1、全等三角形经典证明已知：AB=10， AC=2，D 是 BC 中点，AD 是整数，求 AD延长 AD 到 E,使 DE=AD,则三角形 ADC 全等于三角形 EBD 即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中,AB-BEBC 时，E 点是射线AB,DC 的交点） 。则： AED 是等腰三角形。 所以：AE=DE 而 AB=CD 所以：BE=CE (等量加等量，或等量减等量） 所以：BEC 是等腰三角形 所以：角 B=角 C.18 （5 分）如图，在ABC 中，BD =DC，1=2，求证： ADBC延长 AD 至 H 交 BC 于 H; BD=DC;所以: DBC=角 DCB; 1= 2; DBC
2、+1=角 DCB+2; ABC=ACB; 所以: AB=AC; 三角形 ABD 全等于三角形 ACD; BAD=CAD; AD 是等腰三角形的顶角平分线 所以: AD 垂直 BC19 （5 分）如图，OM 平分 POQ，MA OP ,MBOQ，A、B 为垂足，AB 交 OM 于点 N求证：OAB=OBA因为 AOM 与 MOB 都为直角三角形、共用 OM，且MOA=MOB 所以 MA=MB 所以MAB=MBA 因为OAM=OBM=90 度 所以OAB=90- MAB OBA=90-MBA 所以OAB=OBA22 （6 分）如图，E、F 分别为线段 AC 上的两个动点，且 DEAC 于 E，BF
3、AC 于 F，若AB=CD，AF =CE，BD 交 AC 于点 M（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当 E、F 两点移动到如图的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由AB CD分析：通过证明两个直角三角形全等，即 RtDECRtBFA 以及垂线的性质得出四边形 BEDF 是平行四边形再根据平行四边形的性质得出结论 解答：解：（1）连接 BE，DF DEAC 于 E，BF AC 于 F， ， DEC=BFA=90，DEBF， 在 RtDEC和 RtBFA 中， AF=CE，AB=CD， Rt DECRtBFA， DE=BF 四边形 BEDF 是平行四边
4、形 MB=MD，ME=MF ； （2）连接 BE，DF DEAC 于 E，BF AC 于 F， ， DEC=BFA=90，DEBF， 在 RtDEC 和 RtBFA中， AF=CE，AB=CD， RtDECRtBFA， DE=BF 四边形 BEDF 是平行四边形 MB=MD，ME=MF 23 （7 分）已知：如图，DCAB，且 DC=AE，E 为 AB 的中点，（1）求证：AEDEBC（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除EBC 外，请再写出两个与AED 的面积相等的三角形 （直接写出结果，不要求证明）：(1)DCAE，且 DC=AE，所以四边形 AECD 是平行四边形。于是知 AD=EC，
5、且EAD= BEC。由 AE=BE，所以AEDEBC。 （2）AEC、ACD、ECD 都面积相等。24 （7 分）如图，ABC 中，BAC =90 度，AB=AC，BD 是ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过 C 点的直线于 E，直线 CE 交 BA 的延长线于 F求证：BD =2CE证明：延长 BA、CE，两线相交于点 F BECE BEF=BEC=90 在BEF 和BEC 中 FBE= CBE, BE=BE, BEF=BEC BEFBEC(ASA) EF=EC CF=2CE ABD+ADB=90, ACF+CDE=90 又ADB=CDE ABD= ACF 在ABD 和 ACF 中 AB
6、D= ACF, AB=AC, BAD=CAF=90 ABDACF(ASA) BD=CF BD=2CE25、 （10 分）如图：DF=CE，AD=BC，D=C。求证：AEDBFC。OE DCBAFEDCBA26、 （10 分）如图：AE、BC 交于点 M，F 点在 AM 上，BECF，BE=CF。求证：AM 是ABC 的中线。证明： BECF E=CFM，EBM=FCM BE=CF BEMCFM BM=CM AM 是ABC 的中线.28、 （10 分）AB=AC，DB=DC，F 是 AD 的延长线上的一点。求证：BF=CF证明：在ABD 与ACD 中 AB=AC BD=DC AD=AD ABDA
7、CD ADB=ADC BDF=FDC 在BDF 与 FDC 中 BD=DC BDF=FDC DF=DF FBD FCD BF=FC29、 （12 分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。因为 AB=DC AE=DF, CE=FB CE+EF=EF+FB 所以三角形 ABE=三角形 CDF 因为 角 DCB=角 ABF AB=DC BF=CE 三角形 ABF=三角形 CDE 所以 AF=DE 30.公园里有一条“Z”字形道路 ABCD，如图所示，其中 ABCD，在 AB，CD，BC 三段路旁各有一只小石凳E，F，M ，且 BECF，M 在 BC 的中点，试说明三只石凳 E
8、，F，M 恰好在一条直线上.证： AB 平行 CD（已知） B=C（两直线平行，内错角相等） M 在 BC 的中点（已知） EM=FM（中点定义） 在BME 和CMF 中 BE=CF（已知） B=C（已证） EM=FM（已证） MFECBAFED CBAFDCBAFEDCBABME 全等与 CMF（SAS） EMB=FMC（全等三角形的对应角相等） EMF=EMB+BMF=FMC+BMF=BMC=180（等式的性质） E， M，F 在同一直线上 32.已知：如图所示，ABAD，BCDC，E、F 分别是 DC、BC 的中点，求证： AEAF。 连结 BD，得到等腰三角形 ABD 和等腰三角形 B
9、DC，由等腰两底角相等得：角 ABC=角 ADC 在结合已知条件证得：ADE ABF得 AE=AF33如图，在四边形 ABCD 中，E 是 AC 上的一点，1=2，3=4，求证: 5=6因为角 1=角 23=4 所以角 ADC=角 ABC. 又因为 AC 是公共边，所以AAS=三角形 ADC 全等于三角形 ABC. 所以 BC 等于 DC，角 3 等于角 4,EC=EC 三角形 DEC 全等于三角形BEC 所以 5=634已 知 AB DE， BC EF， D， C在 AF上 ， 且 AD CF， 求 证 ： ABC DEF因为 D,C 在 AF 上且 AD=CF 所以 AC=DF 又因为 AB 平行 DE，BC 平行 EF 所以角 A+角 EDF，角 BCA=角 F（两直线平行，内错角相等） 然后SSA（角角边）三角形全等35已知：如图，AB=AC，BDAC，CE AB，垂足分别为 D、E，BD、CE 相交于点 F，求证：BE=CDDBCcAFE65 4321 EDCBAACBDEF证明：因为 AB=AC， 所以 EBC=DCB 因为 BDAC，CEAB 所以 BEC=CDB BC=CB (公共边) 则有 三角形 EBC 全等于三角形 DCB 所以 BECD
