1、 例谈提高竞赛数学趣味性的教学策略 商丘市第一高级中学 翟永恒 例谈 提高 竞赛 数学 趣味性 的教学策略 翟永恒 （ 商丘市一高 河南 商丘 476000） 摘要： 竞赛数学是我国数学 教育 的一个强项，但 目前 相关 教师 普遍 采用 “超前学习，机械训练” 的方 式 进行教学，学生 无法到 感受学习的乐趣 这 就 不可避免的引发 了诸多弊端 , 因此 非常有必要 从教的角度对如何 提高 竞赛数学 数 的 趣味性 进行研究 关键词：竞赛数学；兴趣； 数学史；数学实验 1 问题的提出 国际数学奥林匹克竞赛 （ 简称 IMO，俗称奥数 ） 的 教育价值毋庸置疑 1，但是，近年来 受 功利主义的
2、驱动， “奥数”出现了泛化的趋势 ， 许多 小学数学竞赛都被冠以“奥数”的头衔 ， 出现了“全民奥数”的不正常现象 ， 引起许多人对奥数的批判和反思 国家的政策导向也因此采取了适当调整，比如很多省区都取消了高考奥数加分政策，从而使 中学 奥数 更加健康的发展 从 世界范围 看，许多 现代 数学家都有参加数学竞赛的经历 但 有人 对我国获得 IMO 奖牌的选手进行 了 追踪调查 ， 发现 “这些公认的数学尖子基本上没有在数学研究上 做 出突出成就的 ， 甚至鲜有喜欢数学的” 是什么原因导致这种现象呢？ 丘成桐先生 一针见血的指出： “ 国外奥数考得好的学生 ， 往往能够成才 ，而我们的学生不一定
3、能成才 ， 因为国内是机械性的学数学 ， 不是出于兴趣 ” 目前 ，我们的 奥数 教学存在很多问题，应试教育 和功利主义 的色彩非常明显 教师大多采用“题海战术”进行教学，根本不注意教学的趣味性，使许多本来对数学非常感兴趣的同学对奥数 乃至 数学产生了厌恶和恐惧 因此， 我们非常有必要 从教的角度 深入 探讨如何提高奥数的趣味性 ，使学生由纯粹因为“好胜”转变为由于“好奇”而学习奥数 此外 ， 为了与已被泛化的“奥数”一词相区别 ，下文将在相应的地方使用“竞赛数学” ， 同时将其限定在中学 ， 尤其是高中范围内 进行讨论 2 竞赛 数学的基本特点 数学竞赛是 关于 解题 活动的 比赛 ， 相应
4、的，解题就成了 竞赛数学的 核心 就内容而言 ， 竞赛数学 涉及代数、几何、初等数论、组合 、图论 等 多个 领域 ， 在 广度和深度上都对中学数学进行了大幅度加深 相对常规数学， 竞赛数学的 问题大多离实际生活背景 较远 （与大学基础数学专业的研究有很多相似之处） ，数学的 抽象、严谨 等 基本特点表现的尤为突出 此外， 数学竞赛 侧重对 选手数学 创新能力 的考察 ，因此 竞赛数学 的 灵活性 极 强 ， 具有 非模式化的特点 ， 且大多 具有 一定的 高等数学背景 ， 依靠 “题海战术”的方法 在 数学竞赛中是不可能取得 好成绩的 从教学的角度看， 竞赛数学 的学习是非强制性的，学生主要
5、利用 课余时间进行学习， 教学时间紧、任务重 ， 多数教师都是 单纯的 采用讲授法进行教学 虽然这样提高了教学效率，但不利于提高学生的学生学习兴趣 此 外，竞赛数学的教学对象一般具有基础扎实 、数学直觉敏锐、 抽象思维和逻辑推理能力 较 强 的 特点 3 提高竞赛数学趣味性的 教学策略 理论与实践都 已 表明 ： 在常规 数学 教学中，引入 数学史 和 数学实验， 加强 与实际应用 的 联系可以提高学生的学习兴趣 ，明显改善教学效果 鉴于此，我们尝试将上 述三种方法引入到竞赛数学教学中 ，具体分类如下 ： 3 1 融入 数学史 数学竞赛 ， 尤其是 IMO 的试题大多具有深厚的数学史背景 ，
