（点 C、F 不重合） ，并说明理由7 （2015 秋南京校级月考）如图， ABC 中，ABC=ACB=80
4、，D、E 分别是 AB、AC上的点，DCA=30，EBA=20，求BED 的度数8 （2014南京） 【问题提出】第 3 页（共 14 页）学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”、 “ASA”、 “AAS”、 “SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL” ）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等 ”的情形进行研究【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在ABC 和 DEF 中，AC=DF，BC=EF， B=E，然后，对B 进行分类，可分为“B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究【深入探究】第一种情况：当B 是直角时， ABCDEF（1）如图，在ABC 和DE
5、F，AC=DF ，BC=EF ，B= E=90，根据 ，可以知道 RtABCRtDEF第二种情况：当B 是钝角时， ABCDEF（2）如图，在ABC 和DEF，AC=DF ，BC=EF ，B= E，且B、E 都是钝角，求证：ABCDEF 第三种情况：当B 是锐角时， ABC 和 DEF 不一定全等（3）在ABC 和DEF，AC=DF，BC=EF ， B=E，且 B、E 都是锐角，请你用尺规在图中作出DEF，使DEF 和 ABC 不全等 （不写作法，保留作图痕迹）（4）B 还要满足什么条件，就可以使 ABCDEF？请直接写出结论：在ABC 和DEF 中，AC=DF，BC=EF，B= E，且 B、
6、 E 都是锐角，若 ，则ABCDEF9 （2014绍兴） （1）如图 1，正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，EAF=45，延长 CD 到点 G，使 DG=BE，连结 EF，AG求证：EF=FG （2）如图，等腰直角三角形 ABC 中， BAC=90，AB=AC，点 M，N 在边 BC 上，且MAN=45，若 BM=1，CN=3，求 MN 的长第 4 页（共 14 页）10 （2014雁塔区校级模拟）阅读下题及证明过程：已知：如图，D 是ABC 中 BC 边上一点，E 是 AD 上一点，EB=EC，ABE= ACE，求证： BAE=CAE证明：在AEB 和AEC 中，E
7、B=EC，ABE= ACE，AE=AE ，AEBAEC第一步BAE=CAE第二步问上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程11 （2013东营） （1）如图（1） ，已知：在 ABC 中，BAC=90，AB=AC，直线 m 经过点 A，BD 直线 m，CE 直线 m，垂足分别为点 D、E证明：DE=BD+CE（2）如图（2） ，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB=AC，D 、A、E 三点都在直线m 上，并且有BDA= AEC=BAC=，其中 为任意锐角或钝角请问结论 DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成
8、立，请说明理由（3）拓展与应用：如图（3） ，D 、E 是 D、A、E 三点所在直线 m 上的两动点（D、A、E三点互不重合） ，点 F 为BAC 平分线上的一点，且 ABF 和 ACF 均为等边三角形，连接BD、CE，若BDA= AEC=BAC，试判断 DEF 的形状12 （2013湖州）一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：第 5 页（共 14 页）如图，已知在 RtABC 中， AB=BC， ABC=90，BO AC 于点 O，点 P、D 分别在 AO和 BC 上，PB=PD，DEAC 于点 E，求证：BPOPDE （1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述
9、思路，请你完整地书写本题的证明过程（2）特殊位置，证明结论若 PB 平分 ABO，其余条件不变求证：AP=CD（3）知识迁移，探索新知若点 P 是一个动点，点 P 运动到 OC 的中点 P时，满足题中条件的点 D 也随之在直线 BC上运动到点 D，请直接写出 CD与 AP的数量关系 （不必写解答过程）13 （2013河南）如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置，其中C=90，B= E=30（1）操作发现如图 2，固定ABC，使DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空：线段 DE 与 AC 的位置关系是 ；设BDC 的面积为 S1，AEC 的面积
10、为 S2，则 S1 与 S2 的数量关系是 （2）猜想论证当DEC 绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（1）中 S1 与 S2 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC 和 AEC 中 BC、CE 边上的高，请你证明小明的猜想（3）拓展探究第 6 页（共 14 页）已知ABC=60 ，点 D 是角平分线上一点，BD=CD=4 ，DEAB 交 BC 于点 E（如图4） 若在射线 BA 上存在点 F，使 SDCF=SBDE，请直接写出相应的 BF 的长14 （2013烟台）已知，点 P 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点（不与 A，B 重合） ，分别过 A，B 向直线 CP
11、 作垂线，垂足分别为 E，F，Q 为斜边 AB 的中点（1）如图 1，当点 P 与点 Q 重合时，AE 与 BF 的位置关系是 ，QE 与 QF 的数量关系式 ；（2）如图 2，当点 P 在线段 AB 上不与点 Q 重合时，试判断 QE 与 QF 的数量关系，并给予证明；（3）如图 3，当点 P 在线段 BA（或 AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明15 （2013昭通）已知 ABC 为等边三角形，点 D 为直线 BC 上的一动点（点 D 不与B、C 重合） ，以 AD 为边作菱形 ADEF（A 、D 、E、F 按逆时针排列） ，使DAF=60，连接 CF（1）
