1、 唯思达 唯有思索才能通达！ 教师讲义小学六年级奥数 第 - 1 - 页 共 4 页专题一 牛吃草问题分析牛吃草问题是经典的奥数题型之一，这里我只介绍一些比较浅显的牛吃草问题，给大家开拓一下思维，首先，先介绍一下这类问题的背景，大家看知识要点知识要点一、定义伟大的科学家牛顿著的普通算术一书中有这样一道题：“12 头牛 4 周吃牧草3 格尔，同样的牧草，21 头牛 9 周吃 10 格尔。问 24 格尔牧草多少牛吃 18 周吃完。 ”1（格尔牧场面积单位） ，以后人们称这类问题为“牛顿问题”的牛吃草问题。这类问题难在哪呢？大家看看它的特点二、特点在“牛吃草”问题中，因为草每天都在生长，草的数量在不
2、断变化，也就是说这类问题的工作总量是不固定的，一直在均匀变化。难吗？难什么啊，一点都不难，只要掌握了方法，以后这样的题就都会了，来，看看这例题典例评析例 1 牧场上长满牧草，每天都匀速生长。这片牧场可供 27 头牛吃 6 天或 23 头牛吃 9 天。问可供 21 头牛吃几天？【 分析 】 这片牧场上的牧草的数量每天在变化。解题的关键应找到不变量 即原来的牧草数量。因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变，但应注意到它是匀速生长的，因而这片牧场每天新长出飞草的数量也是不变的。从这道题我们看到，草每天在长，牛每天在吃，都是在变化的，但是也有不变的，都是什么不变啊？草是以匀
3、速生长的，也就是说每天长的草是不变的;，同样，每天牛吃草的量也是不变的，对吧？这就是我们解题的关键。这里因为未知数很多，我教大家一种巧妙的设未知数的方法，叫做设“1”法。我们设牛每天吃草的数量为 1 份，具体 1 份是多少我们不知道，也不用管它，设草每天增长的数量是 a 份，设原来的草的数量为 b 份，那么我们可以列方程了：27*6=b+6a；23*9=b+9a【思考 1】一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供 24 头牛吃 6 天，或 20 头牛吃 10 天，那么可供 18 头牛吃几天？15 天设 1 头牛 1 天吃的草为 1 份。则每天新生的草量是（2010-246）(10-6)=14 份
4、，原来的草量是（24-14）6=60 份。可供 18 头牛吃 60（18-14）=15 天例 2 因天气寒冷，牧场上的草不仅不生长，反而每天以均匀的速度在减少。已知牧场上的草可供 33 头牛吃 5 天，可供 24 头牛吃 6 天，照此计算，这个牧场可供多少头牛吃 10 天?【 分析 】 与例 1 不同的是，不但没有新长出的草，而且原有的草还在匀速减少，但是，我们同样可以用类似的方法求出每天减少的草量和原来的草的总量【思考 2】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以固定的速度在减少，经计算，牧场上的草可供 20 头牛 吃 5 天，或可供 16 头牛吃 6 天。那么，可供 11 头牛吃几天？8 天，设
5、一头牛一天吃的草量为一份。牧场每天减少的草量：（205-166）（6-5）=4 份，原来的草量：（20+4） 5=120 份，可供 11 头牛吃 120(11+4)=8唯思达 唯有思索才能通达！ 教师讲义小学六年级奥数 第 - 2 - 页 共 4 页天。总结：想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，但是因为是匀速生长，所以每天新长出的草量也是不变的。正确计算草地上原有的草及每天新长出的草，问题就会迎刃而解。知识衍变牛吃草基本问题就先介绍到这，希望大家掌握这种方法，以后出现样吃草问题，驴吃草问题也知道怎么做，甚至，以下这些问题都可以应用牛吃草问题解决方法例 3
6、自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小丽从扶梯上楼，已知小明每分钟走 25 级台阶，小丽每分钟走 20 级台阶，结果小明用了 5 分钟，小丽用了 6 分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？【 分析 】 在这道题中， “总的草量 ”变成了 “扶梯的台阶总级数 ”， “草 ”变成了“台阶 ”， “牛 ”变成了 “速度 ”,所以也可以看成是 “牛吃草 ”问题来解答。【思考 3】两只蜗牛同时从一口井的井顶爬向井底。白天往下爬，两只蜗牛的爬行速度是不同的，一只每天爬行 20 分米，另一只每天爬行 15 分米。黑夜往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的，结果一只蜗牛恰好用了 5 个昼夜到达井底，另一只恰