6、甚至直接来自某些著名的定理或历史名题 例如 第一届数学奥林匹克国家集训队 就提供了这样一道 训练题 ： 试题 1 设 ()fx为实多项式 ， 且对任何 aR ， ( ) 0fa （即 ()fx是正定的）求证：存在多项式 ( ), ( )g x hx ， 使 22( ) ( ) ( )f x g x h x2 说明： 本题其实有着深厚的历史背景 在 1900 年 ， 德国数学家希尔伯特（ Hilbert） 在巴黎国际数学家大会上提出 了 23 个数学问题 ， 即著名的 Hilbert 问题 ， 引导 了 整个 20 世纪世界数学研究的潮流 此题 就来源于 其中的第 17 个问题：关于 1, nx
7、x的实系数正定有理函数是否一定可表成有限个关于 1, nxx的实系数有理函数的平 方和 3 在教学中 ， 将 数学问题 的这种背景展示给学生 ， 可以很好的激发学生的学习热情 ， 使他们以研究的角度看待竞赛数学学习 ， 而不是单纯的为了应试而学 3 2 加强与 实际应用 的联系 从表面上看 ， 竞赛数学研究 的对象大多远离实际应用 ， 以至于许多 人 把数学竞赛看 作 是纯粹的智力挑战 其实与实际应用没有任何关联的数学是不存在的 ，即使以往被 认为 “最纯洁”的数论 ， 今天也已经 被 广泛运用在信息安全 等领域 再者 ， 人毕竟不能“不食人间烟火” ， 学生 还是希望能学到“有用”的数学 ,
8、因此将竞赛数学与实际应用联系起来能够极大的激发学生 的学习兴趣 虽然这类竞赛试题出现的 相对 较少，但是 也有不少成功的 尝试 例如 ， 1978 年北京市数学竞赛就以著名的 Butchart-Moster 定理 的 一个 推论 （定理 1）为基础 ， 设计了一个 与实际应用密切相关 的竞赛题 定理 1 设 1 naa， 1, n Q ， 则函数11( ) | | | |nnf x x a x a 存在唯一的极小值 试题 2：图 一 是一个化工厂的地图 ， 一条公路（粗线）通过这个地区 ， 七个工厂 1 2 7,A A A 分布在公路两侧 ， 由一些小路（细线）与公路相连 现在要在公路上设一个
9、长途汽车站 ， 车站到个工厂（沿公路、小路走）的距离总和越小越好 ， 问： （ 1） 这个车站设在什么地方最好？ （ 2） 证明你所做的结论； （ 3） 如果在 P 的地方又建立了一个工厂 ， 并且沿着图上的虚线修了一条小路 ，那么这时车站设在什么地方好？ 分析 : (1 7)iAi 与 P 到距离之和是定值 ， 记为 1 2 3 4 5 6 7( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )S d A B d A C d A D d A D d A E d A F d A F 可将公路拉直 ， 则 B、 C、 D、 E、 F 的位置关系不变 ， 且它们的距离之和不变 ， 即这个拉直变换
10、既保序又保距 ， 可以将该直线视为数轴 设长途汽车站设在 x 处 ， 则问题变为求 1 2 3 4 5( ) | | | | 2 | | | | 2 | |f x S x a x a x a x a x a ，其中 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a 分别表示 B、 C、 D、 E、 F 到原点的距离（第三问与之类似） ，这样就转化成了定理 1 的形式 ， 进而 可以求 ()fx的最小值点 2 3 3 引入 数学实验 数学学习 是 一个由直观到抽象 ， 由简单到复杂的 认知 过程 借助 数学实验 ，可以 丰富 学生的 直观经验 ， 为下一步的抽象、概括打下必要的基础 由于竞赛数
11、学的问题复杂且抽象，因此，与常规教学中一般采用活动、操作的实验方法不同，竞赛 数学 中的 实验 往往 要 借助 编程 和专业数学软件 才能 完成 ，更类似于专业数学研究者的数学实验方法 一般来说 ， 我们可以将竞赛数学中的数学实验分为 两大类： 基于算法思想的验证归纳模式和基于 图形变化的模拟演示模式 ， 下面进行简 要 介绍 2 3 1 验证 归纳 模式 竞赛数学的问题 很多都 涉及“无限”或大数字 （如涉及数论的问题） ， 通过手工计算进行验证、归纳 的 难度较大 使用 计算机可以将学生从繁琐的机械计算中解放出来 ， 将精力集中在算法的设计和 寻找 证明 的 思路 等更富创造性的活动上 本
