1、数学分析续论 A卷 复习资料 一 . 计算题 1. 求函数 3 311( , ) s in s inf x y x yyx在点 (0,0)处的二次极限与二重极限 . 解： 333311( , ) sin sinf x y x y x yyx ，因此二重极限为 0 . 因为 3 3011lim sin sinx xyyx 与 3 3011lim sin siny xyyx 均不存在， 故二次极限均不存在。 2. 设 ( ),()y y xz z x 是由方程组 ( ),( , , ) 0z xf x yF x y z 所确定的隐函数 ,其中 f 和 F 分别 具有连续的导数和偏导数 ,求 dzd
2、x . 3. 取 ,为新自变量及 ( , )w w v 为新函数，变换方程 222z z z zx x y x 。 设 ,22 yx y x y w ze （假设出现的导数皆连续） . 解： z 看成是 ,xy的复合函数如下： , ( , ) , ,22yw x y x yz w we 。 代人原方程，并将 ,xyz 变换为 ,w 。整理得： 222 2ww w 。 4. 要做一个容积为 31m 的有盖圆桶 ,什么样的尺寸才能使用料最省 ? 解： 设圆桶底面半径为 r ,高为 h ,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中 目标函数 : 222S rh r表 , 约束条件 : 2 1
3、rh 。 构造 Lagrange 函数： 22( , , ) 2 2 ( 1 )F r h r h r r h 。 令 22 4 2 0 ,2 0.rhF h r rhF r r 解得 2hr ，故有 3314,.2rh 由题意知问题的最小值必存在，当底面半径为 3 1 ,2r 高为 3 4h时，制作圆桶用料最省。 5. 设 3 22() y xyyF y e dx ,计算 ()Fy . 解： 由含参积分的求导公式 332 2 2 23222 22( ) 3 2yyx y x y x y x yx y x yyF y e d x x e d x y e y e 3 2 7 52 2232y x
4、 y y yy x e d x y e y e 37 5 2227 5 12 2 2 yy y x yyy e y e e d xy 。 6. 求曲线 2222 2 2x y xya b c所围的面积，其中常数 , , 0abc . 解： 利用坐标变换 cos ,sin .xayb 由于 0xy ，则图象在第一三象限，从而可以利用对称性，只需求第一象限内的面积。 2, 0 , 0 s i n c o s2 abc 。 则 ( , )2 ( , )xyV d d 122 sin c os2002 abcd ab d 22 22 0 sin cosab dc 2222abc . 7. 计算曲线积分
5、 3 5 2L zd x xdy ydz,其中 L 是圆柱面 221xy与平面3zy的交线（为一椭圆），从 z 轴的正向看去，是逆时针方向 . 解： 取平面 3zy上由曲线 L 所围的部分作为 Stokes 公式中的曲面 ，定向为上侧，则 的法向量为 11c o s , c o s , c o s 0 , ,22 。 由 Stokes 公式得 3 5 2L zd x xdy ydzc o s c o s c o s3 5 2dSx y zz x y 2 dS 221xydxdy 2 8. 计算积分S yzdzdx,S 为椭球 2 2 22 2 2 1x y za b c 的上半部分的下侧 .
6、二 . 证明题 9.讨论函数3 222422,0()0 , 0xy xyxyfxxy 在原点 (0,0)处的连续性、可偏导性和可微性 . 10.设 ,F xy 满足： （ 1）在 00,D x y x x a y y b 上连续， （ 2） 00,0F x y ， （ 3）当 x 固定时，函数 ,F xy 是 y 的严格单减函数。 试证：存在 0 ，使得在 0x x x 上通过 ,0F x y 定义了一个函数 ()y yx ，且 ()y yx 在 上连续。 证明： （ i）先证隐函数的存在性。 由条件（ 3）知， 0,F x y 在 00,y b y b上是 y 的严格单减函数，而由条件（ 2
7、）知 00,0F x y ，从而由函数 0,F x y 的连续性得 00,0F x y b， 00,0F x y b。 现考虑一元连续函数 0,F x y b 。由于 00,0F x y b，则必存在 1 0 使得 0,0F x y b， x 01( , )Ox 。 同理，则必存在 2 0 使得 0,0F x y b， x 02( , )Ox 。 取 12min( , ) ，则在邻域 0( , )Ox 内同时成立 0,0F x y b， 0,0F x y b。 于是，对邻域 0( , )Ox 内的任意一点 x ，都成立 0,0F x y b， 0,0F x y b。 固定此 x ，考虑一元连续
8、函数 ,Fxy 。由上式和函数 ,Fxy 关于 y 的连续性可知，存在 ,Fxy 的零点 00,y y b y b 使得 ,Fxy 0。 而 ,Fxy 关于 y 严格单减，从而使 ,Fxy 0 的 y 是唯一的。再由 x 的任意性，证明了对 : 0( , )Ox 内任意一点，总能从 ,0F x y 找到唯一确定的 y 与 x 相对应，即存在函数关系 :f x y 或 ()y f x 。此证明了隐函数的存在性。 （ ii）下证隐函数 ()y f x 的连续性。 设 *x 是 : 0( , )Ox 内的任意一点，记 *:y f x 。 对任意给定的 0 ，作两平行线 *yy， *yy。 由上述证明知 *,0F x y ， *,0F x y 。 由 ,F xy 的连续性，必存在 *x 的邻域 *( , )Ox 使得 *,0F x y ， *,0F x y ， *( , )x O x 。 对任意的 *( , )x O x ，固定此 x 并考虑 y 的函数 ,F xy ，它关于 y 严格单减且 *,0F x y ， *,0F x y 。 于是在 *,yy内存在唯一的一个零点 y 使 ,0F x y ， 即 对任意的 *( , )x O x ，它对应的函数值 y 满足 *yy。这证明了函数()y f x 是连续的。
