1、计算题 1、在整数环 Z 中，令 I = 5k|k Z （1）确定商环 Z/I 中的元素。（2） Z/I 是不是一个整环？求 Z/I 的特征。2、确定 3 次对称群 S3的所有子群及所有正规子群。3、求模 6 的剩余类环 Z6的所有理想。4、在 10 次对称群 S10中， = . 196875243100（1）将 表成一些不相交轮换之积。（2）求| |。5、设 G = 2m7n|m， nQ 是关于普通数的乘法构成的群， f：2 m7n | 7 n是G 到 G 的一个同态映射，求 f 的同态核 Kerf 。6、设（ Z16，）是模 16 的剩余类环，求 Z16的所有理想，求 Z16的所有非零理想
2、的交。 7、在 7 次对称群 S7中,将(12)(2347) -1(12)-1表为一些互不相交的轮换之积。8、在高斯整数环 Zi=a + bi|a, bZ,i2=-1中,(1)求主理想(1+ i)，(2)求。)1(iZ9、给出整数加群 Z 的所有自同构。10、设 R=Z4是模 4 的剩余类环,确定 Z4的所有理想。11、设 R=Zi=a + bi|a, bZ,i2=-1是高斯整数环,试求 Zi的所有单位。12、设 G= 2m3n | m, nQ是关于通常数的乘法作成的群,令 f:2m3n 2m(1)验证 f 是 G 到 G 的同态映射， (2)确定 Kerf 。13、找出三次对称群 的所有子群
3、；找出 关于子群 H=(1),(12)的右陪集3S3S分解。14、在整数环 Z 中，试求出所有包含 30 的极大理想。15、求出模 6 的剩余类加群 Z 的所有自同构。616、 （10 分）求模 12 的剩余类加群（Z 12，）的所有自同构映射17、设 Z 是高斯整数环，求 Z 的商域。i1,|2iZbai i18、求数环 Z =a+b ,b Z的全部自同构映射。519、求高斯整数环 Zi=a+bi ,b Z,i =1的主理想(1- i) 以及剩余类环2)1(iZ20、设 Z 是模 8 的剩余类环,在 Z 中求 x 的根.8321、在 3 次对称群 S 中,令 H=(1),(12),试确定 H
4、 在 S 中的左陪集分解式。3 322、确定高斯整数环 Zi的全部自同构映射.23、试写出模 12 的剩余类加群 G（Z ，）的所有子群及 G 的所有12生成元。24、设 Z 是整数环，求（4，6）？25、找出模 8 的剩余类环 的一切非零理想，并求它们的交。)8(Z26、 设 G=2 5 ,n 是关于普通的数的乘法作成的群, f:2 5 5mnQmn是 G 到 G 的一个同态映射,求 f 的核 kerf 。n27、设(Z 12,+, )是模 12 的剩余类环,求 Z12的一切理想,以及一切非零理想的交。28、试写出三次对称群的所有不变子群。29、已知 I6k|k Z是偶数环 R 的理想，求商
5、环 的所有元素。IR30、求数环 的所有单位。ZbaZ,7731、确定模 10 的剩余类加群的所有子群。32、设 G 是一个阶为 15 的交换群。（1） 证明 G 是循环群。（2） 求出 G 的所有子群。33、若 S3是 3 次对称群， yxSyxSC,|)(333（1） 求 C（ S3） 。（ 2） 当 n 3 时， C（ Sn）呢 ?34、在 3 次对称群 S3中， H=（1） ， （23） 。（1）试给出 H 在 S3中的左陪集分解式（2） H 是不是 S3的正规子群？35、设 G 是一个 21 阶交换群， H= x|x eG14,(1) 证明： 。（2）确定出 H。36、设 Z 是整数
6、加群，求 Z 的自同构群 Aut(Z)。37、设 Z 是模 6 的剩余类加群，求 Aut(Z6)。38、 在整数加群 Z 中，S=2004,2 3,32 ，求。39、设 G=是一个 20 阶循环群，试求 G 的所有生成元。40、确定 3 次对称群 S3的所有正规子群。41、设 N G，| |=12, 中求。Ng在,14,42、在 5 次对称群 S5中，设置换 =（12345）（1）求置换 ，使 。2（2）求置换 ，使 。1443、在 S9中， =（1965） （1487） （1923） ，将 表成一些不相交轮换之积，且求 。44、在 S8中， H=, =（1487） （1865） （134）
