1、初中数学定义、定理、公理、公式汇编 直线、线段、射线 七上 p128 1. 过两点有且只有一条直线. （简：两点决定一条直线） 七上 p132 2.两点之间线段最短 七上 p142 3.同角或等角的补角相等. 同角或等角的余角相等. 七下 p4 4. 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 七下 p6 5. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段 中，垂线段最短. （简：垂线段最短） 平行线的判断 七下 p13 1.平行公理 经过直线外一点，有且只有一条 直线与这条直线平行. 七下 p13 2.如果两条直线都和第三条直线平行，这两 条直线也互相平行（简：平行于同一直线的 两直线平行） 七下 p14
2、 3.同位角相等，两直线平行. 七下 p14 4.内错角相等，两直线平行. 七下 p15 5.同旁内角互补，两直线平行. 平行线的性质 七下 p20 1.两直线平行，同位角相等. 2.两直线平行，内错角相等. 3.两直线平行，同旁内角互补. 三角形三边的关系 七下 p64 1.三角形两边的和大于第三边、三角形两边 的差小于第三边. 三角形角的关系 七下 p73 1. 三角形内角和定理 三角形三个内角的和 等于 180. 2.直角三角形的两个锐角互余. 已知：Rt ,C=90ABC 求证：A+ B=90 证明：C=90，A+B+C=180 A+B=90 七下 p75 3.三角形的一个外角等于和它
3、不相邻的两个 内角的和. 4. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相 邻的内角. 全等三角形的性质、判定 八上 p3 1.全等三角形的对应边、对应角相等. 八上 p9 2.边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对 应相等的两个三角形全等. 八上 p11 3. 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对 应相等的两个三角形全等. 八上 p12 4.推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应 相等的两个三角形全等. 八上 p7 5. 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个 三角形全等. 八上 p14 6. 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直 角边对应相等的两个直角三角形全等. 角的平分
4、线的性质、判定 八上 p20 性质：在角的平分线上的点到这个角的两边 的距离相等. 八上 p21 判定：到一个角的两边的距离相同的点，在 这个角的平分线上. 等腰三角形的性质 八上 p50 1.等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个 底角相等 (即等边对等角). 2.推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边 并且垂直于底边 . 已知： 中，AB=AC,AD 是BAC 的ABC 角平分线 求证：AD 平分 BC,ADBC. 证明：AB=AC,AD 是BAC 的角平分线 AD 平分 BC,ADBC.（三线合一） 八上 p50 3.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 和底边上的高互相重合. 八上
5、p54 4.推论 3 等边三角形的各角都相等，并且每 一个角都等于 60 . 等腰三角形判定 八上 p52 1 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有 两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 （等角对等边） 八上 p54 2.三个角都相等的三角形是等边三角形. 八上 p54 3.有一个角等于 60的等腰三角形是等边三 角形. 线段垂直平分线的性质、判定 八上 p33 1. 定理： 线段垂直平分线上的点和这条线 段两个端点的距离相等 . 八上 p33 2.逆定理：和一条线段两个端点距离相等的 点，在这条线段的垂直平分线上. 3.线段的垂直平分线可看作和线段两端点距 离相等的所有点的集合. 轴对称
6、、中心对称、 平移、旋转 八上 p30 1. 关于某条直线对称的两个图形是全等形 八上 p32 八上 p32 2.如果两个图形关于某直线对称，那么对称 轴是对应点连线的垂直平分线 八上 p33 3.两个图形关于某直线对称，如果它们的对 应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 八上 p32 4.若两个图形的对应点连线被同一条直线垂 直平分，那么这两个图形关于这条直线对称. 九上 p64 5.关于中心对称的两个图形是全等的. 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经 过对称中心，并且被对称中心平分. 九上 p64 6. 若两个图形的对应点连线都经过某一点, 并且被这一点平分，那么这两个图形关于这 一