7、好用了 6 个昼夜到达井底。那么，井深多少米？大家说这里什么是牛？什么是草？都什么是不变的？15 米。蜗牛每夜下降：（205-156）（6-5）=10 分米所以井深：（20+10）5=150 分米=15 米例 4 一条船有一个漏洞，水以均匀的速度漏进船内，待发现时船舱内已进了一些水。如果用 12 人舀水，3 小时舀完。如果只有 5 个人舀水，要 10 小时才能舀完。现在要想在 2 小时舀完，需要多少人？【 分析 】 典型的 “牛吃草 ”问题，找出 “牛 ”和 “草 ”是解题的关键【思考 4】一个水池，池底有泉水不断涌出，用 10 部抽水机 20 小时可以把水抽干，用 15 部相同的抽水机 10
8、 小时可把水抽干。那么用 25 部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？5 小时。设一台抽水机一小时抽水一份。则每小时涌出的水量是：（2010-1510）(20-10)=5 份，池内原有的水是：（10-5）20=100 份.所以,用 25 部抽水机需要:100(25-5)=5 小时思维拓展例 5 有一牧场长满牧草，牧草每天匀速生长，这个牧场可供 17 头牛吃 30 天，可供 19 头牛吃 24 天，现在有若干头牛在吃草，6 天后，4 头牛死亡，余下的牛吃了 2 天将草吃完，问原来有牛多少头？【 分析 】 “牛吃草 ”问题的特点是随时间的增长，所研究的量也等量地增加。解答时，要抓住这个关键问题，也就
9、是要求出原来的量和每天增加的量各是多少。【思考 5】一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供 27 头牛吃 6 天，或供 23 头牛吃 9 天，现有一群牛吃了 4 天后卖掉 2 头，余下的牛又吃了 4 天将草吃完。这群牛原来有多少头？25 头。设每头牛每天的吃草量为 1 份。每天新生的草量为：（239-276）（20-10）=15 份，原有的草量为（27-15）6=72 份。如两头牛不卖掉，这群牛在4+4=8 天内吃草量 72+158+24=200 份。所以这群牛原来有 2008=25 头唯思达 唯有思索才能通达！ 教师讲义小学六年级奥数 第 - 3 - 页 共 4 页例 6 有三块草地，
10、面积分别为 5 公顷，6 公顷和 8 公顷。每块地每公顷的草量相同而且长的一样快，第一块草地可供 11 头牛吃 10 天，第二块草地可供 12 头牛吃 14天。第三块草地可供 19 头牛吃多少天？【 分析 】 由题目可知，这是三块面积不同的草地，为了解决这个问题，首先要将这三块草地的面积统一起来。巩固练习1.一块牧场长满了草，每天均匀生长。这块牧场的草可供 10 头牛吃 40 天，供 15头牛吃 20 天。可供 25 头牛吃天。 （ ）A. 10 B. 5 C. 20A 假设 1 头牛 1 天吃草的量为 1 份。每天新生的草量为：(1040-1520)（40-20）=5（份） 。那么愿草量为：
11、1040-405=200（份） ，安排 5 头牛专门吃每天新长出来的草，这块牧场可供 25头牛吃：200（25-5）=10（天） 。2.一块草地上的草以均匀的速度生长，如果 20 只羊 5 天可以将草地上的草和新长出的草全部吃光，而 14 只羊则要 10 天吃光。那么想用 4 天的时间，把这块草地的草吃光，需要只羊。 （ ）A. 22 B. 23 C. 24B 假设 1 只羊 1 天吃草的量为 1 份。每天新生草量是：（1410-205）（10-5）=8（份）原草量是：205-8560（份）安排 8 只羊专门吃每天新长出来的草，4 天时间吃光这块草地共需羊：604+823（只）3画展 9 时开
12、门，但早有人来排队等候入场。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开 3 个入场口，9 点 9 分就不再有人排队了，那么第一个观众到达的时间是 8 点分。 （ ）A. 10 B. 12 C. 15C 假设每个人口每分钟进入的观众量是 1 份。每分钟来的观众人数为（39-55）（9-5）=0.5（份）到 9 时止，已来的观众人数为：39-0.5922.5（份）第一个观众来到时比 9 时提前了：22.50.545（分）所以第一个观众到达的时间是 9 时-45 分=8 时 15 分。4. 经测算，地球上的资源可供 100 亿人生活 100 年，或 可供 80 亿人生活 300 年。假设