12、如图 1，当点 D 在边 BC 上时，求证：BD=CF；AC=CF+CD；（2）如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，结论 AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出 AC、CF、CD 之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图 3，当点 D 在边 CB 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD 之间存在的数量关系第 7 页（共 14 页）16 （2013涪陵区校级模拟）如图， ADE 的顶点 D 在ABC 的 BC 边上，且ABD=ADB， BAD=CAE，AC=AE求证：BC=DE17 （2013南岸区校级模拟）如图，A 、C、F、B 在同一
13、直线上， AC=BF，AE=BD，且AEBD求证： EFCD18 （2013庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形ABD、ACE 拼在一起（图 1） ABD 不动，（1）若将ACE 绕点 A 逆时针旋转，连接 DE，M 是 DE 的中点，连接 MB、MC（图 2） ，证明：MB=MC（2）若将图 1 中的 CE 向上平移， CAE 不变，连接 DE，M 是 DE 的中点，连接MB、MC（图 3） ，判断并直接写出 MB、MC 的数量关系第 8 页（共 14 页）（3）在（2）中，若CAE 的大小改变（图 4） ，其他条件不变，则（2）中的 MB、MC 的数量关系还成立吗？说明理由19 （
14、2013成都校级模拟）如图，点 C 是线段 AB 上除 A、B 外的任意一点，分别以AC、BC 为边在线段 AB 的同旁作等边三角形 ACD 和等边三角形 BEC，连结 AE 交 DC于 M，连结 BD 交 CE 于 N，AE 与 BD 交于 F（1）求证：AE=BD；（2）连结 MN，仔细观察MNC 的形状，猜想MNC 是什么三角形？说出你的猜想，并加以证明20 （2013 秋 广州校级期中）在等边 ABC 的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点M、N，D 为ABC 外一点，且MDN=60，BDC=120，BD=DC探究：当 M、N 分别在直线 AB、AC 上移动时，BM、NC 、MN 之
15、间的数量关系及AMN 的周长 Q 与等边ABC 的周长 L 的关系（1）如图 1，ABC 是周长为 9 的等边三角形，则 AMN 的周长 Q= ；（2）如图 2，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN 时，BM 、NC、MN 之间的数量关系是 ；此时 = ；（3）点 M、N 在边 AB、AC 上，且当 DMDN 时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明21 （2012广元）如图，在 AEC 和DFB 中，E=F ，点 A、B、C 、D 在同一直线上，有如下三个关系式：AEDF，AB=CD ，CE=BF（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的
16、所有命题（用序号写出命题书写形式：“如果、，那么 ”）（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由第 9 页（共 14 页）22 （2012河源）如图，已知 AB=CD，B= C，AC 和 BD 相交于点 O，E 是 AD 的中点，连接 OE（1）求证：AOBDOC；（2）求AEO 的度数23 （2012山西）问题情境：将一副直角三角板（Rt ABC 和 RtDEF）按图 1 所示的方式摆放，其中ACB=90 ，CA=CB， FDE=90，O 是 AB 的中点，点 D 与点 O 重合，DFAC 于点 M，DEBC 于点 N，试判断线段 OM 与 ON 的数量关系，并说明理由探究展示：小
17、宇同学展示出如下正确的解法：解：OM=ON，证明如下：连接 CO，则 CO 是 AB 边上中线，CA=CB，CO 是ACB 的角平分线 （依据 1）OMAC，ONBC，OM=ON （依据 2）反思交流：（1）上述证明过程中的“依据 1”和“ 依据 2”分别是指：依据 1： ；依据 2： （2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程拓展延伸：（3）将图 1 中的 RtDEF 沿着射线 BA 的方向平移至如图 2 所示的位置，使点 D 落在 BA的延长线上，FD 的延长线与 CA 的延长线垂直相交于点 M，BC 的延长线与 DE 垂直相交于点 N，连接 OM、ON，试判断线段 OM、ON
18、的数量关系与位置关系，并写出证明过程第 10 页（共 14 页）24 （2012长春）感知：如图 ，点 E 在正方形 ABCD 的边 BC 上，BFAE 于点F，DG AE 于点 G，可知 ADGBAF （不要求证明）拓展：如图，点 B、C 分别在 MAN 的边 AM、AN 上，点 E、F 在MAN 内部的射线AD 上，1、2 分别是ABE、CAF 的外角已知 AB=AC， 1=2=BAC，求证：ABECAF应用：如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，ABBC点 D 在边 BC 上，CD=2BD，点 E、F 在线段 AD 上，1=2= BAC若ABC 的面积为 9，则 ABE 与CDF
19、的面积之和为 25 （2012烟台） （1）问题探究如图 1，分别以ABC 的边 AC 与边 BC 为边，向 ABC 外作正方形 ACD1E1 和正方形BCD2E2，过点 C 作直线 KH 交直线 AB 于点 H，使 AHK=ACD1 作D1MKH，D 2NKH，垂足分别为点 M，N 试探究线段 D1M 与线段 D2N 的数量关系，并加以证明（2）拓展延伸如图 2，若将“问题探究” 中的正方形改为正三角形，过点 C 作直线 K1H1，K 2H2，分别交直线 AB 于点 H1，H 2，使AH 1K1=BH2K2=ACD1作 D1MK1H1，D 2NK2H2，垂足分别为点 M，ND 1M=D2N 是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由如图 3，若将中的“正三角形”改为“ 正五边形”，其他条件不变D 1M=D2N 是否仍成立？（要求：在图 3 中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）26 （2012沈阳）已知，如图 ， MON=60，点 A，B 为射线 OM，ON 上的动点（点A，B 不与点 O 重合） ，且 AB=4 ，在MON 的内部，AOB 的外部有一点 P，且AP=BP，APB=120（1）求 AP 的长；（2）求证：点 P 在MON 的平分线上