7、点成中心对称. 九上 p57 p62 7.平移或旋转前后的图形是不变的.中心对称 是旋转的特殊形式。 八下 p65 勾股定理 直角三角形两直角边 a、b 的平方 和、等于斜边 c 的平方，即 a2+b2=c2 . 八下 p73 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a、b、c 有关系 a2+b2=c2 ，那么这个三角形 是直角八上 p55 直角三角形中，如果一个锐角等于 30那 么它所对的直角边等于斜边的一半. 八下 p95 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 等 于 斜 边 上 的 一 半 . n 边形、四边形的内角和、外角和 七下 p82 1.四边形的内角和等于 360. 七下 p
8、83 2.四边形的外角和等于 360 七下 p82 3.多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于 （n-2）180. 七下 p83 .推论 任意多边的外角和等于 360. 平行四边形性质 八下 p84 1.平行四边形的对角相等. 八下 p84 2.平行四边形的对边相等. a b A B C D DEACBE=,BEDCA=,BC过 点 作 交 延 长 线 与 点 ，四 边 形 是 平 行 四 边 形梯 形 是 等 腰 梯 形 3.夹在两条平行线间的平行线段相等. 已知：直线 ab,线段 ABCD. 求证：AB=CD. 证明：ab, ABCD， 四边形 ABDC 是平行四边形 AB=CD 八下
9、p85 4.平行四边形的对角线互相平分. 平行四边形判定 八下 p83 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 八下 p87 2.两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 八下 p87 3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 八下 p87 4.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 八下 p88 5. 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 八下 p94 矩形性质 1. 矩形的四个角都是直角 . 2. 矩形的对角线相等. 矩形判定 八下 p95 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形. 八下 p96 2.有三个角是直角的四边形是矩形. 八下 p96 3. 对角线相等的平行四边形是矩形 . 八下
10、 p98 菱形性质 1、菱形的四条边都相等. 2. 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角 线平分一组对角. 3、菱形面积=对角线乘积的一半，即 abs2 证明：菱形被两条对角线分成四个全等的直 角三角形,且菱形对角线互相平分 设菱形对角线长为 x,y 则 S 菱形 =41/2(x/2y/2)=1/2xy 所以菱形的面积等于其对角线乘积的一半 八下 p99 菱形判定 1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2.四边都相等的四边形是菱形 3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 八下 p100 正方形性质 1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等. 2.正方形的两条对角线相等，并且互相垂直 平分，每条
11、对角线平分一组对角. 正方形判定 八下 p100 1.四个角都是直角，四条边都相等的四边形 是正方形 2.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正 方形. 证明：对角线互相平分平行四边形； 对角线互相垂直的平行四边形菱形； 对角线相等的平行四边形矩形形； 菱形+矩形正方形 八下 p107 等腰梯形性质 1.等腰梯形在同一底上的两个角相等. 2.等腰梯形的两条对角线相等. 等腰梯形判定 八下 p108 1.同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 2.对角线相等的梯形是等腰梯形. 已知：梯形 ABCD 中，ADBC,AC=BD. 求证：梯形 ABCD 是等腰梯形。 证明： 经过梯形一腰的中点与底平行的直