12、类型数学 实验 的关键是设计 与题设 相应的算法 ， 并使用高级程序设计语言实现之 试题 3(2002 年 IMO)： 设 n 为大于 1 的整数，全部正因数为 12, , , kd d d ， 且满足 121 kd d d n ，记 1 2 2 3 1kkD d d d d d d （ a） 求证： 2Dn （ b）确定所有 n ，使得 D 能整除 2n 3 分析： 使用程序设计语言 分别实现 求 n 的所有因数 和 D 的函数， 如将 函数分别 命名 为 myfactor()和 D()，并 搜索 某一范围内满足（ b）的所有 n 由于相关算法比较简单， 故 不再给出具体代码， 仅给出 部分
13、 运行 结果： 如 令 32n ，调用 myfactor(32)结果 为 1, 2, 4, 8 , 6, 32，调用 D(32)结果为682 从特例不仅可以验证 (a)成立，还容易发现：若 d 是 n 的正因数，则 nd 也是n 的正因数， 进而发现 2 2 21 1 2 2 1k k k kn n nD d d d d d d ，并最终解决问题（证明略） 若限定 50n ，搜索出使 D 能整除 2n 的所有 n 为： 2， 3， 5， 7， 11， 13，7， 19， 23， 29， 31， 37， 41， 43， 47 则容易得出猜想 ： 当且仅当 n 是质数 时满足题意 进而用反证法进行
14、证明猜想即可 ，证明略 2 3 2 模拟演示模式 本类型的数学实验主 要是借助几何画板、 Matlab 等专业 软件 ， 直观 演示相关量的运动变化过程 ， 揭示 其规律 ， 进而解决问题 试题 4(2005 年 IMO)：给定凸四边形 ABCD， BC=AD， 且 BC 不平行于 AD 设点 F 和 E 分别在边 BC 和 AD 内部 ， 满足 BF=DE 直线 AC 和 BD 相交于 P， 直线 BD 和 EF 相交于 Q， 直线 EF 和 AC相交于 R 求证：当 E、 F 变动时 ， PQR的外接圆除经过 P 外还过另一个定点 3分析：在 动态软件 geogebra 中根据题设构建相应
15、模型， 如图 二 所示 ， a为 动态参数 ， 其值 等于 BF、 DE 长度，则 点 F、 E 会 分别 在 BC 和 AD 上移动 在此过程中，观察 PQR 的外接圆，可以发现它除一定过 P 外，还总过PDC 内一点，由此大胆猜想： 该定点为完全四边形 （也称为完全四线形）APBGDC 的 米格尔（ Miqueil） 点 3 在geogebra 中构造该点， 即作 GBD ，GAC ， BPC ， APD 的外接圆交点H，调整 a 的值，发现 H 总在 PQR 外接圆上 ， 所以 猜想成立，证明 略 3结束语 笔者坚信，作为数学 基础 教育的一个分支，竞赛数学必须要遵循数学教学的一般规律
16、在目前 教学 改革的背景下， 竞赛数学教学 也 应当 与时俱进的 进行 教学方法 的 改革， 决不能再使用那种 “超前学习，题 海训练” 的 填鸭式教学方法 当然，凡事过犹不及 首先， 竞赛数学的 一个 重要 教学目标是 培养学生更强的（相对非奥数学习者）抽象思维能力和空间想象能力， 过度强调增加数学史、数学实验等丰富学生直观体验 的内容 并不利于这一目标的实现 ； 其次，竞赛数学的问题往往比较复杂、抽象，而教学时间又很紧， 而学生的学习愿望大多比较强烈， 因此很难也没有必要处处考虑问题的趣味性 参 考 文 献 1 朱华伟 试论数学奥林匹克的教育价值 J 数学教育学报 ,2007,5(16):12-15 2 刘培杰 数学奥林匹克试题背景 研究 M 上海：上海教育出版社 3 熊斌，田延彦 国际数学奥林匹克研究 M 上海：上海教育出版社