7、，试求 G： H。45、求 Z 到 Zm的所有同态映射。46、求 Zm到 Z 的所有同态映射。47、求 Z4到 Z6的所有同态映射。48、设 H G， N G， 。 )(,:, GgNgHGf 令（1）证明： f 是群 到 的一个同态映射。（2）计算 Kerf。49、设 G=3 m5n|m,n ，G 对通常数的乘法构成群。令Q。KerfGf 求),(,:50、设 G 与 H 是两个群，| G|=100，| H|=21， f 是 G 到 H 的同态映射，求 f。51、求模 12 的剩余类环 Z12的全部子环。52、求模 8 的剩余类环 Z8的全部理想。53、若 1,|ibaiiZ（1） 求 Zi
8、的所有单位。（2） 是不是域？)(i54、求模 24 的剩余类环 Z24的所有单位。55、设 。nmRn,|3（1） 证明 R 是有理数域 Q 的子环。（2）求 R 的所有单位。56、求环 M2（ Z2）中的所有可逆元。57、求环 M2（ Z4）中的所有可逆元。58、试求模 18 的剩余类 环 Z18的可逆元与零因子。59、设 Zi为高斯整数环， I=（ 1+2i）,试写出 I 的元素的明显表达式，并求商环 。Ii60、试确定 Z12的所有商环。61、设 ，R 对通常矩阵的加法与乘法构成环。令ZcbaoR,|xI|0（1） 证 明 I 是 R 的一个理想。（2） 求 I 的所有理想。62、求出
9、整数环 Z 的一切自同态，并求出它们的每一个同态核。63、设 是环， I=（9）k|3（1）求 ， （2） 是不是一个域？IRR64、在整环 中，ZbaZ,|（1）求 ( ) 2（2） （ ）是不是 Z 的一个极大理想？265、设 是高斯整数环，试确定商环 的元素。ZbaiiZ,| )2(iZ66、在 3 次对称群 S3中， g=(23), 是由 g 诱导的 S3的内自同构，求 。 g67、设 R 是整环， I 是 R 的理想，举例说明 不一定是整环，给出 是整环IRIR的充要条件。68、举例说明含 2 个元素的环不一定是域，给出一个 2 元素环为域的一个充要条件。69、求模 3 的剩余类加群
10、 Z3的自同构群。70. 设 . 当 满足什么条件时, 关于剩余类的乘法构成群?71. 求剩余类加群 中每个元素的阶。72.找出 的所有子群.73. 找出 的所有生成元.74. 找出群 的全部自同构映射, 即求出全部的 : , 使得75. 设计算乘积 , , , .76. 设(1) 试确定 和 的奇偶性;(2) 分别将 和 与表示为不相交轮换之积;(3) 计算 , 并将之表为不相交轮换之积.77. 设 (1 3 5 2)(1 4 7 6), (2 5 6 4)(3 7).(1) 分别确定 和 的奇偶性;(2) 将 和 改写为一般置换的形式.78.写出 与 的所有置换.79. 在 中找出所有不与
11、(1 2 3)可交换的元素.80. 在 中 , 找出所有与 (1 2 3 4)可交换的元素.81. 设按顺序排列的 13 张红心纸牌A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K经 2 次同样方式的洗牌后牌的顺序变为6 10 A Q 9 K J 7 4 8 3 2 5试求出第一次洗牌后牌的顺序.83. 设 , , 求 .84. 设 , , 求 (这里 和 分别表示全体非零复数及全体非零实数的集合).85. 设 是一切非零实数关于数的乘法所构成的乘法群. 对下列映射 , 哪些是 到 的同态映射? 对于同态映射 , 找出 以及 .(1) ; (2) ; (3) ; (4) .86. 试决定三