12、线， 必平分另一腰. 已知：梯形 ABCD 中，ADBCEF ，其中 E 是 AB 中点。 求证：F 是 CD 中点 证明： 连接 AC 交 EF 于点 G ADBCEF AEG ABC E 是 AB 中点 12ABC G 同理可证 FDA F 是 CD 中点 . 经过三角形一边的中点与另一边平行的 直线，必平分第三边. （证法参照上题） 八下 p89 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于 第三边，并且等于它的一半. 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底， 并且等于两底和的一半 ，S=Lh )(21bal 已知：梯形 ABCD 中，ADBC, EF 是梯形的 中位线，设 AD=a,BC=b
13、,EF=l,梯形高为 h。 求证： S=Lh)(21bal 证明：连接 AF 交 BC 延长线与 G 点 ABCDDF=CABG,D,1F,E=2()1G212ABGaFlabShLh : 梯 形 是 中 位 线是 的 中 位 线 九下 p36 比例的基本性质 如果 a:b=c:d ad=bc 相似三角形判定 九下 p42 1kOBACEDF1k1.定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.九下 p462.两角对应相等，两三角形相似. 九下 p443.两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 九下 p434.三边对应成比例，两三角形相似九下 p475.如果一个直角
14、三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.已知：RTABC 和 RTDEF ，AC 与 DF 为斜边，AB：DE=AC：DF求证：RTABC RTDEF:证明：由勾股定理得：BC= 2AC-BEF= 2-EFD设 AB：DE=AC ：DF=kAB:AC=DE:DF=k （AB:AC ）=（DE:DF）=k AB=kAC,DE=kDF BC= = 2-kAC21- EF= =DF BC:EF= ：2-2- =AC:DF=AB： DE 三边对应成比例 RTABC RTDEF : 相似三角形性质 九下 p52 1. 相似三角形对应高的比，对应中
15、线的比与 对应角平分线的比都等于相似比. 2.相似三角形周长的比等于相似比. 3.相似三角形面积的比等于相似比的平方. 九下 p59-60 4.位似图形是相似图形的特殊形式。位似比 等于相似比。 以三角形为例： 已知： 与 是以 O 为位似中心ABCDEF 的位似图形，位似比为 1：k 求证： 与 的相似比为 1：k 与 是以 O 为位似中心的位 似图形 理可得 , ， 与 的相ABCE:ABCEF 似比为 1：k 圆 九上 p79 1.圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 九上 p90 2.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半 径.的点的集合. 3.圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半 径的
16、点的集合. 九上 p79 4.同圆或等圆的半径相等. 九上 p92 5.不在同一直线上的三点确定一个圆。 垂径定理 九上 p81 EF: ,OABDC又 ,12()BACDOEFACEFOHL:在 Rt和 t中tt1.垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 .推论 1 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 .弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 已知：AB 为圆 O 的一条弦，CE 垂直平分 AB，垂足为 D求证：CE 是过点 O，,:E证明：假设 CE 不过点 O 连接 OA,OD,OB 过点 D 有两条直线与 AB 垂直，这与“过 一点有且只有一条直
17、线与已知直线垂直”产 生矛盾，所以假设不成立 CE 是过点 O，即 CE 是圆 O 的直径 根据推论 1，可得 ,:AB:E 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， 并且平分弦所对的另一条弧 . 已知：O 为圆心，CE 是 直径， :C 求证： ，AEB ，D : AOCBOC. OA=OB AOB 为等腰三角形， CE 平分它的顶角。 从“三线合一定理”， ，ECABD 又AOE 180-AOC 180- BOCBOE. :AEB 九上 p82 3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 . 九上 p83 4.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相 等 .
