1、第二讲 三角形的等积变形 内容概述 我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底高2 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积 如果三角形的底不变，高越大（小） ，三角形面积也就越大（小） ； 如果三角形的高不变，底越大（小） ，三角形面积也就越大（小） ； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化但是，当三角形的底和高 同时发生变化时，三角形的面积不一定变化比如当高变为原来的 3 倍，底变为原来的 1/3，则三角形面 积与原来的一样。这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高 或底的变化同时也告诉我们：一个三
2、角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： 等底等高的两个三角形面积相等 若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另 一个三角形面积的几倍 若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另 一个三角形面积的几倍 夹在一组平行线之间的等积变形，如下图， 和 夹在ACDB 一组平行线之间，且有公共底边 那么 ；反之，如果S ，则可知直线 平行于 。BCDASAB 例题精讲 【例 1】 如右图，BD 长 12 厘米，DC 长 4 厘米，B、C 和 D 在同一条
3、直线长。 求三角形 ABC 的面积是三角形 ABD 面积的多少倍？ 求三角形 ABD 的面积是三角形 ADC 面积的多少倍？ 分析：因为三角形 ABD、三角形 ABC 和三角形 ADC 在分别以 BD、BC 和 DC 为底时，它们的高都是从 A 点向 BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。 于是： 三角形 ABD 的面积=12 高2=6高 三角形 ABC 的面积=（12+4）高2=8高 三角形 ADC 的面积=4高2=2高 A C D B 所以，三角形 ABC 的面积是三角形 ABD 面积的 4/3 倍；三角形 ABD 的面积是三角形 ADC 面积的 3 倍。 巩固理解结论：两个三
4、角形等高时， 面积的倍数=底的倍数 【例 2】 如右图，E 在 AD 上，AD 垂直 BC， AD=12 厘米，DE=3 厘米。 求三角形 ABC 的面积是三角形 EBC 面积的几倍？ 分析：因为 AD 垂直于 BC，所以当 BC 为三角形 ABC 和三角形 EBC 的底时，AD 是三角形 ABC 的高，ED 是三角形 EBC 的高， 于是： 三角形 ABC 的面积=BC122 = BC6 三角形 EBC 的面积=BC32 = BC1.5 所以三角形 ABC 的面积是三角形 EBC 的面积的 4 倍。 巩固理解结论：两个三角形等底时， 面积的倍数=高的倍数 【例 3】用两种不同的方法，把任意一
5、个三角形分成四个面积相等的三角形 分析：法 1：如图（1） ，将 BC 边四等分，连接各等分点，则ABD、ADE、AEF、AFC 面积相 等。 法 2：如图（2） ，D 是 BC 的二等分点，E 、F 是 AC、AB 的中点，从而得到四个等积三角形ADF 、 BDF、DCE、ADE 法 3：如图（3） ，D 是 BC 的四等分点，E 、F 是 AD 的三等分点，从而得到ABD 、AEC、 ECF、FCD 面积相等。 【例 4】如图，三角形 ABC 的面积是 24，D 、E 和 F 分别是 BC、AC 和 AD 的中 点。求：三角形 DEF 的面积。 分析：三角形 ADC 的面积是三角形 ABC
6、 面积的一半 242=12， 三角形 ADE 又是三角形 ADC 面积的一半 122=6。 三角形 FED 的面积是三角形 ADE 面积的一半， 所以三角形 FED 的面积=62=3 。 【例 5】 如右图所示，在平行四边形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，AF=2CF，三 角形 AFE(图中阴影部分)的面积为 8 平方厘米平行四边形的面积是多少平方厘米 ? 分析：连结 FB.三角形 AFB 面积是三角形 CFB 面积的 2 倍，而三角形 AFB 面积是三角形 AEF 面积的 2 倍，所以三角形 ABC 面积是三角形 AEF 面积的 3 倍；又因为平行四边形的面积是三角形 ABC 面积的