12、次对称群 的所有同态象. (同构的同态象看作同一个同态象.)87. 设 . 是由六个置换(1), (1 2 3)(4 5 6), (1 3 2 )(4 6 5)(7 8), (1 2 3)(4 5 6)(7 8), (1 3 2 )(4 6 5)(7 8)所组成的群.（1） 写出 的各元素的稳定子和轨道；（2） 写出 的各元素的不动元素.88. 计算一个正八面体的旋转对称群的元素的个数.89. 用红、黄两种颜色的同样大小的正方形塑料板各 8 块可铺成多少种不同的大正方形塑料板？ 假定小正方形塑料板两面颜色相同.90.试求 中的所有零因子与可逆元, 并求每个可逆元的逆元素.91. 求线性方程 ,
13、 在环 上的解.92. 求线性方程 , 在环 上的解.93. 求线性方程 , 在环 上的解.94. 求线性方程 , 在环 上的解.95. 分别求线性方程组在 , , , 中的解.96. 求二次方程 在环 上的解.97. 求二次方程 在环 上的解.98. 求二次方程 在环 上的解. 99. 求二次方程 在环 上的解. 100. 计算多项式 , ,在环 上的乘积.101. 计算多项式 , , 在环 上的乘积.102. 计算多项式 , , 在环 上的乘积.103. 计算多项式 , , 在环 上的乘积.104. 在四元数体中, 设(1) , .(2) , .求 , , , , .105.设集合(1)
14、求 的所有理想.(2) 求 的极大理想与素理想.106. 试求 的所有理想与极大理想.107. 设 , 都是整数环的理想, 试求(1) .(2) .(3) .108. 理想 (15,24) 是怎样的主理想?109. 在 中, , 求 的元素个数.110. 3. 下列映射哪些是环同态(1) : , ;(2) : , ;(3) : , ;(4) , : , .111. 对 , 求 , 使得 .(1) , .(2) , .112. 对多项式 , , 求 , 使得(1) , , .(2) , , .(3) , , .113. 对 , 求 , 并求 , 使得 .(1) , .(2) , .114. 判别
15、集合在 上是否线性相关?115. 构造模 2 的高斯整数环 的乘法表. 这个环是域吗 ?116. 设 是 4 阶有限域, . 确定下列系数在 上的多项式在域 中是否可约.(1) (2) 117. 设 是九个元素的域. 求 中的矩阵的逆矩阵 .118. 构造含个元素的有限域，并写出它的加法和乘法运算表。119. 给出下列四个四元置换 3412,4312,3421,43212 组成的群 ，试写出 的乘法表，并且求出 的单位元及 和GG1,的所有子群。120. 设 是模 6 的剩余类环，且 。如果5,432,106Z xZgxf6)(,、 ，计算 、53)(xxf 3)(2xxg和 以及它们的次数。
16、)(xgf)(xf121.设 M 是一个非空集合，2M 是 M 的幂集（M 的子集的全体称为 M 的幂集） ，问2M 关于集合的并是否构成群？为什么？122.找出模 20 的剩余类加群 Z20 的所有子群，并找出 Z20 的全部生成元.123.设 ZbaR,0关于矩阵的加法和乘法构成一个环，I =Zx0证明：I 是 R 的理想，问商环 R/I 由哪些元素组成？124. 假定 是模 8 的剩余类环，在 里计算 并求出它x)()(xgfxf与们的次数，其中 。34)(53)( 2gxf，125对 ， ，求 ， 和 。kjix21kjiy2xy1126. 设 ， 是整数环的理想，试求下列各理想，并简
17、述理由。)6(I)(I1 ；22 ；I3 21127. 设有置换 ， 。)1245(36)45(3S1求 和 ；12确定置换 和 的奇偶性。128. 求剩余类加群 Z12中每个元素的阶。129. 设 A，B，C 是 G 的子群,下面命题中哪些是正确的？给出证明或举出反例。1) ;23 ;4)()ABCA130. 写出 元素形式，并找出 所有子域。2,3)Q(2,3)Q131. 设 G 是 6 阶循环群，找出 G 的全部生成元，并找出 G 的所有子群.132. 求剩余类环 Z6 的所有子环，这些子环是不是 Z6 的理想？133. 设 Z 是整数环，则(2)(3)、(2,3)是 Z 的怎样一个理想？(2)(3)是 Z