13、地球新生成的资源增长速度是一样的。那么，为了满足人类不断发展的要求，地球最多只能养活（ ）亿人。70 设 1 亿人 1 年所消耗的资源为 1 份那么地球上每年新生成的资源量为：（80300-100100）（300-100）=70（份）只有当地球每年新生资源不少于消耗点的资源时，地球上的资源才不至于逐渐减少，才能满足人类不断发展的需要。所以地球最多只能养活：701=70（亿人）5. 快、中、慢三车同时从 A 地出发，追赶一辆正在行驶的自行车。三车的速度分别是每小时 24 千米、20 千米、19 千米。快车追上自行车用了 6 小时，中车追上自行车用了 10 小时，慢车追上自行车用（ ）小时。12
14、自行车的速度是：（2010-246）（10-6）=14（千米/小时）三车出发时自行车距 A 地：（24-14）6=60（千米）慢车追上自行车所用的时间为：60（19-14）=12（小时）6. 一水池中原有一些水，装有一根进水管，若干根抽水管。进水管不断进水，若用 24 根抽水管抽水，6 小时可以把池中的水抽干，那么用 16 根抽水管， （ ）小唯思达 唯有思索才能通达！ 教师讲义小学六年级奥数 第 - 4 - 页 共 4 页时可将可将水池中的水抽干。18 设 1 根抽水管每小时抽水量为 1 份。（1）进水管每小时卸货量是：（218-246）（8-6）=12（份）（2）水池中原有的水量为：218
15、-12872（份）（3）16 根抽水管，要将水池中的水全部抽干需：72（16-12）=18（小时）7. 某码头剖不断有货轮卸下货物，又不断用汽车把货物运走，如用 9 辆汽车，12小时可以把它们运完，如果用 8 辆汽车，16 小时可以把它们运完。如果开始只用 3 辆汽车，10 小时后增加若干辆，再过 4 小时也能运完，那么后来增加的汽车是（ ）辆。19 设每两汽车每小时运的货物为 1 份。（1）进水管每小时的进水量为：（816-912）（16-12）=5（份）（2）码头原有货物量是：912-12548（份）（3）3 辆汽车运 10 小时后还有货物量是：48+（5-3）10=68（份）（4）后来增
16、加的汽车辆数是：（68+45）4-3=19（辆）8有一片草地，每天都在匀速生长，这片草可供 16 头牛吃 20 天，可供 80 只羊吃 12 天。如果一头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草量，那么 10 头牛与 60 只羊一起吃可以吃多少天？8 天 （1）按牛的吃草量来计算，80 只羊相当于 804=20（头）牛。（2）设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 份。（3）先求出这片草地每天新生长的草量：（1620-2012）（20-12）=10（份）（4）再求出草地上原有的草量：1620-1020120（份）（5）最后求出 10 头牛与 60 只羊一起吃的天数：120（10+604-10）=8（天）9.
17、 某水库建有 10 个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全警戒线，上游的河水还在按一不变的速度增加。为了防洪，需开闸泄洪。假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30 小时水位降到安全线，若打开两个泄洪闸，10 小时水位降到安全线。现在抗洪指挥部要求在 5.5 小时内使水位降到安全线，问：至少要同时打开几个闸门？4 个 设 1 个泄洪闸 1 小时的泄水量为 1 份。（1）水库中每小时增加的上游河水量：（130-210）（30-10）=0.5（份）（2）水库中原有的超过安全线的水量为：130-0.53015（份）（3）在 5.5 小时内共要泄出的水量是：15+0.55.517.75（份）（4）至少要开的闸门个数为：17.755.54（个） （采用“进 1”法取值）10. 现有速度不变的甲、乙两车，如果甲车以现在速度的 2 倍去追乙车，5 小时后能追上，如果甲车以现在的速度去追乙车，3 小时后能追上。那么甲车以现在的速度去追，几小时后能追上乙车？15 小时设甲车现在的速度为每小时行单位“1” ，那么乙车的速度为：（25-33）（5-3）=0.5乙车原来与甲车的距离为：25-0.557.5所以甲车以现在的速度去追，追及的时间为：7.5（1-0.5）=15（小时）
