1、1兰州大学 2005 年数学分析考研试题及解答一、 判断题1 设数列数 满足：对任意正整数 ， ，则 收敛。nxp0)(limnpnxnx解 错。例如：对 ，对任意正整数 ，就有1kn，0)1.(lim)(li pnxnpn但 发散。nx2 设 在 上 Riemann 可积，则 在 上一定有原函数。)(f,ba)(xf,ba解 错。例如： ，显然 在 上可积，但不存在 在 上可导，01,)(xxf )(f1,)(xF1,且 ， ，的函数 ，即 在 上不存在原函数。fF ,xF)(f,3 设 在区间 上处处可导，则 在 上一定 Riemann 可积。)(xbaf,ba解 错。例如： ，显然 在
2、上连续， 在 上可积，0,1sin)(2xf )(xf1,0)(xf1,0在 上处处可导，xf1,0， 0,1,cos21sin)(xxf但 在 上无界， 在 上不可积。)(xf1,0f,04 若二元函数 在 点可微，则 在 点的所有方向导数都存在。)(yf),x),(yf),0解 正确。已有的定理结论。5 设积分 收敛， 是 上的单调有界函数，则 收敛。adf)()(g),aadxgf)(解 正确。这就是著名的 Abel 判别法。二 计算题。1 求 。nk12lim2解 由 ，nknkn 121221，2)()(2122 nknk及夹逼定理，知。1lim12nk2 求 。10lnxd解 。1
3、0)l(l10 x3 求级数 的收敛域与和函数。12)(nn解 记 ，则 ， ，nnnxxu2)( 21)(limxun)0(当 时 ，原级数绝对收敛；1当 时，原级数发散；x当 时，原级数发散。所以该幂级数的收敛域为 ，)1,( 121212 )()( nnnn xxx022nxdt201xnt201xdt，)ln(22x)(x4 级数积分 ，其中 为椭圆 沿逆时针方向。CyxdI243C132y3解 ，2243),(43),( yxyQxyP，)0,(,取 任意小， ，则02243:yxCCyxdI2432Cydx212243yx12。35 求 ，其中 是 平面中的曲线 线绕 轴所生成的旋
4、转zdxyyxdzyoz2zy曲面在 的部分的外侧。10解 ，1:),(2yzxy，,1 由高斯公式，得 )()(1 zdxyyxdzzdxyyxdz 123zx10)(dy23。43 叙述函数列 在 上不一致收敛到 的分析定义，并用定义证明 在)(xfnI)(xf nnxf)(上不一致收敛。1,0解 函数列 在 上不一致收敛到 的分析定义：存在 ，对任意正整数 ，)(xfnI)(xf 0N存在 ,使得,N，0)()(NNnnxff在 上不一致收敛。nnxf)(1,0事实上， ，1,0)(lim)(xffn而 ，所以 在 上不一致收敛。)()1()1( eff nn nnxf)(1,04 设
5、在 上一致连续， 在 上连续，且 。xf,ax),a)(limxfn证明： 在 上一致连续。)(),证明 令 ，则 在 上连续，又 存在，所以 在(xfxF)(F), )(lixFx)(xF上一致连续，故 在 上一致连续。),a)xf,a5 设平面 截三轴于 三点， 为坐标原点， 是三角形 上3zyxCBA,O),(zyxPABC一点，以 为对角线，三坐标平面为三面作一长方体，试求其最大体积。OP解 以 为对角线，三坐标平面为三面的长方体体积，13zyxzV其中等号成立当且仅当 ， 。1yx最 大6 设 是闭区间 上的连续可导函数，记 ，假设)(f,ba 0)(:,)0(1xfbaxf且对 ，
6、成立 ，证明：（1） 是有限集；（2）,01f )0(1fx0)(xf f中使 的点的个数与 的点的个数最多相差 1，即成立)()(f 。1sgn)0(1fx证明 （1）断言对 ，存在 ，使得 时，)0(1fx0x,bayxy05，事实上，由 ，知，存在 ，使得 时，有0)(yf 0)(xf 0x,),(baxU，而 ， 是有界闭集，有界是必 )(yfyf 1f然的。因为 ，闭性亦显然，因为,)0(1baf对 ，存在 ， ， ， ，于x)0(1fxnxnlim0)(nf 0)(lim)(nxff是有 ，上述的开集族 就覆盖了有界闭集 。)(1f ,xU1根据有限覆盖定理，存在有限个开集 ，使得
7、),.2(),iix，而 ；),()0(11ixmif,0)(11 imiff 1imx（2）不妨设（1）中构造的 单增，即 ，断言i x.21，事实上，不妨设 ，则因 在,.2,0)()1ixffii 0)(if)(xf内无零点，而 ，任意 ， （否则，由连续函数介值定理，即导,(i )(xf,(1ix出矛盾） 。明显的， ，又 ，所以0)()lim)1111 ixii fff 0)(1ixf。这样，我们从第一个零点开始讨论，知道 是交替等于 1 或-1 的，0)(1ixf )(sgnif故 。(sgn)0(1fx7解常微分方程 ；2()0ydxdy已知函数 二次可导，且满足 ，求 。) 20()xetyd()x解（1）由 ，2(yxy，dd，2yx，d于是 ，2ycx6，21yxc（2）由 ，00()()()xeytdt得 ，2xyx， ，()1()，24xyey，()易知，齐次方程 的通解为 。0y12()xxyce容易验证 是一个特解,，24()3xe通解 ，212xyxc再由初始条件 ， ，可知 ， ，(0)()y12c16故原积分方程的解为 。4263xxxee