18、5.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条 弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等 那么它们所对应的其余各组量都相等. 以下是等弦推出等弦 心距的情况，其他的 类似 已知：AB，CD 为圆 O 的两条等弦, OE AB, OF CD 求证：OE=OF 证明： 九上 p85 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半. 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等 圆 中，相等的圆周角所对的弧也相等. 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90 的圆周角所对的弦是直径. 九上 p87 如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形 . 三角形的外心，三角形外接圆的圆心，它是
19、 三边的中垂线的交点，到三个顶点的距离相 等. 如图，三种 ABC 中， 为 AB 的垂直平分线，1l 为 BC 的垂直平分线， 与 交于点 O，连2l 2 OAlB又 接 OA、OB、OC ， 是 AB 的垂直平分线， OBOA 1l 又 是 BC 的垂直平分线 OBOC 2 故 OA OB OC O 在 BC 的垂直平分线上， 即 AC 的垂直平分线过点 O。 九上 p97 三角形的内心，三角形内切圆的圆心，它是 三个内角的平分线的交点，到三边的距离相 等. 已知，I 是三角形 ABC 中 和ABC 的角平分线的交点BAC 求证：AI 平分 ，I 到三边的距离相等 证明：作 ,DIEIFA
20、B I 是三角形 ABC 中 和 的角平分线的交点ABC,IDIFE 点 I 在 的角平分线上，即 AI 平 分 且 I 直角三角形三边为 a、b、c，c 为斜边，则 外接圆的半径 ；内切圆的半径2Rabcr 已知例 2：如图，RtABC，C=90，两直 角边 a，b，斜边为 c，它的内切圆O 分别 与 BC，AC，AB 相切 于点 D、E、F （1）求这个三角形 外接圆半径 R 和内切 圆的半径 r. 解：做出如图辅助线, C=90 为外接圆直径AB 直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点 外接圆半径 R= c2 （2）RtABC 的内切圆O 分别与 BC，AC，AB 相切于点 D、E、F ,
21、OEACB 四边形 CDOE 是矩形，又 OE=OD 矩形 CDOE 是正方形，EC=CD=r 由切线长定理可得：BD=BF=a-r AF=AE=b-r AF+BF=c a-r+ b-r=c 2abcr 九上 p94 直线和圆的位置关系 直线 L 和O 相交 dr 直线 L 和O 相切 d=r 直线 L 和O 相离 dr 九上 p95 切线的判定：经过半径的外端且垂直于这切 线 九上 p96 切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半 径经过圆心且垂直于切线 的直线必经过切点 . 已知：直线 l 是圆 O 切线，A 为切点，OB l，垂足为 B 求证：直线 OB 不经过 A 点 证明：假设直线 O
22、B 不过 A 点 直线 l 是圆 O 切线，A 为切点 过点 O 有两条直线 OA 和 OB 与直线 l 垂直， 这与“过一点有且只有一条直线与已知直线 垂直”产生矛盾，所以假设不成立 直线 OB 过 A 点 OAlB又 :ABCDEA:CDEA :,3ABCDEEAB同 理 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.已知：直线 l 是圆 O 切线，A 为切点，AB l，AB 与圆 O 交于点 B 求证：直线 AB 过圆心 O 证明：假设直线 AB 不经 过圆心 O 直线 l 是圆 O 切线，A 为切点 过点 A 有两条直线 OA 和 AB 与直线 l 垂直， 这与“过一点有且只有一条直线与已知直
23、线 垂直”产生矛盾，所以假设不成立 直线 AB 过圆心 O 九上 p97 切线长定理. 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平 分两条切线的夹角. 圆和圆的位置关系 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 证明：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它 的对称轴，两圆组成的图形也是轴对称图形， 连心线是它的对称轴，假设切点不在连心线 上，则它关于连心线的对称点也不在连心线 上，而是两圆的另一个公共点，这跟两圆相 切只有一个公共点矛盾，所以切点一定在连 心线上 九上 p100 两圆外离 dR+r 两圆外切 d=R+r 两圆相交 R-rdR+r(Rr) 两圆内切 d=R-r(R
24、r) 两圆内含 dR-r(Rr) 正多边形和圆 依次连结各等分点所得的多边形是这个圆 的内接正 n 边形 n(n3): 以五边形为例 已知：圆 O 中, 求证：五边形 ABCDE 是 O 的内接正五边形 又，五边形 ABCDE 的顶点都在圆 O 上， 五边形 ABCDE 是圆 O 的内接正五边形。 经过各分点作圆的切线，以相邻切线 的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形。 已五边形为例，经过圆的五等分点作圆 的切线，观察以相邻切线的交点为顶点的五 边形是不是正五边形？ 已知， PQ、QR、RS、ST 分别 是经过分点 A、B、C、D、E 的O 的切线 求证：五边形 PQRST 是O 的