7、2 倍，所以平行四边形的面积是三角形 AFE 面积的(32)=6 倍因此，平行四边形的面积为 8 6=48(平方 厘米) 【例 6】 图中AOB 的面积为 15cm2，线段 OB 的长度为 OD 的 3 倍，求梯形 ABCD 的面积. 分析： 【例 7】 如右图，在ABC 中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC，求阴影部分 面积占三角形面积的几分之几？ 分析：连结 BG，在ABG 中， SADG+ SBDE+SCFG 【例 8】 如右图，把四边形 ABCD 改成一个等积的三角形 分析：本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原 四边形面积相等我们可以利用三角形等
8、积变形的方法，如右上图把顶点 A 移到 2 AOB AODABDC2 C2 BOCD S15cmO=3SS15cS45c80m 在 中 ， 因 为 ， 且 ，所 以 有 ，因 为 和 等 底 等 高 ， 所 以 有从 而 ，在 中 ， ，所 以 梯 形 面 积 ： 。 CB 的延长线上的 A处，A BD 与ABD 面积相等，从而 ADC 面积与原四边形 ABCD 面积也 相等这样就把四边形 ABCD 等积地改成了三角形A DC问题是 A位置的选择是依据三角形等积 变形原则过 A 作一条和 DB 平行的直线与 CB 的延长线交于 A点 具体做法：连结 BD； 过 A 作 BD 的平行线，与 CB
9、 的延长线交于 A 连结 AD，则ACD 与四边形 ABCD 等积 【例 9】 如右图，ABCD 为平行四边形，EF 平行 AC，如果ADE 的面积为 4 平 方厘米求三角形 CDF 的面积 分析：连结 AF、CE， SADE= SACE；SCDF =SACF； 又AC 与 EF 平行， SACE= SACF； SADE= SCDF=4（平方厘米） 【例 10】如右图，三角形 ABG 和三角形 ECF 是两个完全一样的直角三角形， AB=10，BC=7，ED=4。求四边形 EDGF 的面积。 分析：因为三角形 ABC 与三角形 ECF 的面积相等， 所以三角形 ABC小三角形 DCG =三角形
10、 ECF-小三角形 DCG， 所以，四边形 EDGF 的面积 =四边形 ABCD 的面积 =（10+6 ）72=56 。 【例 11】正方形 ABCD 和正方形 CEFG，且正方形 ABCD 边长为 10 厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？ 分析：法 1 ：三角形 BEF 的面积 = BEEF2， 梯形 EFDC 的面积 =（EF+CD）CE2= BEE F2 = 三角形 BEF 的面积 ， 而四边形 CEFH 是它们的公共部分， 所以 三角形 DHF 的面积 = 三角形 BCH 的面积， 进而可得 阴影面积 = 三角形 BDF 的面积 = 三角形 BCD 的面积 = 10102=50（平方
11、厘米） 。 法 2：连接 CF，那么 CF 平行 BD ， 所以，阴影面积 = 三角形 BDF 的面积 = 三角形 BCD 的面积 =50（平方厘米） 。 附加题目 【附 1】如右图，四边形 ABCD 面积为 1，且 AB=AE，BC=BF，DC=CG ， AD=DH求四边形 EFGH 的面积 分析：连结 BD，将四边形 ABCD 分成两个部分 S1与 S2 连结 FD，有 SFBD=SDBC=S2 ，所以 SCGF=SDFC=2S2 同理 SAEH=2S1， 因此 SAEH+SCGF=2S1+2S2=2（S1+S2）=21=2 同理，连结 AC 之后，可求出 SHGD+SEBF=2 所以四边
12、形 EFGH 的面积为 2+2+1=5（平方单位） 【附 2】 如图，在 ABC 中，DC=3BD，DE=EA，若ABC 面积是 2，则阴影 部分的面积是多少？ 分析：连结 FD，由 AE=ED 可知：SAFE=SEFD，S AECS DCE 由 DC=3BD，可知：SDCF=3SBDF因此 SABC= （ 1+33）SBDF=7SBDF 【附 3】 （北京市第八届“迎春杯”数学竞赛决赛）如右图 BE=1/3BC，CD=1/4AC，那么 三角形 AED 的面积是三角形 ABC 面积的_. 分析：图中，三角形 AEC 与三角形 ABC 的高相等，而 BE=1/3BC，于是 EC=2/3BC， 3
13、 2ABCE的 面 积三 角 形 的 面 积三 角 形 又由于三角形 AED 与三角形 AEC 的高相等，而 CD=1/4AC,于是 AD=3/4AC, 4E D的 面 积三 角 形 的 面 积三 角 形 所以，三角形 AED 的面积=3/4三角形 AEC 的面积 = . = 【附 4】 （北京市第一届 “迎春杯”刊赛）如右图.将三角形 ABC 的 BA 边延长 32ABC三 角 形 的 面 积1三 角 形 的 面 积 1 倍到 D，CB 边延长 2 倍到 E，AC 边延长 3 倍到 F.如果三角形 ABC 的面积等于 l，那么三角形 DEF 的 面积是？ 分析：连结 AE、BF、CD(如右下
14、图 ).由于三角形 AEB 与三角 ABC 的高相等，而底边 EB=2BC，所以三 角形 AEB 的面积是 2.同理，三角形 CBF 的面积是 3，三角形 ACD 的面积是 1. 类似地：三角形 AED 的面积= 三角形 AEB 的面积=2. 三角形 BEF 的面积 =2(三角形 CBF 的面积)=6. 三角形 CFD 的面积 =3(三角形 ACD 的面积)=3. 于是三角形 DEF 的面积等于三角形 ABC、AEB、CBF、ACD、AED 、BEF、CFD 的面积之和，即 1+2+3+1+2+6+3=18. 【附 5】 （第四届小数报数学竞赛初赛）如图，梯形 ABCD 被它的一条对 角线 B
15、D 分成了两部分三角形 BDC 的面积比三角形 ABD 的面积大 l0 平方 分米已知梯形的上底与下底的长度之和是 15 分米，它们的差是 5 分米求 梯形 ABCD 的面积 分析：如右图，作 AB 的平行线 DE三角形 BDE 的面积与三角形 ABD 的 面积相等，三角形 DEC 的面积就是三角形 BDC 与三角形 ABD 的面积差(10 平方分米)从而，可求出梯形高 (三角形 DEC 的高) 是：2105 = 4 （分 米） ， 梯形面积是：1/2154=30(平方分米) 【附 6】（北京市第四届“迎春杯”刊赛）下图中三角形 ABC 的面积为 1，其中 AE=3AB，BD=2BC，那么三角
16、形 BED 的面积是_. 分析：连接辅 C 助线 E. (三角形 BCE 的面积 )(三角形 DCE 的面积)=BCCD=1 1， 所以三角形 BCE 的面积等.于三角形 DCE 的面积. 又因为(三角形 BCE 的面积)l=BEAB=2 1， 所以三角形 BCE 的面积等于 2. 因此三角形 BDE 的面积等于 2+2=4. 习题二 1如图（1） ，在ABC 中，D 是 BC 中点，E 是 AD 中点，连结 BE、CE，那么与ABE 等积的三角形 一共有哪几个三角形？ 解答：3 个。AEC、BED、DEC 。 2如图（2） ，在平行四边形 ABCD 中，EF 平行 AC，连结 BE、AE、C
17、F 、BF 那么与BEC 等积的三 角形一共有哪几个三角形？ 解答：AEC、AFC、ABF。 3如图（3） ，在梯形 ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？ 解答：ABD 与ACD ， ABC 与DBC，ABO 与DCO 。 4右图中两个正方形的边长分别是 6 厘米和 4 厘米，则图中阴影部分三角形的面积是（ ）平方厘米。 解答：442=8 5如右图，D、E、F 分别是 BC、AD、BE 的三等分点，已知 SABC=27 平方厘米，求 SDEF 解答： 数学童话 唐僧师徒摘桃子 一天，唐僧命徒弟悟空、八戒、沙僧三人去花果山摘些桃子。不长时间，徒弟三人摘完桃子高高兴 兴回来。师父唐僧问：“你们每人各摘回多少个桃子？ “ 八戒憨笑着说：“师父，我来考考你。我们每人摘的一样多，我筐里的桃子不到 100 个，如果 3 个 3 个地数，数到最后还剩 1 个。你算算，我们每人摘了多少个？“ 沙僧神秘地说：“师父，我也来考考你。我筐里的桃子，如果 4 个 4 个地数，数到最后还剩 1 个。你 算算，我们每人摘了多少个？“ 悟空笑眯眯地说：“师父，我也来考考你。我筐里的桃子，如果 5 个 5 个地数，数到最后还剩 1 个。 你算算，我们每人摘多少个？“ 唐僧很快说出他们每人摘桃子的个数。你知道他们每人摘多少个桃子吗？