25、外切正五边形 证明： ,OABEAOE: PQ、QR、RS、ST 分别是经过分点 A、B、C、D、E 的O 的切线P=T,()BAETTS:O-即 ,PABTEPTQRS同 理 ， C=D=RC,BS 五边形 PQRST 是O 的外切正五边形 定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内 切圆，这两个圆是同心圆. 以五边形为例 证明：如果正五边形 ABCDE 有外接圆，则 A、B、C 、D、E 五点应都在同一个圆上， 且它们到圆心的距离相等不在同一直线上 的三点确定一个圆，不妨过正五边形 ABCDE 的顶点 A、B、C 作O，连结 OA、OB、OC、OD、OE则 OA=OB=OC； OABODC
26、ABCDE 有一个外接圆O 既然正五边形有一个外接O，那 么正五边形的五条边也就应是O 的五 条等弦根据弦等、弦心距相等，证明 参见 p4，可知点 O 到五边的距离 等以该弦心距为半径作圆，可得该圆 与各边都相切，所以同样，正 n 边形也 应有一个内切O，且两圆同心 定理 正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分 成 2n 个全等的直角三角形. 以五边形为例 已知：正五边形 ABCDE,OQ,OP,OS,OT,OR,为 五边形各边的边心距 求证：正五边形的半径和边心距把正五边形 分成十个全等的直角三角形. 证明： 正五边形 ABCDE,OQ,OP,OS,OT,OR, 为五边形各边的边心距 ,
27、12,OPAETB （弦等推出弦心距等证明参见 p4）)OPATHLEOATPLP:在 和 中 （在 和 中 （ 同理其他直角三角形也全等，每条边和圆心 以及对应半径一共组成 5 个三角形，每个三 2222()44()ababab角形可以分割成两个直角三角形，所以一共有 10 个全等的直角三角形。正三角形面积 ， a 表示边长. 243s已知，正 边ABC:长为 a求证：正三角形面积 243s证明：作 AD BC于 D， 正 边长 aABC:22 21341ABCaDS: 九上 p110 扇形弧长： 180rnl 九上 p111 扇形面积： 236srl1 圆拄的侧面积 h 圆柱展开图是矩形，
28、长和宽中其中一条是圆 柱的高 h，另一条是圆柱底面周长 ，所r 以面积为 2r 圆拄的表面积 2s 九上 p113 圆锥的侧面积 rl.1 圆锥的表面积 2ls 幂的运算： 八上 p160 a0 时 a0=1， 八下 p19 a-p= p1 八上 142a m an= am+n；（a m） n= am n 0 的 0 次幂没有意义 八上 p151 平方差：a 2-b2=(a+b)(a-b) 八上 p154 完全平方：a 2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a- b)2 推广：a 2+b2=(a+b)2-2ab (a-b)2=(a+b)2-4ab 证明： 八上 p27 一次函数
29、 y=kx+b（k0） 八上 p30 k0，y 随 x 的增大而增大 k0，y 随 x 的增大而增大,直线 y=kx 经过 （0，0），（1，k）, 经过第一、三象限 k0，双曲线在第一、三象限，在每个象限 内，随 x 的增大而减少. k0 方程有两个不等的实根. b2-4ac0 抛物线与 x 轴有两个交点 b2-4ac0 抛物线与 x 轴有没有公共点. 证明：由一元二次方程 ax2+bx+c=0 根的判别 式与以下三条即可推出 抛物线与 x 轴只有一个公共点. 方程有两 个相等的实根. 方程有两个不等的实根 方程有两个不等 的实根. 方程没有实根 方程没有实根. 九下 p3 抛物线的一般式：
30、 y=ax2+bx+c。（a0） 九下 p9 抛物线的顶点式 ：y=a（x-h） 2+k。 顶点（h，k），对称轴为直线 habx 九下 p23 最大（小）值 为 （左同右异 ）ac42 抛物线的两根式： y=a（x-x 1）（x-x 2）221212121()()(yaxbcxax） 常见的勾股数（整数）3，4，5； 6，8，10； 5，12，13; 8，15，17，9，40，41 等。 常见的无理数； ， ，等等23 1.414 1.732 2.2362 九下 p79 锐角三角函数 0 30 45 60 90 sin 0 21231 cos 1 30 tan0 1 3/ 七上 p46 有效数字：从左边第一个不是 0 的数起，到 最后一个数止。如 0.03120 有效数字为 3、1、2、0 共 4 个有效数字。 八下 p130 中位数：把一列数从大到小（或从小到大） 排列，若有奇数个数，中间一个为中位数， 若有偶数个数，中间两个的平均数为中位数. 八下 p139 （2）方差公式： 2221()()nsxxn 五个连续整数的方差是 2，标准差为 . 证明：设这五个连续的整数 n-2,n-1,n,n+1,n+2 平均数为 2155nnx22222212()()(1)()50()5sxxnnn
